第05講指數與指數函數（分層精練）

A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）

A夯實基礎

一、單選題

1.（2024下?全國?高一開學考試）下列運算中，正確的是（）

A..（-3）3+8§=1B.片.必=。3（。>0）

C.3晦2=9D.[-V+lg—=-—

⑶1009

【答案】A

【分析】AB選項，根據指數運算法則計算出答案；CD選項，根據指數運算和對數運算法則

進行計算.

【詳解】A選項，y（一3）3+8上=-3+Q3）3=一3+4=1,A正確；

B選項，.第=a"aQ=髀9>0），B錯誤；

C選項,3幅2=2,C錯誤;

D選項，[g]+lg-X-=^_炮100=：—2=：,D錯誤.

故選：A

2.（2024上?江西景德鎮?高一統考期末）當a>0且分1時，函數/（"="毋3+2（）23恒過

定點（）

A.（2022,2023）B.（2023,2024）C.（2024,2025）D.（2025,2026）

【答案】B

【分析】由指數函數的性質即可求解.

【詳解】當x=2023時，/（2023）=。2°/3-2023+2023=2024,與。無關，

則函數/（X）恒過定點（2023,2024）.

故選：B.

4"

3.（2024上?廣東茂名?高一統考期末）若m-2〃=1,則刀=

B&

C.D.y/2

22

【答案】C

【分析】利用根式與分數指數幕的互化與運算法則即可得解.

【詳解】因為7〃-2〃=1,則2〃一〃2=-1,

故選：C.

V_1_3T

4.(2024下?山東濟南?高三濟南一中校聯考開學考試)函數/(x)=W^-的圖象大致為()

【答案】A

【分析】先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可得到選項.

V_i_3T3'+3T

【詳解】由函數〃”=關「，〃_x)=V^-=/(x),令Y-i?o,解得尤N±l,

則其定義域為{x1xw±l},關于原點對稱，

所以函數在定義內為偶函數，排除C,D選項，因為/(0)=3二=一2,觀察選項可知，選

—1

A.

故選：A

5.(2024下,江蘇南通?高三海安高級中學校考開學考試)設acR.若函數/(彳)=(。-1廠為

指數函數，且/(2)>/(3),則q的取值范圍是()

A.l<a<2B.2<a<3

C.a<2D.。<2且awl

【答案】A

【分析】借助指數函數性質分類討論即可得.

【詳解】由函數/5)=(。-1)工為指數函數，故。>1且。力2,

當。>2時，函數/'(x)=(aT),單調遞增，有/(2)<7(3),不符合題意，故舍去；

當1<。<2時，函數〃x)=(。-以單調遞減,有/(2)>〃3),符合題意，故正確.

故選：A.

6.(2024下?安徽蕪湖?高二安徽師范大學附屬中學校考階段練習)已知。>0且。片1,若

,、ax,x<2

函數/x=心、°。在R上單調遞增，則實數。的取值范圍為()

\(3-a)x+2,x>2

A.(1,+8)B.(1,3)C.(1,2)D.(1,2]

【答案】D

【分析】若滿足條件，則每一段上都為增函數，且在分界點處的函數值前一段的函數值不大

于后一段的函數值，求解即可.

/、ax,x<2

【詳解】：函數7(x)="3_a)x+2x>2在R上單調遞增，

a>1

<3-tz>0,:A<a<2f

?6—2〃+2

二實數。的取值范圍為(1,2],

故選：D.

7.(2024上?江蘇無錫?高一江蘇省天一中學校考期末)已知函數/'(X)為R上的奇函數，當

x<o時，f{x)=r-]-,則/(力<。的解集為()

O

A.(-3,O)U(O,3)B.(-3,3)

C.(0，―3)。(0,3)D.(F,-3)U(3,4W)

【答案】C

【分析】先由奇偶性求出Ax)的解析式，再由指數函數單調性求解不等式得解.

