高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區2024屆高三上學期期末練習數學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意集合，，，則，.故選：A.2.如圖，在復平面內，復數，對應的點分別為，，則復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在復平面內，復數，對應的點分別為，，則，，得，所以復數的虛部為.故選：D3.已知直線，直線，且，則（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】由題意直線，直線，且，所以，解得.故選：B.4.已知拋物線的焦點為，點在上，，為坐標原點，則（）A. B.4 C.5 D.【答案】D【解析】設，，又因為，所以，故.故選：D.5.在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】連接，相交于點，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：C.6.已知圓，直線與圓交于，兩點.若為直角三角形，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為圓，圓心為，半徑為，即因為為直角三角形，所以,設圓心到直線的距離為，由弦長公式得，所以，化簡得.故選：A.7.若關于的方程（且）有實數解，則的值可以為（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】對比選項可知我們只需要討論時，關于的方程的解的情況，若關于的方程（且）有實數解，即與的圖像有交點，因為與互為反函數，所以與的圖像關于直線對稱，如圖所示：設函數與直線相切，切點為，，則有，解得：，由圖像可知，當時，曲線與直線有交點，即與的圖像有交點，即方程有解.故選：D.8.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意兩直線均有斜率，所以，若取，則有，但；若，又，所以，而，綜上所述，“”是“”必要而不充分條件.故選：B.9.已知是公比為的等比數列，為其前項和.若對任意的，恒成立，則（）A.是遞增數列 B.是遞減數列C.是遞增數列 D.是遞減數列【答案】B【解析】是公比為的等比數列，為其前項和,恒成立,恒成立,若，則可能為正也可能為負，不成立所以,當是遞減數列,當是遞減數列,故選:B.10.蜜蜂被譽為“天才的建筑師”.蜂巢結構是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結構.如圖是一個蜂房的立體模型，底面是正六邊形，棱，，，，，均垂直于底面，上頂由三個全等的菱形，，構成.設，，則上頂的面積為（）（參考數據：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以,連接,取其中點為，連接,所以,由，且多邊形為正六邊形，所以，由于,所以，故一個菱形的面積為，因此上頂的面積為，故選：D第二部分（非選擇題）二、填空題11.在的展開式中，的系數為__________.【答案】【解析】的展開式的通項為令得，所以，的系數為.故答案為：.12.已知雙曲線的一條漸近線為,則該雙曲線的離心率為__________.【答案】2【解析】由題意得，易知雙曲線，即的漸近線方程為得所以該雙曲線的離心率故答案為：.13.已知點，，在正方形網格中的位置如圖所示.若網格紙上小正方形的邊長為1，則__________；點到直線的距離為__________.【答案】【解析】以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意，所以，而直線的表達式為，即所以點到直線的距離為.故答案為：，.14.已知無窮等差數列的各項均為正數,公差為,則能使得為某一個等差數列的前項和的一組,的值為__________,__________.【答案】11（答案不唯一）【解析】設等差數列前項和為,則又是公差為的等差數列,即整理得由題知故滿足題意的一組,的值為,.（答案不唯一）故答案為：1;1（答案不唯一）15.已知函數.給出下列四個結論：①任意，函數的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當時，對任意非零實數，；④當時，存在，，使得對任意，都有.其中所有正確結論的序號是__________.【答案】②④【解析】對于①，當時，其最大值為1，最小值為0，的最大值與最小值的差為1，故①錯誤；對于②，當時，，，因此對任意，，故②正確；對于③，，，當時，故③錯誤；對于④，當時，取，，使得對任意，都有，故正確.故答案為：②④.三、解答題16.如圖，在四棱柱中，側面是正方形，平面平面，，，為線段的中點，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，如下圖所示：在四棱柱中，側面為平行四邊形，所以，,因為，，為中點，所以，，所以，,所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，所以平面，（2）解：在正方形中，，因為平面平面，平面平面；所以平面，而平面，即可得，因為，平面，與相交，所以平面，而平面，即；如圖建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，.所以，，.設平面的法向量為，則，令，則，，于是；因為，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.在中，.（1）求的大小；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長.條件①：的面積為；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由正弦定理及，得.①因為，所以.②由①②得.因為，所以.所以.因為，所以.（2）選①，的面積為，即，即，解得，因為，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：.由（1）知，.所以.所以.因為，所以.所以，即.所以是以為斜邊的直角三角形.因為，所以.所以邊上的中線的長為.選條件③：.由余弦定理得，即.設邊上的中線長為，由余弦定理得.所以邊上的中線的長為1.18.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規定每場比賽分數最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數，求的分布列和數學期望；（3）假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數，為乙獲勝的場數，為丙獲勝的場數，寫出方差，，的大小關系.解：（1）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據三人投籃得分統計數據，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）設10場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為而甲、乙、丙獲勝的場數符合二項分布，所以，，故.19.已知橢圓過點，焦距為.（1）求橢圓的方程，并求其短軸長；（2）過點且不與軸重合的直線交橢圓于兩點，，連接并延長交橢圓于點，直線與交于點，為的中點，其中為原點.設直線的斜率為，求的最大值.解：（1）由題意知，.所以，.所以橢圓的方程為，其短軸長為4.（2）設直線的方程為，，，則.由，得.所以.由得直線的方程為.由得.因為，所以，.所以.因為為的中點，且，所以.所以直線的斜率.當時，.當時，因為，當且僅當時，等號成立.所以.所以當時，取得最大值.20.已知函數.（1）當時，求證：①當時，；②函數有唯一極值點；（2）若曲線與曲線在某公共點處的切線重合，則稱該切線為和的“優切線”.若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優切線”，求，的值.（1）證明：①當時，.記，則.所以在上是增函數.所以當時，.所以當時，.②由得，且.當時，.因為，，所以.因為對任意恒成立，所以當時，.所以0是的唯一極值點.（2）解：設曲線與曲線的兩條互相垂直的“優切線”的切點的橫坐標分別為，其斜率分別為，，則.因為，所以.所以.不妨設，則.因為，由“優切線”的定義可知.所以.由“優切線”的定義可知，所以.當，，時，取，，則，，，，符合題意.所以.21.對于給定的奇數，設是由個實數組成的行列的數表，且中所有數不全相同，中第行第列的數，記為的第行各數之和，為的第列各數之和,其中.記.設集合或，記為集合所含元素的個數.（1）對以下兩個數表，，寫出，，，的值；（2）若中恰有個正數，中恰有個正數.求證：；（3）當時，求的最小值.（1）解：，；，.由定義可知：將數表中的每個數變為其相反數，或交換兩行（列），，的值不變.因為為奇數，，所以，均不為0.（2）證明：當或時，不妨設，即，若，結論顯然成立；若，不妨設，，則，，.所以，結論成立.當且時，不妨設，，，，則當時，；當時，.因當，時，，，所以.所以.同理可得：，，.所以.（3）解：當時，的最小值為.對于如下的數表，.111111111下面證明：.設