6/22河南省商丘市2024年八年級上學期《數學》期中試題與參考答案一、選擇題每小題3分，共30分。1．下列四個商標圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．2．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．AD B．BE C．BF D．CG【分析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．根據三角形的高線的定義解答．解：由圖可知，△ABC中，BC邊上的高為AD，故選：A．【點評】本題考查了三角形的高線的定義，是基礎題，準確識圖并熟記高線的定義是解題的關鍵．3．一個正六邊形的內角和的度數為（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【分析】利用多邊形的內角和定理解答即可．解：一個正六邊形的內角和的度數為：（6﹣2）×180°＝720°，故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和，利用多邊形的內角和定理解答是解題的關鍵．4．如圖，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，則∠CEB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】因為△CAD≌△CBE，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，∠CEB＝∠CDA從而求出∠CEB度數．解：因為△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠C＝70°，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，所以∠CEB＝∠CDA＝180°﹣30°﹣70°＝80°，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應角相等的應用．5．如圖，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周長為12cm，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則△ACB的周長為（）A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm【分析】利用垂直平分線的性質解題即可．解：因為AB的垂直平分線MN交AC于點D，所以AD＝BD，所以△CBD的周長＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12cm，因為BC＝4cm，所以AC＝12﹣4＝8（cm），因為AB＝AC，所以△ACB的周長為：8+8+4＝20（cm），故選：A．【點評】本題主要考查垂直平分線的性質的運用，能夠熟練運用垂直平分線的性質得到AC的長是解題關鍵．6．如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，欲證△ABD≌△ACE，不可補充的條件是（）A．BD＝CE B．∠D＝∠E C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE【分析】根據全等三角形的判定解決此題．解：A．由AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，根據SSS可得△ABD≌△ACE，那么A不符合題意．B．由AB＝AC，AD＝AE，∠D＝∠E，根據全等三角形的判定無法推斷出△ABD≌△ACE，那么B符合題意．C．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根據SAS可推斷出△ABD≌△ACE，那么C不符合題意．D．由∠BAC＝∠DAE，得∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根據SAS可推斷出△ABD≌△ACE，那么D不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關鍵．7．如圖，在正△ABC中，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF⊥AC于F，DE⊥BC交AB于點E，則∠EDF的度數為（）A．50° B．60° C．65° D．75°【分析】先根據等邊三角形的性質得出∠C＝60°，根據直角三角形的性質求出∠CDF＝90°﹣60°＝30°，再根據平角定義求解即可．解：因為△ABC是等邊三角形，所以∠C＝60°，因為DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，所以∠BDE＝∠CFD＝90°，所以∠CDF＝90°﹣60°＝30°，所以∠EDF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故選：B．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，點D在邊AB上，CA＝CD，BD＝8，則AD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由等腰三角形的性質可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性質可求解BE的長，即可求得DE的長，進而可求解．解：過C點作CE⊥AD于E，因為CA＝CD，所以AD＝2DE，因為∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，所以∠BCE＝30°，所以BE＝BC＝10，因為BD＝8，所以DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，所以AD＝4．故選：C．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．9．如圖是5×5的正方形網格，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，像△ABC這樣的三角形叫格點三角形．畫與△ABC有一條公共邊且全等的格點三角形，這樣的格點三角形最多可以畫出（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】可以以AB和BC為公共邊分別畫出3個，AC不可以，故可求出結果．解：以BC為公共邊可畫出△BDC，△BEC，△BFC三個三角形和原三角形全等．以AB為公共邊可畫出三個三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可畫出6個．故選：D．【點評】本題考查全等三角形的性質，三條對應邊分別相等，以及格點的概念，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關鍵．10．如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】據要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，因為∠C＝50°，所以∠DAB＝130°，所以∠HAA′＝50°，所以∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，因為∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，所以∠EAA′+∠A″AF＝50°，所以∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故選：D．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出E，F的位置是解題關鍵．二、填空題每小題3分，共15分。11．在平面直角坐標系中，點P（﹣2，﹣3）關于x軸對稱點的坐標為（﹣2，3）．【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質得出答案．解：點P（﹣2，﹣3）關于x軸對稱點的坐標為：（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．12．已知三角形三條邊長分別是2、a、3，且a為奇數，則a＝3．【分析】首先根據三角形的三邊之間的關系得：3﹣2＜a＜3+2，由此解得1＜a＜5，然后再根據a為奇數即可求出a的值．解：根據三角形的三邊之間的關系得：3﹣2＜a＜3+2，所以1＜a＜5，因為a為奇數，所以a＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了三角形的三邊之間關系，解答此題的關鍵是熟練掌握三角形的三邊之間關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．13．已知△ABC的三邊長為x，2，6，△DEF的三邊長為5，6，y，若△ABC與△DEF全等，則x+y＝7．【分析】根據全等三角形對應邊相等解答即可．解：因為△ABC與△DEF全等，△ABC的三邊長為x，2，6，△DEF的三邊長為5，6，y，所以x＝5，y＝2，所以x+y＝7，故答案為：7．【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質并準確識圖是解題的關鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值．【分析】作FG⊥AD交AC于點G，交AD于點Q，作BH⊥AC，易證∠BAD＝∠CAD，即可證明△AQG≌△AQF，可得AF＝AG，即可證明△AEF≌△AEG，可得EG＝EF，即可求得BE+EF＝BG，根據BG最短為BH即可解題．解：作FG⊥AD交AC于點G，交AD于點Q，作BH⊥AC，因為AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，在△AQG和△AQF中，，所以△AQG≌△AQF（ASA），所以AF＝AG，在△AEF和△AEG中，，所以△AEF≌△AEG（SAS），所以EG＝EF，所以BE+EF＝BE+EG＝BG，因為BG最短為BH，所以BE+EF最短為BH，因為AB＝，∠BAC＝30°，所以BH＝AB＝，故答案為．