【詳解】函數為R上的奇函數，當x<0時，/(無)=2'-：，

O

則當x>0時，—x<0,有〃尤)=_/(一尤)=_(2一，-3=：-2一*,顯然"0)=0,

OO

x<0x>0

不等式〃X)<。轉化1八或，11?，解得x<-3或0<x<3,

2----<U---------<0

〔8〔82X

所以不等式y(x)<0的解集為(―,-3)5。,3).

故選：C

8.(2024上嚀夏石嘴山?高一石嘴山市第三中學校考期中)已知函數〃力=4兇-岸工+國，

則不等式/(%+2)>/(2x-1)的解集為()

A-（T3）B.1/JC..3,jD.［-pj）

【答案】B

【分析】探討函數的奇偶性、單調性，再利用性質求解不等式即得.

【詳解】函數/（x）=4W-Jd+l+|x|的定義域為R，/（一元）=4臼一J（-尤了+1+1_尤|=f（x）,

即函數Ax）是R上的偶函數，當xNO時，=4'-+%=4'--=L—,

Vx+l+x

函數y=V7T1+X在［0,+8）上單調遞增,則y=j,+x在［0,+8）上單調遞減，

1

y=—rv=-在。+8）上單調遞增，又y=4、在［0,+8）上單調遞增，

yjx+1+X

因此fM在［0,+8）上單調遞增，而不等式/（%+2）>f（2x-l）o/（|x+2|）>f（|2x-l|）,

于是|x+2|>|2x-l|,兩邊平方得3/一8犬-3<0,解得-；<無<3,

所以所求不等式的解集為（-，3）.

故選：B

二、多選題

9.（2024上?河南漠河?高一濠河高中校考階段練習）已知°-4+“后=3,下列各式中正確

的是（）

A.。24+。-26=7B./陰+〃-3"=］8

3

22D.對+=2小

?a+a=y[5a二毋F尸

【答案】ABCD

【分析】利用完全平方，立方和展開式，指數運算計算得出結果.

【詳解】A：+才2*=（才有+a啰）2一2°一百+4=9_2=7,故A正確;

B：/有+a-3有=（晨召+。有）卜-2有_晨屈后+/有）=3x（7-1）=18,故B正確;

招W（小A/3V/不4__

一七飛+a有+20TF=43+2=#,故C正確;

有]3世還V叵立、

a2H-------忑=a2+a2=a2+a2cT^+a^—a22=y/5x（3—1）=2^/5

cT1如?混l人）

,故D正確;

故選:ABCD.

10.（2024上?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第二高級中學校考期末）已知21=［；1,則3，+3>

的值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】CD

【分析】先由等式得到x+y=2,再應用基本不等式求得3,+3,的范圍，結合選

項判斷即可.

【詳解】由2A得：21=27,解得無-2=-y,即x+y=2,

由于3*>0,3，>0,3*+3,22斤斤=2底方=6，當且僅當3*=3，（即x=y=l）時取得

等號.

故選：CD.

三、填空題

11.（2024上,江西?高二校聯考期末）（石+1『+（6-1『=.

【答案】112

【分析】根據完全平方式的特征即可求解.

［詳解］（括+11+（岔一I?=［（括+1『+（岔一1）1-2（75+l）2（^5-1）2=122-2x42=112,

故答案為：112

12.（2024上?山西長治?高一校聯考期末）已知函數〃x）=e「eT,則不等式

/（%-3）>/（1-^）的解集為.

【答案】（2,+8）

【分析】根據函數的單調性化簡不等式/（%-3）>/（1-力，由此求得不等式的解集.

【詳解】?."=€，在R上單調遞增，y=b在R上單調遞減，.?"（x）=e=eT在R上單調遞

增，

則由/（無一3）>/（1-x）得x—3>l—x,解得x>2,即不等式的解集為（2,+8）.

