第九章

相關和回歸分析

0第9章相關分析第一節相關分析的意義和任務

一、相關關系的概念(注意相關關系與函數關系的區別)

(一)函數關系

它反映著現象之間存在著嚴格的依存關系，也就是具有確定性的對應關系，這種關系可用一個數學表達式反映出來。

例如某種商品的銷售額和銷售量之間，由于價格因素，所以兩者可表現為嚴格的依存關系。0第9章相關分析(二)相關關系

它反映著現象之間的數量上不嚴格的依存關系，也就是說兩者之間不具有確定性的對應關系，這種關系有二個明顯特點：1.現象之間確實存在數量上的依存關系，即某一社會經濟現象變化要引起另一社會經濟現象的變化；2.現象之間的這種依存關系是不嚴格的，即無法用數學公式表示。0第9章相關分析

商品價格和商品銷售量之間，存在著一定的依存關系，即商品價格發生變動，商品的銷售量也會隨之發生變動。

在具有相互依存關系的兩個變量中，作為根據的變量稱自變量，一般用X表示；發生對應變化的變量稱因變量，一般用y表示。例0第9章相關分析二、相關關系的種類

0第9章相關分析1.按相關關系涉及的因素多少來分，可分為：單相關和復相關。

在實際工作中，如存在多個自變量，可抓住其中主要的自變量，研究其相關關系，而保持另一些因素不變，這時復相關可轉化為偏相關。

二因素之間的相關關系稱單相關，即只涉及一個自變量和一個因變量。

三個或三個以上因素的相關關系稱復相關，或多元相關，即涉及二個或二個以上的自變量和因變量。0第9章相關分析2.按相關關系的性質來分，可分為:

正相關和負相關正相關是指兩相關現象變化的方向是一致的。

負相關是指兩相關現象變化的方向是相反的。0第9章相關分析3.按相關關系的形式來分，可分為：

直線相關和曲線相關

直線相關是指兩個相關現象之間，當自變量X的數值發生變動時，因變量y隨之發生近似于固定比例的變動，在相關圖上的散點近似地表現為直線形式，因此稱其為直線相關關系。

曲線相關是指兩個相關現象之間，當自變量X的數值發生變動時，因變量y也隨之發生變動，但這種變動在數值上不成固定比例，在相關圖上的散點可表現為拋物線、指數曲線、雙曲線等形式，因此稱其為曲線相關關系。0第9章相關分析4.

按相關程度分，可分為：

完全相關、不完全相關和不相關

完全相關就是相關現象之間的關系是完全確定的關系，因而完全相關關系就是函數關系。

不相關是指兩現象之間在數量上的變化上各自獨立，互不影響。

不完全相關就是介于完全相關和不相關之間的一種相關關系。相關分析的對象主要是不完全相關關系。0第9章相關分析三、相關分析的任務和內容

相關分析的主要任務，概括起來是兩個方面：一方面，研究現象之間關系的密切程度，即相關分析；另一方面，研究自變量與因變量之間的變動關系，即回歸分析。0第9章相關分析相關分析的主要內容包括以下五個方面：1.判斷社會經濟現象之間是否存在相互依存的關系，是直線相關，還是曲線相關，這是相關分析的出發點；2.確定相關關系的密切程度；3.測定兩個變量之間的一般關系值；4.測定因變量估計值和實際值之間的差異，用以反映因變量估計值的可靠程度；5.相關系數的顯著性檢驗。0第9章相關分析第二節簡單線性相關分析

一、相關表和相關圖相關圖，也稱散布圖(或散點圖)。0第9章相關分析某市1998年—2005年的工資性現金支出與城鎮儲蓄存款余額的資料，說明簡單相關表和相關圖的編制方法。

序號年份工資性

現金支出(萬元)x城鎮儲蓄存款余額(萬元)y119985001202199954014032000620150420017302005200290028062003970350720041050450820051170510例10第9章相關分析0第9章相關分析企業按銷售額分組(萬元)流通費用率(%)4以下9.654～

87.688～

127.2512～

167.0016～

206.8620～

246.7324～

286.6428～

326.6032～

366.58例20第9章相關分析二、相關系數

相關系數是在直線相關條件下，表明兩個現象之間相關關系的方向和密切程度的綜合性指標。一般用符號r表示。0第9章相關分析r的測定方法：0第9章相關分析仍以上例1資料計算：序號年份x(萬元)y(萬元)11998500120-310-15596100240254805021999540140-270-13572900182253645032000620150-190-12536100156252375042001730200-80-75640056256000520029002809058100254506200397035016075256005625120007200410504502401755760030625420008200511705103602351296005522584600合計64802200--4324001550002533000第9章相關分析經過計算，表明該市工資性現金支出與城鎮儲蓄存款余額之間存在著高度正相關。0第9章相關分析對r的解釋如下：(即r的特點)(1)r取正值或負值決定于分子協方差；(2)r的絕對值，在0與1之間；(3)r的絕對值大小，可說明現象之間相關關系的緊密程度。0第9章相關分析2.簡捷法

0第9章相關分析資料計算如下：序號年份x(萬元)y(萬元)x2y2xy1199850012025000014400600002199954014029160019600750003200062015038440022500930004200173020053290040000146000520029002808100007840025200062003970350940900122500339500720041050450202500472500820051170510260100596700合計6480220076000020353000第9章相關分析0第9章相關分析3.從單變量分組表計算相關系數

