綜合測評(B)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.某物體做直線運動,其運動規律是s=t2+3t(t的單位是秒,s的單位是米),則它在4秒末的瞬時速度為()A.12316米/秒 B.12516米C.8米/秒 D.674米/解析∵ΔsΔt=(4+Δt)2+34+答案B2.已知數列{an},a1=1,a2=2,an+1=2an+an1(n≥2,n∈N+),用數學歸納法證明a4n能被4整除時,假設a4k(k∈N+)能被4整除,應證().A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除解析在數列{a4n}中,相鄰兩項下標差為4,所以a4k后一項為a4k+4.故選D.答案D3.大衍數列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論.主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項,都代表太極衍生過程中曾經經歷過的兩儀數量總和.該數列是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數列的第20項為().A.180 B.200 C.128 D.162解析由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶數項的通項公式為a2n=2n2,則此數列的第20項為2×102=200,故選B.答案B4.已知非常數列{an}滿足(an+2an)24(an+2an+1)(an+1an)=0(n∈N+),Sn為數列{an}的前n項和.若S2=2016,S2016=2,則S2018=().A.2018 B.2018C.2017 D.2017解析∵(an+2an)24(an+2an+1)(an+1an)=0,∴[(an+2an+1)+(an+1an)]24(an+2an+1)(an+1an)=0,化簡得[(an+2an+1)(an+1an)]2=0,∴an+2+an=2an+1,∴數列{an}為等差數列.又S2=2016,S2016=2,∴S2016S2=a3+a4+…+a2016=1007(a3+a2016)=2014,∴a3+a2016=a1+a2018=2,∴S2018=2018(a1故選B.答案B5.已知函數f(x)=2ex+1+3sinx,f'(x)為函數f(x)的導函數,則f(2020)+f(2020)+f'(2019)f'(2019)=(A.2019 B.2018 C.4 D.2解析因為f(x)=2ex+1+3sinx,所以f'(x)=-2所以f'(x)=-2e-x(e-x+1)2+所以f'(x)為偶函數,所以f'(2019)=f'(2019).又f(x)=2e-x+1+3sin(x)=所以f(x)+f(x)=2ex+1+3sinx+2exex+13sinx=2,所以f(2020)+f(2020)+f'答案D6.在下列四個圖象中,其中一個圖象是函數f(x)=13x3ax2+(a24)x+8(a≠0)的導函數y=f'(x)的圖象,則f(2)=()(第6題)A.83 B.83 C.173解析∵f'(x)=x22ax+(a24),∴導函數f'(x)的圖象開口向上.又a≠0,∴f'(x)不是偶函數,其圖象不關于y軸對稱,故其圖象必為圖象③.由圖象特征知f'(0)=0,且對稱軸x=a>0,∴a=2,則f(2)=838+8=83.答案B7.已知數列{an}的前n項和為Sn,前n項積為Πn,若Πn=(3)n(n+1),則S5=().A.120 B.366 C.126 D.363解析因為ΠnΠn-1=所以an=3n(n≥2).又a1=Π1=(3)2=3符合上式,所以an=3n,即數列{an}是以3為首項,3為公比的等比數列,則S5=3×(1答案D8.設Sn為正項數列{an}的前n項和,a2=3,Sn+1Sn=2n2A.3×223 B.3×224C.223 D.224解析由Sn+1Sn=2n2Sn+1+n-4Sn,得Sn+1(2Sn+1+n4Sn)=2nS因為數列{an}為正項數列,所以2Sn+1+n>0,可得Sn+1=2Sn,則數列{Sn}是公比為2的等比數列,又a2=S2S1=S1=3,所以Sn=3×2n1,所以a25=S25S24=3×223,故選A.答案A二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.