山西省實驗中學

2024-2025學年第一學期期中質量監測（卷）

九年級數學

（本試卷滿分100分，考試時間90分鐘）

一、單項選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，該幾何體的主視圖是（）

2.已知元=1是方程2/-3x+c=0的一個根，貝！Jc的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

Ar4

3.如圖，AB//CD//EF,若——=—,BD=16,則。尸的長為（）

CE3

4.在一個不透明的布袋中裝有30個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過

多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，則布袋中黃球可能有（）

A.12個B.15個C.18個D.20個

5.泰勒斯是古希臘時期的思想家，科學家，哲學家，他最早提出了命題的證明.泰勒斯曾

試卷第1頁，共6頁

通過測量同一時刻標桿的影長，標桿的高度。金字塔的影長，推算出金字塔的高度。這種測

量原理，就是我們所學的（）

A.圖形的平移B.圖形的旋轉C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

6.關于x的一元二次方程/一履一i=o的根的情況是（）

A.方程有兩個不相等的實數根

B.方程有兩個相等的實數根

C.方程沒有實數根

D.方程的根的情況與后的取值有關

7.如圖，在四邊形N8CD中，點、E,F,G,”分別為邊4D,BD,C8和NC的中點，順

次連接EF,FG,GH和/龍得到四邊形斯G8.若4BLCD,AB=8,CD=12,則四邊

形砂G”的面積等于（）

A.36B.32C.24D.20

8.如圖，已知矩形紙片48CD,40=2。。=10,點￡在CD上，把紙片沿/￡折疊，點、D

的對應點。恰好落在2c上，則DE的長度為（）

A.3B.20-1073C.10-573D.2.5

9.將ZUBC沿8c方向平移得到△4烏。一若3G=12,且陰影面積與A/BC的面積比為

4

-，則平移距離為（）

試卷第2頁，共6頁

10.如圖，在正方形中，點E是。的中點，點尸是/。的中點，8E與CF相交于點

G,設=得到以下結論：①BELCF；②/G=a；③AG=^CG;

④/DGE=45。.則上述結論正確的是（）

DEC

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

二、填空題（本題共5個小題，每小題3分，共15分）

ac2a+c

11.已知7=:=:，右b+d#）,貝1]^--=__?

oaib+a

12.如圖為太原古縣城示意圖，小君和小帆都從南門進入古縣城游覽，結束時分別從其余四

個門中的一個離開，他們恰好從同一城門走出的概率是.

延西門北門

望翠門二太原古縣城觀瀾門

南門

13.黃金分割大量應用于藝術、大自然中，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割，如圖，尸為

的黃金分割點（AP>PB）,如果N5的長度為10cm,則AP的長度為cm.

校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，尸為的黃金分割點（,AP>PB

14.用12m長的鐵絲圍成一個一邊靠墻的長方形場地，使場地的面積為15m,并且在垂直

于墻的一邊開一個1m長的小門（該門用其他材料），若墻長足夠長，設該長方形場地平行于

墻的邊長度為xm,則列方程為.

試卷第3頁，共6頁

15.如圖，在菱形N8CZ)中，NC為對角線，4ELBC于點E,點尸是NE延長線上一點,

且NABF=NAFB,線段/C,B尸的延長線交于點G.若菱形的面積為￡,

Q

=則CG的長為.

三、解答題(本題共8個小題，共55分)

16.解方程：

(1)X2+2X-4=0；

(2)3(.r+2)2=x(x+2).

17.如圖，在路燈下，小華的身高用線段表示，他在地面上的影子用線段/C表示，小

玉的身高用線段尸G表示，路燈燈泡在線段。E上.

E

BG

CADF

(1)請你確定燈泡所在的位置，并畫出小玉在燈光下形成的影子；

⑵如果小華的身高4B=1.64m,他的影子長/C=1.4m,且他到路燈的距離4D=2.1m,

則燈泡的高為.

18.如圖，△NBC在坐標平面內，三個頂點的坐標分別為43,0),5(4,2),C(2,4)(正方

形網格中每個小正方形的邊長為1).

試卷第4頁，共6頁

yjk

(1)以點。為位似中心，在第一象限畫出△4BC的位似圖形△&0G，使△44。與△4BC的

位似比為2:1；

(2)若點外加,")是△4BC上的任意一點，則變換后的對應點々的坐標是

19.如圖，已知矩形的對角線/C的垂直平分線與邊8C分別交于點E、F,連

(1)求證：四邊形/FCE是菱形;

(2)當3c=3,N8=2時，則菱形/FCE的面積為

20.數學社團開展“講數學家故事”的活動.下面是印有四位中國數學家紀念郵票圖案的卡片

A,B,C,D,卡片除圖案外其他均相同.將四張卡片背面朝上,洗勻后放在桌面上，同學

們可以從中隨機抽取卡片，講述卡片上數學家的故事.