0第9章相關分析三、簡單線性相關分析的特點

通過對r的計算方法的討論，可看出二個明顯特點：2.相關關系中只能計算出一個相關系數r。1.相關關系中，兩個變量不必定出哪個是自變量，哪個是因變量，因此，相關的兩個變量都是隨機變量；0第9章相關分析第三節回歸分析

在回歸分析中，兩個變量之間的回歸稱為簡單回歸，兩個以上變量之間的回歸稱為復回歸。無論是簡單回歸還是復回歸，數學模型均有線性(直線)回歸和非線性(曲線)回歸之分。0第9章相關分析一、直線回歸(一)簡單直線回歸分析簡單直線回歸方程的一般形式為：

yc=a+bx

yc——因變量的估計值；

x——自變量；

a——回歸直線在y軸上的截距；

b——回歸直線的斜率，稱回歸系數,表明x每增加一個單位，因變量yc的平均變化值

b>0，x與y為正相關

b<0，x與y為負相關0第9章相關分析

a、b的確定：

在簡單直線回歸方程中，a、b為待定系數，常用最小平方法來確定，即∑(y-yc)2=最小值。0第9章相關分析簡單直線回歸方程建立的步驟為：

①確定自變量x和因變量y；②計算x2、xy、Σx、Σy、Σx2、Σxy；③代入公式，先求b，再求a。0第9章相關分析仍用上例1資料得到：

yc=-199.5+0.5858x表明該市工資性現金支出每增加1萬元，儲蓄存款余額就增加0.5858萬元。0第9章相關分析舉例說明b(回歸系數)在經濟管理中的作用：

某企業的某種產品月產量與單位成本的關系呈直線關系，用直線回歸方程表示是：

yc=77.36-1.818x，其中，

x表示月產量(千件)y表示單位成本(元);a=77.36(元)，表示生產這種產品在單位成本方面的條件；

b=-1.818，表示月產品每增加1000件，單位成本平均降低1.818元。0第9章相關分析從單變量分組表配合回歸直線：0第9章相關分析簡單直線回歸分析的主要特點：

1.直線回歸分析時，要根據研究目的，在兩個變量之間確定哪個是自變量，哪個是因變量。

2.在兩個現象互為根據的情況下，可以有兩個回歸方程：

yc=a+bx稱y倚x回歸直線

xc=c+dy稱x倚y回歸直線0第9章相關分析(二)多元線性回歸分析

多元線性回歸分析可以看作是一元線性回歸分析的擴展。現以二元線性回歸模型進行回歸分析，其方程式為：0第9章相關分析0第9章相關分析

以我國1973－1983年11年手表價格和手表銷售量的實際資料為例，擬合一元線性回歸方程為：

yc=9643-65x此時，回歸系數b表明，手表平均價格每降低1元/只，銷售量約平均增長65萬只。一元線性回歸模型只列入了手表平均價格對銷售量的影響，而忽略了居民收入這一很重要的因素，因此，現對此資料補入同期居民人均貨幣收入資料，將原來的一元線性回歸模型擴展為二元線性回歸模型進行回歸分析。例0第9章相關分析列成計算表如下：年份(n=11)手表銷售量y(萬只)人均貨幣收入x1(元)手表平均價格x2(元/只)x1yx2yx1x21973650.4102.113466405.8487153.613681.41974758.4105.313479859.52101625.614110.21975819.9110.112990270.99105767.114202.919761051.7113.9131119788.63137772.714920.919771149.7120.4127148423.88146011.915290.819781388.1131.0125181841.10173512.516375.019791944.4157.0123305270.80239161.219311.019802534.0193.5123490329.00311682.023800.519812890.0210.2114607478.00329460.023962.819823576.0228.789817831.20318264.020354.319833898.0258.7861008412.60335228.022248.2合計20660.61730.913153905911.562285638.6198258.00第9章相關分析年份(n=11)197310424.4117956197411088.0917956197512122.0116641197612973.2117161197714496.1616129197817161.0015625197924649.0015129198037442.2515129198144184.0412996198252303.697921198366925.697396合計303769.55160039續表0第9章相關分析0第9章相關分析

b1表明在手表平均價格固定時，人均貨幣收入每增加１元，手表銷售量平均增長18.6368萬只；

b2表明在人均貨幣收入固定時，手表平均價格每上升１元/只，手表銷售量平均減少8.0328萬只。這里的b2比原一元線性回歸模型中的同一回歸系數b=-65要大得多，是因為一元線性回歸模型只列入了手表平均價格對銷售量的影響而忽略了居民收入這一很重要的因素，在手表平均價格的影響中滲入了居民收入的影響。0第9章相關分析上面的方法推廣到多個自變量，其回歸方程為：0第9章相關分析二、曲線回歸

擬合方法：統計上通常采用變量代換法把非線性形式轉換為線性形式處理，使線性回歸分析的方法也能適用于非線性回歸問題的研究。0第9章相關分析

某商店各個時期的商品流通費率和商品零售額資料如下：x商品零售額(萬元)9.511.513.515.517.519.521.523.525.527.5y商品流通費率(%)6.04.64.03.22.82.52.42.32.22.1散點圖顯示出x與y的變動關系為一條遞減的雙曲線。經濟理論和實際經驗都可說明，流通費率決定于商品零售額，體現著經營的規模效益。例0第9章相關分析雙曲線方程為：9.56.00.1050.011030.6311.54.60.0870.007560.4013.54.00.0740.005490.3015.53.20.0650.004160.2117.52.80.0570.003270.1619.52.50.0510.002630.1321.52.40.0470.002160.1123.52.30.04