設數列{an}是等差數列,Sn是其前n項和,a1>0,且S6=S9,則().A.d<0B.a8=0C.S5>S6D.S7或S8為Sn的最大值解析根據題意可得a7+a8+a9=0,即3a8=0,即a8=0,故B正確;因為數列{an}是等差數列,a1>0,所以公差d<0,所以數列{an}是單調遞減數列,故A正確;對于C,由a6>0,得S5<S6,故C不正確;對于D,由a8=0,得S7=S8,又數列為遞減數列,則S7或S8為Sn的最大值,故D正確.故選ABD.答案ABD10.已知等比數列{an}的公比q=23,等差數列{bn}的首項b1=12,若a9>b9且a10>b10,則以下說法正確的有()A.a9a10<0 B.a9>a10C.b10>0 D.b9>b10解析等比數列{an}的公比q=23,故a9和a10異號,故a9a10<0,故A正確;但不能確定a9和a10∵a9和a10異號,且a9>b9且a10>b10,∴b9和b10中至少有一個數是負數,∵b1=12>0,∴等差數列{bn}的公差d<0,∴b9>b10,故D正確;∴b10一定是負數,即b10<0,故C不正確.故選AD.答案AD11.若Sn為數列{an}的前n項和,且Sn=2an+1(n∈N+),則下列說法正確的是()A.a5=16B.S5=63C.數列{an}是等比數列D.數列{Sn+1}是等比數列解析因為Sn為數列{an}的前n項和,且Sn=2an+1(n∈N+),所以S1=2a1+1,因此a1=1.當n≥2時,an=SnSn1=2an2an1,即an=2an1,所以數列{an}是以1為首項,2為公比的等比數列,故C正確;因此a5=1×24=16,故A正確;又Sn=2an+1=2n+1,所以S5=25+1=31,故B錯誤;因為S1+1=0,所以數列{Sn+1}不是等比數列,故D錯誤.故選AC.答案AC12.設函數f(x)=exlnx,則下列說法正確的是(A.f(x)的定義域是(0,1)∪(1,+∞)B.x∈(0,1)時,f(x)的圖象位于x軸下方C.f(x)存在單調遞增區間D.f(x)有且僅有兩個極值點解析對A選項,要使f(x)=exlnx有意義,需滿足x>0,lnx≠0,解得x>0且x≠1,f(對B選項,由f(x)=exlnx,當x∈(0,1)時,lnx<0,f(x)<0,f(x)在(0,1)上的圖象都在對C選項,f'(x)=exlnx-1x(lnx)2,令g(x)=lnx1x,∵g'(x)=∵g(2)=ln212>0,∴x>2時,g(x)>0,f'(x)>0.∴f(x)存在單調遞增區間,故C正確對D選項,g(x)在(0,+∞)上單調遞增,且g(1)=ln111=1<0,g(2)=ln212>0,存在唯一的x0∈(1,2),使g(x0)=0,即f'(x0)=0,當x∈(0,x0)時,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調遞增,故f(x答案ABC三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.若曲線y=2xx3在橫坐標為1的點處的切線為l,則圓(x3)2+(y2)2=1上任意一點到直線l的距離的最小值為.

答案7214.若數列{an}是正項數列,且a1+a2+…+an=n2+3n(n∈N+),則an=;a12+解析令n=1,得a1=4,∴a1=16當n≥2時,a1+a2+…+an-1=(n1)2+3(n1),則an=(n2+3n)[(n1)2+3(n1)]=2n+2,∴an∴an=4(n+1)2(n∈N+),∴ann+1=∴a12+a23+…+ann+1=4(1+2+…+n)+答案4(n+1)22n2+6n15.對于數列{an},定義數列{an+12an}為數列{an}的“2倍差數列”.若a1=2,數列{an}的“2倍差數列”的通項為2n+1,則數列{an}的前n項和Sn=.

解析由題意,可得an+12an=2n+1,且a1=2,則an+12n+1所以an2n=1+(n1)×1=n,所以an=n·2n,則Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n1)×2n1+n×2n,2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n1)×2n+n×2n+1,兩式相減可得Sn=2+22+23+…+2nn·2n+1=2(1-解得Sn=(n1)·2n+1+2.答案(n1)·2n+1+216.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足:當x≥0時,f(x)=xsinx.若不等式f(4t)>f(2m+mt2)對任意實數t恒成立,則實數m的取值范圍是.