故答案為：（2,+4

四、解答題

13.（2024上?湖南婁底?高一校考期末）已知求下列各式的值:

ClICt-J

(l)a+a~1;

3_3

(2)a，+〃萬-3.

a2+a~2-2

【答案］⑴7

(2)-

3

【分析】(1)由完全平方公式以及分數指數幕的運算即可得解.

(2)由完全平方公式、立方和公式以及分數指數幕的運算即可得解.

?］(---V

【詳解】由題意〃一所以2

(1)"Cl5_1?_Cl5-_Jq,Q+〃T=+a^—2=3—2=7.

\7

(2)由題Cl意ICt—-3J-

1-1+Q5,Q5+QT］-3/、

所以M+a2-3=(人J=3X(7_1)—3=15=J_.

a2+a2-2-(?+?->)2-4~72-4-芯-1

14.(2024下?吉林長春?高一長春外國語學校校考開學考試)已知函數/(x)=優(。>0且aW1)

3

在［-M］上的最大值與最小值之差為：

(1)求實數。的值；

⑵若g(x)=/(x)-f(-x),當。>1時，解不等式g(x2+2x)+g(x-4)>0.

【答案】(1)。=2或g

(2)(-OO,-4)U(1,+OO)

【分析】(1)根據函數的單調性，求函數的最值，結合條件，即可求解；

(2)首先求函數g(x)的解析式，再根據函數g(x)的性質，化解不等式，即可求解.

【詳解】⑴當時，f［x}^a,/Wmin=1.

13

則Q——二］，解得〃=2

a2

當。<a<l時，〃尤)f(x)^=a,

131

貝U__=-,解得4=彳

aa22

綜上得：a=2或!

(2)當a>l時，由(1)知。=2,

g(x)=2「2一、為奇函數且在R上是增函數，

g(x2+2x)+g(x-4)>0gpg(x2+2x)>-g(x-4)=g(4-x),

.-.x2+2x>4-x>得x>l或x<-4,

所以，不等式g(Y+2x)+g(x-4)>0的解集為(一S,T)U(1,+8).

B能力提升

1.（2024?四川?校聯考一模）函數〃x）=).

【分析】根據題意，得到函數/（X）為偶函數，排除C,D,再結合x＞0,利用/（x）的函數

值的符號，即可求解.

【詳解】由函數=可得其定義域為R,關于原點對稱,

且,（一尤，+3"=,（-/+3x）=-3x）=/（x），

乙II乙乙I-1

可知/（尤）為偶函數，其函數〃尤）的圖象關于y軸對稱，可排除c,D；

當尤＞0時，可得士~-＞0,

2,+1

若0cx〈若時，尤3_3%＜0,則/'（X）＜0；

若時，可得尤3-3彳＞0,貝Uf（x）＞0,此時B不符題意.

故選：A

2.（2024上?四川宜賓?高一統考期末）函數丁=優+1-2（。＞0,。中1）的圖象恒過定點A,且

一21

點A的坐標滿足方程如+：9+1=。，其中相＞0,n＞0,則一+一的最小值為（）

mn

A.7B.6C.3+2及D.2+72

【答案】C

【分析】先利用必過定點確定A的坐標，后利用基本不等式'1'的代換處理即可.

【詳解】在丁=。向一2(。>0,。*1)中，當產一1時，y=T,故4-1,一1),

將代入直線方程中，化簡得m+〃=1,

故(加+〃)(2+工)=2+1+?+生23+2、叵互=3+2加，

mnmn\mn

7i

當且僅當'〃，=2,產時取等，即三+上的最小值為3+2后.

mn

故選：C

3.(2024上?陜西西安?高三統考期末)已知函數/(尤)=2,一2一,+也+2(。eR),若〃2)=5,

則/(-2)=()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】A

【分析】構造函數8(尤)=/(0一2=2，一2一￡+以，證明其為偶函數，據此可得解.