祖沖之

(1)小安隨機抽取了一張卡片，卡片上是數學家劉徽郵票圖案的概率是

(2)小明隨機抽取了兩張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明抽到的兩張卡片中恰好

有數學家華羅庚郵票圖案的概率.

21.如圖，在△NBC中，ZC=90°,/4BC的平分線2。交NC于點。，過點。作

試卷第5頁，共6頁

交48于點￡.

(2)若NO=6,AE=4,則線段座=.

22.某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品.當商品售價為40元時，一月份銷

售256件.二、三月該商品十分暢銷.銷售量持續走高.在售價不變的基礎上，三月底的銷

售量達到400件.設二、三這兩個月的月平均增長率不變.

(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；

⑵從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元,

銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？

23.已知四邊形ABCD和四邊形CEGP都是正方形.

⑴如圖1,當點G在對角線NC上時，AG=BE；

(2)將正方形CEGF繞著點C順時針旋轉a；(0<a<360°)

①當正方形CEG尸旋轉到圖2的位置時，(1)中的結論是否成立，請說明理由；

②在正方形CEGF繞著點C順時針旋轉的過程中，當叢￡,下三點共線時，直線CG與射線

相交于點“，若C尸=2收，BC=2而,請直接寫出線段的長.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中，看不

到的棱需要用虛線來表示.

【詳解】解：從正面看易得，該幾何體的視圖為B,

故選：B

【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，掌握主視圖

的概念是解題的關鍵.

2.A

【分析】本題考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解，代入計算是解題的

關鍵.

根據題意，把％=1代入方程求解即可.

【詳解】解：已知尤=1是方程2--3x+c=0的一個根，

?■?2xl2-3xl+c=0,

解得，c=1,

故選：A.

3.C

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，先根據平行線分線段成比例定理得到，熟練

運用定理解決問題是解題的關鍵.先根據平行線分線段成比例定理得到與=岑，結合

CEDF

Ar4

—=-，=16即可得解.

Czs3

【詳角軍】VAB//CD//EF,

.AC_BD

'~CE~^F'

又,??若=：，80=16，

CE3

416

?.?一_，

3DF

DF=12,

故選擇：C

4.A

【分析】本題主要考查了已知概率求數量，用頻率估計概率，大量反復試驗下，頻率的穩定

值即為概率值，則摸到黃球的概率為0.4,再用球的總數乘以摸到黃球的概率即可得到答

答案第1頁，共18頁

案.

【詳解】解：???通過多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.4左右，

二摸到黃球的概率為0.4,

二布袋中黃球可能有30x0.4=12個，

故選：A.

5.D

【分析】根據在同一時刻的太陽光下物體的影長和物體的實際高度成比例即可判斷；

【詳解】根據題意畫出如下圖形：可以得到△N2E?△CDE,貝|冬=生

BEDE

AB即為金字塔的高度，CD即為標桿的高度，通過測量影長即可求出金字塔的高度

【點睛】本題主要考查將實際問題數學化，根據實際情況畫出圖形即可求解.

6.A

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程g?+6x+c=0（。/0）,

若△=〃-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數根，若△=從一44=0,則方程有兩個相等

的實數根，若A=/一4ac<0,則方程沒有實數根.利用一元二次方程根的判別式求解即

可.

【詳解】解：由題意得，A=（T）Z-4xlx（_l）=，+4,

???P>0,

?■?A：2+4>0,

A>0,

故選：A.

7.C

【分析】此題考查了矩形的性質和判定，三角形中位線的性質和判定，解題的關鍵是掌握以

上知識點.

答案第2頁，共18頁

首先證明出斯是的中位線，得到跖〃EF=^AB=4,同理得到砒〃CD,

EH=\CD=6,然后證明出四邊形砂G”是矩形，然后根據矩形的性質求解即可.

【詳解】解：?.?點￡,F,分別為邊N。，的中點，

??.E尸是△48。的中位線

■■.EF//AB,EF=-AB=4

2

同理可得，E/7是A/CD的中位線

：.EH//CD,EH=-CD=6

2

AB1CD

■■EFVEH

???點G,H分別為邊CB和AC的中點，

??.AG是△4BC的中位線

2

：.EF=HG,EF//HG

四邊形EFGH是平行四邊形

又?:EFLEH

四邊形EbG"是矩形

.?.四邊形斯G8的面積等于E/JE〃=4x6=24.

故選：C.