解析由題意得,當x>0時,f'(x)=1cosx≥0,則f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增,可求得當x<0時,f(x)=xsinx,故f(x)在R上單調遞增,那么由f(4t)>f(2m+mt2),可得4t>2m+mt2在R上恒成立.(方法一)即mt2+4t+2m<0在R上恒成立.當m≥0時,不等式在R上不恒成立,所以m<0,此時只需Δ=168m2<0,所以m<2.(方法二)分離參數得m<4t令g(t)=4tt2+2,求導可得,g'(t)=4(t2-2)(t2+2)2,令g'(t)>0,則t<2或t>2,令g'(t)<0,則2<t<2又當t趨于∞時,g(t)趨于0,g(2)=2,所以g(t)min=g(2)=2,所以m<2.答案(∞,2)四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)求曲線y=1a-x在點M解將點M(2,1)的坐標代入y=1a-x所以y=11所以y'=lim=lim=limΔ所以曲線在點M處的切線斜率為1(1-故曲線在點M處的切線方程為y(1)=x2,即xy3=0.18.(12分)已知f(n)=1+12+13+…+1n,n∈N+,求證:n+f(1)+…+f(n1)=nf(n)(n≥2,且n證明(1)當n=2時,左邊=2+f(1)=3,右邊=2f(2)=3,等式成立.(2)假設當n=k(k≥2,k∈N+)時,k+f(1)+…+f(k1)=kf(k).當n=k+1時,k+1+f(1)+…+f(k1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)·f(k)+1k+1=(k+1)f(k+1).即n=k+1時,命題成立.根據(1)和(2),可知結論正確.19.(12分)在①a5=b4+2b6,②a3+a5=4(b1+b4),③b2S4=5a2b3這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并解答.設{an}是公比大于0的等比數列,其前n項和為Sn,{bn}是等差數列.已知a1=1,S3S2=a2+2a1,a4=b3+b5,.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)設Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求Tn.解(1)選條件①:設等比數列{an}的公比為q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.設等差數列{bn}的公差為d,∵a4=b3+b5,a5=b4+2b6,∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.選條件②:設等比數列{an}的公比為q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.設等差數列{bn}的公差為d,∵a4=b3+b5,a3+a5=4(b1+b4),∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.選條件③:設等比數列{an}的公比為q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.設等差數列{bn}的公差為d,∵a4=b3+b5,b2S4=5a2b3,∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.(2)an=2n1,bn=n,∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×20+2×21+…+(n1)×2n2+n×2n1,①∴2Tn=1×21+2×22+…+(n1)×2n1+n×2n,②①②,得Tn=1+21+22+…+2n1n×2n=1-2n1-2n×2n=2n1n×2n,∴Tn=(n1)20.(12分)為了保護環境,某工廠在政府部門的鼓勵下進行技術改進,把二氧化碳轉化為某種化工產品,經測算,處理成本y(單位:萬元)與處理量x(單位:噸)之間的函數關系近似地滿足y=125x3+640,解由題意,可知二氧化碳每噸的平均處理成本P(x)=y①當x∈[10,30)時,P(x)=125x2+640x,所以P'(x)=225x640x2=2(x3-8000)25x2,當x∈(10,20)時,P'(x)<0,P(x)單調遞減;當x∈(20,30)時,P'(x)>0,P②當x∈[30,50]時,P(x)=x+1600x40≥2x·1600x40=40,當且僅當x=1600x,即x=40時,P(x)取得最小值因為48>40,所以當處理量為40噸時,每噸的平均處理成本最少.21.(12分)設k為正整數,若數列{an}滿足a1=1,且(an+1an)2=(n+1)k,則稱數列{an}為“k次方數列”.(1)設數列{an}為“2次方數列”,且數列ann為等差數列,求數列{a(2)設數列{an}為“4次方數列”,且存在正整數m滿足am=15,求m的最小值.解(1)因為數列{an}為“2次方數列”,所以(an+1an)2=(n+1)2,于是a2a1=±2.又a1=1,故a2=1或a2=3.當a2=3時,由數列ann為等差數列,得數列ann的首項為1,公差為12,所以ann=1+(n1)×12=12(當a2=1時,由數列ann為等差數列,得數列ann的首項為1,公差為32,所以ann=132(n1)=32n+52,所以a綜上所述,數列{an}的通項公式為an=12(n2+n)(2)因為數列{an}為“4次方數列”,所以an+1an=±(n+1)2,即an=1±22±32±…±n2.因為am=15,當m≤3時,am的最大值是1+22+32=14,所以m≤3時不成立;當m=4時,因為1±22±32±42等于28,20,10,2,4,12,22,30,所以m=4時不成立;當