【詳解】設g(x)=/(x)—2=2"-2T+辦，

則8(—尤)=2"—2'—依=—g(%),

所以g(x)+g(T)=0,即“X)-2+/(T)-2=0,

所以〃x)+/(—x)=4.

因為"2)=5,所以1(—2)=4—5=—1.

故選：A

4.(2024下?河南?高一校聯考開學考試)己知函數〃x)滿足f(x)=〃x+4),當xe[-l,3)

時，f(x)=T+a,且〃2023)=4,則當xe[-7,-3)時，不等式〃x)>1的解集為.

【答案】[-7,-5)U(<-3)

【分析】首先確定函數的周期，再利用周期，求xe[-7,-5)和xe[-5,-3)的解析式，再解不

等式.

【詳解】由〃x)=/(x+4)知,函數〃x)是周期函數，周期為4,

17

f(2023)=/(-1)=-+a=4,得

所以當xe[-l,3)時，/(尤)=2，；，

設xe[-7,-5),x+8e[l,3),

則〃尤)=〃尤+8)=2-8+；>不得x>—8,即xe[-7,-5),

當xw[—5,-3),x+4e[-l,l),

7Q

則〃無)=〃尤+4)=2田+；>三得x>T,即x?T,-3),

Q

綜上可知不等式/(x)>；的解集為[-7,-5)U(Y,-3).

故答案為：[-7,-5)U(T-3)

5.(2024上?重慶?高一重慶市青木關中學校校考期末)若/(x)滿足以下條件：①

/(x+y)=/(x)-/(y)；②〃尤)的圖象關于x=0對稱；③對于不相等的兩個正實數a,6,

有"⑷-〃6)](a-6)>0成立，則〃尤)的解析式可能為〃力=.

【答案】3慟(答案不唯一)

【分析】由指數函數的性質，圖象關于尤=0對稱，和對于不相等的兩個正實數6,有

成立共同得出即可.

【詳解】設f(x)=3也

因為〃x+y)=L=3心期=/(x)-/(y),故滿足①;

圖象為：

故滿足②；

設a>6>0,則”6>0,由指數函數的性質可知7(3>0,故

"(a)-/S)](a-6)>。，所以滿足③；當0<。<6,則a-6<0,由指數函數的性質可知

f(a)-f(b)<0,故羽(a-6)>0,也滿足③.

故答案為：3同(答案不唯一).

C綜合素養

6.(2024上?廣東茂名?高一統考期末)若函數/(x)滿足：對于任意正數%,n,都有

/(m)>0,/(z?)>0,且/(?+/(〃)</O+"),則稱函數/(元)為"速增函數

(1)試判斷函數工(X)=/與力⑴=log2(x+1)是否為"速增函數"；

⑵若函數g(元)=2-1+242"-1)為"速增函數〃，求“的取值范圍.

【答案】(I"。)一?是"速增函數"，力(x)=log2(x+l)不是“速增函數”

⑵卜”11

【分析】(1)根據"速增函數"的定義，利用作差法可判斷函數力(x)=Y；根據"速增函數"

的定義，通過舉反例可判斷函數力(X)=log?(X+1).

(2)先根據"速增函數"的定義將問題轉化為不等式恒成立問題；再利用指數運算法則和指

數函數的單調性即可求解.

【詳解】(1)對于函數力(彳)=舄

當機>0,w>0時，=m'>O,yj(?)=n3>0；

因為工(〃z)+/(〃)一工(m+ri)=m3+n3—(m+n)3=—3nm2—3nzm<0,

所以工(%)+工(〃)<10+〃),

故根據"速增函數"的定義可得：工⑶=丁是“速增函數J

對于函數力(x)=log2(x+l),

當加="=1時,有f2(m)+f2(n)=2>log23=f2{m+ri),

故根據"速增函數"的定義可得：力(X)=log2(X+1)不是“速增函數J

(2)因為g(x)=2X-l+2a(2T-l)是"速增函數"，

根據"速增函數"的定義可得：

當〃>0時，8(〃)=2"-1+24(2一'-1)>0恒成立；

當幾>0,根>0時，g(〃)+go)<g(〃+m)恒成立.