8.B

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，折疊的性質等知識,

靈活運用各知識點是解答本題的關鍵.由勾股定理求出5百得。。'=10-5百，證明

A/BO'SAOCE得坐="，代入數值求出CE=IO4一15,進而可求出。E的長度.

BD'AB

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，

...AD=BC=IO,AB=CD=5,NB=NC=90°.

由折疊的性質知，AD=AD=10,DE=D'E,ZAD'E=/D=90°,

???BD'=V102-52=5A/3，

???CD'=10-5收

答案第3頁，共18頁

VNAD'B+ABAD'=90°,ZAD'B+NCD'E=90°,

ABAD'=ZCD'E,

AABD'SAD'CE,

CE_CD'

"BD7一~AB

CE10-573

■■CE=1043-15,

=5-(10A/3-15)=20-1073.

故選B.

9.A

【分析】此題考查了相似三角形的性質和判定，平移的性質等知識，解題的關鍵是掌握以上

知識點.

設NC與44交于點D,首先由平移得到4耳〃N8,BB\=CC\,證明出ACD4SAC48,然

后利用相似三角形的性質得到g=3,設4C=2x,BC=3x,然后利用12求解即

JJC3

可.

【詳解】解：如圖所示，設4C與4月交于點。

?.?將4ABC沿BC方向平移得到△44。

:.4用〃AB,BB[=CC[

."CDB'S八CAB

4

,?,且陰影面積與△48C的面積比為§,

V

24CDB\

S&CAB

答案第4頁，共18頁

.空二

BC3

設區C=2x,BC=3x

：.CCX=BBX—BC—BXC=x

???5G=5C+CG=12,

?**3x+x=12

???x=3

.*.BBX=CCX=3

???平移距離為3.

故選：A.

10.D

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理以及相似三角形,

解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點，添加輔助線.分析先證明尸絲△BCE,可

得到NCEB=NCFD,繼而證得/EGC=90。，故①正確；延長CF交R4延長線于點M,再

證明△CFD和可得CD=M4=4B=a,由8Gl.c/，根據/G為MAMGB斜邊8M上

的中線，是斜邊的一半，即可得：AG=^BM=^x2a=a,故②正確；由勾股定理和面積

可得：AGMCG,故③正確；在比ACEG中，由CG=^^a,。尸=:。及勾股定理得到

GE=-a,過點。作?！╛LC支交CF于點”，從而構造相似，即可求出=45。，從

10

而得到/DGE=45。，故④正確；即可得出結論.

【詳解】解：.??四邊形NBCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,AABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

???點E是中點，點尸是ZO中點，

:.CE=DE=-DC,DF=AF=-AD,

22

:.CE=DF,

在尸和△BC￡中，

CE=DF

?：＜ND=/BCD,

CD=BC

答案第5頁，共18頁

：ACDF%BCE（SAS）,

ZCEB=NCFD,

???/DCF+ZCFD=180?！猌CDA=180°-90°=90°,

ZDCF+NCEB=90。,

BEVCF,

故①正確；

如圖所示，延長CF交助延長線于點〃，

在△WD和中,

ND=ZFAM

:<DF=AF,

ZCFD=ZAFM

.\ACFD^AMFA（ASA）,

：.CD=MA=AB=a,

BM=2Q,

???BGYCF,

.?.ZG為入△MG5斜邊3M上的中線，是斜邊的一半,

即AG=—BM=—x2a=a,

22

故②正確；

???CGtBE,

.■.S.=-CGxBE=-CExBC=-x-a2,

△BRCrEF2222

???BE=7CE2+BC2=J（-a）+a2=^a,

答案第6頁，共18頁

12

——1=——----Q

BE下5

----a

2

AG=a=辰G,

故③正確;

過點。作。交CF于點a,

由題意可知△CGEs/^cffiD,>C￡=-CD,

2

:.GE^-DH,CG=-CH

22

AG=y[5CG,

..CCr-Cl,

5

.”_2逐

..CH------a,

5

則HG=CH-CG=&a,

5

;CE=ga,CG=—a,

25

GE=^CE2-CG2=—a,，

10

又,:GE,DH,

2

,_V5

..DnHu——a,

5

DH=HG,

ZHGD=45°,

又；CF工BE,

:.NEGH=90°,

NDGE=ZEGH-ZHGD=45°,

故④正確；

答案第7頁，共18頁

【分析】分別設a=2m,c=2n,根據a￡c2可用m、n表示出b、d,代入所給代數式即可

得答案.

