.3基本不等式及其應(yīng)用一、選擇題1.(2024河南信陽模擬,3)下列不等式恒成立的是()A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2|ab|D.a+b≤答案B對于A,由(a-b)2≥0,知a2+b2≥2ab,故A錯誤;對于B,由(a+b)2≥0,知a2+b2≥-2ab,故B正確;對于C,當(dāng)a=0,b=-1時,a+b=-1,-2|ab|=0,此時a+b<-2|ab|,對于D,當(dāng)a=0,b=1時,a+b=1,2|ab|=0,此時a+b>2|ab|,故D錯誤2.(2024河南焦作期中,2)設(shè)0<a<b<1且a+b=1,則下列四個式子中最小的是()A.aB.bC.2abD.a2+b2答案A∵0<a<b<1且a+b=1,∴0<a<12<b<1,a2+b2∴四個選項中只需比較2ab與a的大小.∵2ab-a=a(2b-1)>0,∴2ab>a,∴a最小.思路分析依據(jù)條件可得出0<a<12<b<1,a2+b2>2ab,然后作差即可得出2ab>a,從而可得答案3.(2024屆江西上饒期中,8)已知x,y>0,且3x+2y=1,則3x+2y的最小值是(A.25B.52C.20D.25答案D因為3x+2y=(3x+2y)·1=(3x+2y)3x+2y=9+4+6yx+6xy.因為x>0,y>0,所以yx>0,xy>0,所以3x+2y≥13+26yx·6xy=13+12=25.4.(2024屆江西新余月考,10)已知實數(shù)a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,則a+2bA.32B.22C.3D.2答案Ba+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·1a+1+1b+1-3=a+1b+1+2(b+1)a+1≥225.(2024屆陜西名校聯(lián)盟,8)已知m,n∈R,且m+n2=1,則9m+3n的最小值為(A.4B.6C.8D.9答案B∵m+n2=1,∴2m+n=2,∴9m+3n=32m+3n≥232m·3n=232m+n=6,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n,即6.(2024屆昆明模擬,9)若直線ax+by-2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2-2x-4y-16=0的周長,則1a+2b的最小值為(A.72B.4C.92答案C由已知得直線ax+by-2=0過圓心(1,2),∴a+2b-2=0,即a+2b=2.∵a>0,b>0,∴1a+2b=121a+2b(a+2b)=121+2ba+2ab7.(2024山西一模,7)已知a,b,c為正實數(shù),且a>4,ab+ac=4,則2a+2b+c+32A.8B.6C.4D.2答案A∵ab+ac=4,a>4,∴b+c=4a∴2a+2b+c+32a+b+c=2a+a2+32a+4a=2a+a2+162a+a2≥216=8,當(dāng)且僅當(dāng)2a8.(2024屆人大附中統(tǒng)練一,8)已知函數(shù)f(x)=|2x-2|,若f(a)=f(b)(a≠b),則a+b的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案Bf(x)=|2x-2|=2-2x,x<1,2x-2,x≥1,不妨令a<b,則由題意得a<1<b,由f(a)=f(b)得2-2a=2b-2,∴2a+2b=4,而2a+2b9.(2024屆河南六市聯(lián)考,10)設(shè)a>0,b>0,a+b=1,則下列選項中錯誤的是()A.ab的最大值為1B.9a+4bC.ab+1ab的最小值為D.(a+1)2+(b+1)2的最小值為9答案C對于A,ab≤a+b22=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號,故A正確;對于B,因為a>0,b>0,a+b=1,所以9a+4b=9a+4b(a+b)=13+9ba+4ab≥13+29ba·4ab=25,當(dāng)且僅當(dāng)9ba=4ab,a+b=1,即a=35,b=25時取等號,故B正確;對于C,由A可知令ab=t,t∈0,14,則y=t+1t在t∈0,二、填空題10.(2024屆北京市八一學(xué)校10月月考,12)函數(shù)y=x+4x-1(x>1)答案5解析∵x>1,∴x-1>0,∴y=x-1+4x-1+1≥當(dāng)且僅當(dāng)x=3時,等號成立.所以函數(shù)y=x+4x-111.(2024屆湖北九師聯(lián)盟11月質(zhì)量檢測,16)已知a>0,b≠0,且a+|b|=3,則9a