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質，本題中求證△AQG≌△AQF和△AEF≌△AEG是解題的關鍵．15．已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果點P在射線OC上，射線OA上的點E滿足是△OPE等腰三角形，那么∠OEP的度數為120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根據等腰得出三種情況，OE＝PE，OP＝OE，OP＝PE，根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可．解：如圖，因為∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝30°，①當E在E1時，OE＝PE，因為∠AOC＝∠OPE＝30°，所以∠OEP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②當E在E2點時，OP＝OE，則∠OPE＝∠OEP＝×（180°﹣30°）＝75°；③當E在E3時，OP＝PE，則∠OEP＝∠AOP＝30°．故∠OEP的度數為120°或75°或30°．故答案為：120°或75°或30°．【點評】本題考查了角等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想．三、解答題。（共8題，共75分）16．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D．DE⊥BC于E，∠B＝40°，∠A＝70°．求∠EDC的度數．【分析】根據三角形內角和定理求出∠ACB，根據角平分線的定義求出∠DCB，根據平行線的性質求出即可．解：因為∠B＝40°，∠A＝70°，所以在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝70°，因為CD平分∠ACB，所以∠DCB＝∠ACB＝35°，因為DE⊥BC，所以∠EDC＝90°﹣∠DCB＝55°．【點評】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，平行線的性質等知識點，能求出∠DCB的度數是解此題的關鍵．17．如圖，已知∠A＝∠D＝90°，點E、點F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝DC，BE＝CF．求證：OE＝OF．【分析】證明Rt△ABF≌Rt△DCE，根據全等三角形的性質得到∠AFB＝∠DEC，根據等腰三角形的判定定理證明結論．【解答】證明：因為BE＝CF，所以BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，所以Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）所以∠AFB＝∠DEC，所以OE＝OF．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．18．用一條長為20cm的細繩圍成一個等腰三角形（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊長為5cm的等腰三角形嗎？如果能，請求出它的另兩邊．【分析】（1）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；（2）題中沒有指明5cm所在邊是底還是腰，故應該分情況進行分析，注意利用三角形三邊關系進行檢驗．解：（1）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm，則2x+2x+x＝20解得，x＝4所以2x＝8所以各邊長為：8cm，8cm，4cm．（2）①當5cm為底時，腰長＝7.5cm；②當5cm為腰時，底邊＝10cm，因為5+5＝10，故不能構成三角形，故舍去；故能構成有一邊長為5cm的等腰三角形，另兩邊長為7.5cm，7.5cm．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系的綜合運用．19．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）利用尺規作圖作BC的垂直平分線，垂足為F，交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB；（2）若AE＝3，求△ABD的周長．【分析】（1）根據線段垂直平分線的作法即可解決問題；（2）連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，再根據線段垂直平分線的性質求解即可．解：（1）如圖，DF即為所求；（2）連接BD，設BC垂直平分線交BC于點F，所以BD＝CD，因為C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，因為AB＝CE，所以C△ABD＝AC+CE＝AE＝3，故△ABD的周長為3．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，線段垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．20．如圖，有一張圖紙被破壞，上面兩個標志點A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣2）清晰，而主要建筑標志點C（﹣1，0）被破損．（1）請在圖中標出C點的位置；（2）連接AB、AC、BC，作△ABC關于y軸對稱的圖形△DEF；（3）求△DEF的面積．【分析】（1）根據平面直角坐標系中點的坐標的特征可得點C的位置；（2）根據軸對稱的性質即可畫出圖形；（3）利用△DEF所在的矩形面積減去周圍三個直角三角形面積，可得答案．解：（1）如圖，點C即為所求；（2）如圖，△DEF即為所求；（3）△DEF的面積為3×4﹣＝5．【點評】本題主要考查了作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．21．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．【分析】（1）利用中點性質可得BD＝CD，由平行線性質可得∠DBE＝∠DCF，再由對頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結論；（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性質可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）證明：因為AD是BC邊上的中線，所以BD＝CD，因為BE∥CF，所以∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，所以△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：因為AE＝13，AF＝7，所以EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，因為△BDE≌△CDF，所以DE＝DF，因為DE+DF＝EF＝6，所以DE＝3．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．22．已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數量關系．【分析】（1）①要證明△BDF≌△ADC，如圖，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可證BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可證得∠AFE＝∠ACD，又因為∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），所以∠ACD＝∠BFD；運用AAS，問題可證．②由△BDF≌△ADC可證得DF＝DC；因為AD＝AF+FD，所以AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可證得AF＝GF；于是問題可證．（2）因為∠ABC＝135°，所以∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，所以FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通過證明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．解：（1）①證明：因為∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，所以∠BAD＝∠ABC＝45°，所以AD＝BD；因為∠BEC＝90°，所以∠CBE+∠C＝90°又因為∠DAC+∠C＝90°，所以∠CBE＝∠DAC；因為∠FDB＝∠CDA＝90°，所以△FDB≌△CDA（ASA）②因為△FDB≌△CDA，所以DF＝DC；因為GF∥BC，所以∠AGF＝∠ABC＝45°，所以∠AGF＝∠BAD，所以FA＝FG；所以FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之間的數量關系為：FG＝DC+AD．理由：因為∠ABC＝135°，所以∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，所以BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；因為∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，所以∠DFB＝∠DCA；又因為∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，所以△BDF≌△ADC（AAS）；所以DF＝DC，所以FG、DC、AD之間的數量關系為：FG＝DC+AD．【點評】本題綜合考查了三角形全等的判定和性質；利用三角形全等證明線段相等是經常使用的重要方法，注意掌握．23．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上