【詳解】設a=2m,c=2n,

6Z_c_2

~b~~d~3

???b=3m,d=3n,

a+c_2m+2n_2

b+d3m+3n3

2

故答案為：—

【點睛】本題考查等比性質的應用，若？=§=k,則*=k,熟練掌握等比性質是解題關

bdb+d

鍵.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，可求得他們恰好

從同一城門走出的結果有4種，再利用概率公式求解即可求得答案.此題考查的是用樹狀圖

法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成

的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

【詳解】解：依題意，分別記觀瀾門、北門、廷西門，望翠門為C,Z),E,尸，

畫樹狀圖如下：

開始

DEF

八八八

CDEFCDEFCDEFCDEF

共有16種等可能的結果，其中他們恰好從同一城門走出的結果有4種,

41

,他們恰好從同一城門走出的概率為7=：.

164

故答案為：；.

13.(15-5⑹

【分析】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金比是解題的關鍵.

答案第8頁，共18頁

根據黃金分割的定義可得上=絲=如二，由此求解即可.

ABAP2

【詳解】解：沒BP=x,則ZP=（10—x）。加，

ApRP

由題意可得，y,

ABAP

10-x_x

“10-10-J

.?.X]=15-5VL%=15+56（不合題意，舍去）,

:.BP=（15Scm.

故答案為：（15-5右）.

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據“場地的面積為15m2”列方程即可.

【詳解】解:設該長方形場地平行于墻的邊長度為xm,則垂直于墻的邊長度為I2+1一*m,

根據題意，得12+,一1=15,

故答案為：12+—.E5.

15.yV5

【分析】本題考查菱形的性質，相似三角形的判定與性質，如圖，過點G作交

3c的延長線于先由菱形的面積得到/3=8C=2,再依次利用勾股定理求出BE,

4EGM

EC,AC,跖的長度，設CW=Q,先證明△/ECSAGMC得到一=——，即GW=2〃，

ECCM

BEEF4

再證明得至!解得：=—,最后在Rt^CMG中，利用勾股定

BMGM15

理計算CG即可.

【詳解】解：如圖，過點G作GML8C,交2c的延長線于

AD

\E

A

答案第9頁，共18頁

[6R

???菱形的面積為彳，AE=M，AE1BC,

BC-AE—,AE//GM,

即BCx-=—,

55

??.BC=2,

/.AB=BC=2,

???在中，BE=yjAB2-AE2

64

:,EC=BC—BE=2——=-,

55

??.在RM/CE中，AC=yjAE2+EC2I：T」

???/ABF=AAFB,

??.AB=AF—2,

Q2

：,EF=AF-AE=2一一=-,

55

4

設CM=〃，則E"=￡C+C"=]

-AEVBC,GMIBC,

ZAEC=ZGMC=90°,AE//GMf

AAECS^GMC,

8

AEGM口口7GM

?**=,即~~r—

ECCM4a

GM=2a,

???AF〃GM,

???ABEFS^BMG,

BEEF--

--------，即Rn5,

BMGM=7

2+a2

2

解得：

.-.CAf=1,MG=2a=^f

答案第1。頁，共18頁

2逐

???在RtaCMG中，CG=y/CM2+MG2=24

故答案為：竽

16.(1)%!—y/5—1,x?=—\[s—1；

(2)項=—2,%2二-3

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解題的

關鍵.

(1)對原方程兩邊同時加上5,等號左邊的式子利用完全平方公式可以配方得(x+l)2,然

后兩邊同時開平方得：X+1=±V5,再分2類求解方程即可得出答案;

(2)對原方程移項得：3(X+2)2-X(X+2)=0,再將等號左邊的式子通過提公因式(尤+2)分

解因式得(X+2)(2X+6),再分2類情況求解方程(x+2)(2x+6)=0即可.

2

【詳解】(1)解：X+2X-4=0,

+2x—4+5=5,

+2x+1=5,

(x+l『=5,

x+1=+V5,

/.X]=V5—1,X2-—A/5-1.

(2)3(x+2)2=x(x+2),

3(x+2)2—x(x+2)=0,

(x+2)[3(x+2)-x]=0,

(x+2)(2x+6)=0,

x+2=0或2x+6=0,

..玉——2,x?——3.

17.⑴見解析

(2)4.1m

答案第11頁，共18頁

【分析】本題考查了中心投影，相似三角形的判定與性質，掌握中心投影的性質是解題的關

鍵.

(1)連接C8并延長交DE于點。，點。即為所求，連接0G并延長交。尸于"，線段尸77即

為所求；

(2)由中心投影的性質可得ACNBSACDP,從而嗡=黑，再將數據代入即可求解；

【詳解】(1)如圖所示，點尸為燈泡位置，線段尸。為小玉在燈下的影長.