由當〃>0時，g(〃)=2"-1+2。(2一"-1)>0恒成立可

得：(2"-1)(2"-2。)>0對一切正數n恒成立.

又因為當〃>0時，

所以2a<2"對一切正數n恒成立，

所以2a<1,即

2

由當〃>0,相>0時，8（"）+8（%）<8（"+加）恒成立，可得：g（"+〃?）-[g（"）+gO）]>0,

即2m+n-2m-T+l+2a（2-m-"-2-m-2-n+1）>0對一切正數"J"恒成立.

因為2"+"一2"—2"+]+2。（2一2"一2一一2一"+]）

=2"（2m-l）-（2m-l）+2a（2-m-1）（2-n-1）

=（2m-1）（2"-1）+2a-2-m-"（2"-1）（2"-1）

（2m-l）（2n-l）（2m+n+2a）

Qtn+n

所以（2"，_1）（2"-1）（2"+"+2a）>0,

又因為當〃>0,根>0時，（2"-l）（2w-l）>0,

所以2"*"+2a>0,

由2吁"+24>0對一切正數〃恒成立，可得2a+lN0,即

2

綜上可知，a的取值范圍是.

7.（2024上,山東臨沂?高一山東省臨沂第一中學期末）臨沂一中校本部19、20班數學小組

在探究函數的性質時，發現通過函數的單調性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數

的圖象，例如函數y=ln無和y=Y,雖然它們都是增函數，但是圖像上卻有很大的差異.通

過觀察圖像和閱讀數學文獻，該小組了解到了函數的凹凸性的概念.已知定義：設連續函數

f（x）的定義域為［a,可，如果對于［a,可內任意兩數為,三，都有了（土產）4八斗）丁（尤2）,

則稱〃x）為［a,3上的凹函數；若氏"三后」區無2）,則〃尤）為凸函數.對于函數的

凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若/（x）是區

間［a,6］上的凹函數，則對任意的占=尤2=---=xne［a,6］,有不等式

〃占+%+■??+%）<恒成立（當且僅當為=%=…=%時等號成立）.

nn

小組成員通過詢問數學競賽的同學對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式

求多元最值問題，關鍵是構造函數.小組成員選擇了反比例型函數/（X）=J—和對數函數

g（x）=log“x,研究函數的凹凸性.

⑴設玉，％2,…，Zn>2,且玉+々+?..+%”=1,求W=■;----+-----+???+------的取小值.

1一玉1-X11-Xn

111、〃

（2）設？公…,G為大于或等于1的實數，證明R+R+…+」（提示：可

彳+i馬+15+1

設q=e&）

⑶若。>1,且當xe（O,l］時，不等式g（如2+*v0恒成立，求實數機的取值范圍.

【答案】（1）3

n-l

⑵證明見解析

（3）—l<m<0.

【分析】(1)先證明/(尤)=一一在(0,1)為凹函數，再利用琴生不等式求解；

(2)證明/＜同=/在[0,+◎為凹函數再結合琴生不等式得證；

(3)分離參數，求函數最值得解.

【詳解】(1)記函數/(同=乙，首先證明其凹凸性：

\—X

]]

占e(0,1),則=j'f+------1

1-------

2

_1T1+1_%________2_[(1—西)+(1—%)]—4(I—%)。一%)_[(I-%)-。-.)]_____

2(1—%)(1—%2)1—%+1—%22(1—玉)(1—%)(1—$+1—%2)2(1—%)(1—%2)(1—X]+1—%2)

所以〃%)=—―在(0,1)為凹函數.

1-X

由琴生不等式，得力―斗]"6小)+…+小“),

\nJn

1

i(、一

即工工+-^+...+』^>^L-

1-X21-xJ

n

%xxn