E

P,、

CADFQ

(2)解：由題意，得，AB//DP,

KABs小CDP,

ABDP

?,就一灰’

口口1.64DP

即---=-------,

1.41.4+2.1

解得Z)P=4.1m,

故答案為：4.1m.

18.(1)見解析

(2)(2私2”)

【分析】本題考查了作圖一位似變換、坐標系與位似圖形：

(1)連接0C并延長，使得OG=2OC,得點G，同理得：點用，點4,依次連接，即可

求解；

(2)根據位似變換的性質即可求解；

熟練掌握畫位似圖形的一般步驟是解題的關鍵.

【詳解】(I)解：連接OC并延長，使得。G=20C,得點C-

同理得：點及，點4,依次連接，

答案第12頁，共18頁

如圖所示，△4烏。即為所求:

（2）根據△9G與"BC的位似比為2：1得：

尸（加,"）變換后的對應點片的坐標為：（2加,2"）,

故答案為：（2加,2”）.

19.⑴見解析

（2）$菱形4FCE=

【分析】（1）根據矩形性質以及垂直平分線性質先證明A/PE之ACP尸，得到/E=FC,先

證明四邊形AFCE是平行四邊形，再結合EF1/C得到結論；

（2）由矩形的性質得到N8為直角，在中，利用勾股定理求出/C的長，再求出

力。=亞，然后根據對角線乘積的一半即可求出菱形的面積.

3

【詳解】（1）證明：???Z5CQ為矩形，

/.AE//FC,

：.ZEAP=ZFCA,

EF垂直平分AC,

/.AP=CP,EFLAC,

???NAPE=NCPF,

:△APE知CPF,

AE=FC,

二.四邊形/bCE是平行四邊形，

?;EFLAC,

二.四邊形4/CE是菱形；

答案第13頁，共18頁

(2)解：在RtZ\/8C中，由3c=3,AB=2,

根據勾股定理得：AC=^AB2+BC2=根2+32=713，

ZEAP=ZACB,

tanZEAP=tanZACB,

EP_2

EPAB即邊!一§，

■-EP=—,

3

??.C

3

???菱形AFCE的面積S菱形憶==平義a=個

【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理,

解直角三角形，平行線性質，全等三角形的判定與性質，正確表示出菱形的面積是解答本題

的關鍵.

20.⑴;

1

⑵5

【分析】本題考查的是概率公式求概率，用畫樹狀圖法求概率.

（1）直接根據概率公式求解即可;

（2）根據題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數，找出符合條件的情況數，然后根據

概率公式即可得出答案.

【詳解】（1）解：?.?共有4張卡片,

，小安隨機抽取了一張卡片，卡片上是數學家劉徽郵票圖案的概率是:,

故答案為：:

（2）解：根據題意，畫樹狀圖如圖,

開始

ABCD

BCDACDABDABC

由圖可得，共有12種等可能結果，其中抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案的

答案第14頁，共18頁

有6種，

???抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案的概率為，=；

21.(1)見解析；

(2)5

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，角平分線的性質，關鍵是掌握相似三角形的判

定與性質.

(1)利用己知條件首先證明=然后利用相似三角形的判定即可解決問題；

(2)利用(1)的結論和相似三角形的性質代值求解即可得到答案.

【詳解】(1):BD平分/ABC,

/ABD=ZDBC,

ZC=90°

/BDC+/DBC=90。,

???ED1BD

/BDE=90°

???/ADE+ZBDE+ZBDC=180°

:.ZADE+ZBDC=90°

ZADE=ZABD

又?；ZA=/A,

「△ADEsaBD

(2)??,一DEs小ABD,

,AD_AE

一方一而’

又4。=6,4￡=4,

?6_4

,?瓦一不，

AB=9,

:.BE=AB-AE=9-4=5f

故答案為：5

22.(1)25%

(2)5元

【分析】(1)設二、三這兩個月的月平均增長率為％,根據題意列出方程即可；

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(2)設當商品降價加元時，商品獲利4250元，根據題意列出方程即可;

本題考查了一元二次方程的應用，根據題意找到等量關系是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：設二、三這兩個月的月平均增長率為％,

根據題意可得，256(1+x)2=400,

19

解得士=:，x2=--(不合題意，舍去)，

答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；

(2)解:設當商品降價機元時，商品獲利4250元，

根據題意可得，(40-25-m)(400+5m)=4250,

解得町=5,機2=-70(不合題意，舍去)，

答：當商品降價5元時，商場獲利4250元.

23.(1)72

(2)①成立，理由見解析；②g廂或|可

【分析】(1)根據正方形的性質，平行線分線段成比例，推