式的運算及因式分解

乘法公式

我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式3+6)(。—力=/一〃；

(2)完全平方公式(a±hj=a±2aZH-.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+力Q—abr2b)=3a+；

(2)立方差公式(々一力(五+ah-2b)=3a-；

(3)三數和平方公式(a+Z?4-c)2=a2+Z/+。2+2(必+bc+ac)；

(4)兩數和立方公式(a+力］=d+3*ZH-3a%+；

(5)兩數差立方公式(a—6)3=a?-3a2h+3a方一占3

對上面列出的五個公式,有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(%—1)(X"—X+1)(X^+X+1).

例2已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求/+h2+。2的值

二次根式

一般地，形如Gm20)的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能

夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+^^+2b,從等是無理式,

而VSY++iJ2xy+y2,等是有理式.

2+

例3:試比較下列各組數的大小:

2

(1)厄-而和VTT-麗；(2)和2行一遍.

娓+4

例4化簡：(百+夜嚴-夜嚴.

分式

1.分式的意義

4A

形如有的式子，若5中含有字母，且BwO,則稱j為分式.當M#)時,

分式《具有下列性質：

B

AAxM

~B~BxM

A_A^M

上述性質被稱為分式的基本性質.

2.繁分式

a

像工,竺在義這樣，分子或分母中乂含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

例5(1)試證：一!—=--——(其中〃是正整數)；

〃(〃+1)nn+\

(2)計算：—+—++—!—

1x22x39x10

(3)證明：對任意大于i的正整數小有一!一+」_+11

H------<一■

2x33x4n(n+1)2

因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,

另外還應了解求根法及待定系數法.

1.十字相乘法

例1：分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy-^-aby2；(4)xy-\+x-y.

2.提取公因式法

例2分解因式：（1）a2（p-5）+a（5-b）(2)d+9+3f+3/

3：公式法

例3分解因式：（1）一4+16（2）（3x+2y）2-（x-y）2

4.分組分解法

例4(1)X2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

5.關于x的二次三項式“V+bx+c（存0）的因式分解.

若關于x的方程依2+/?x+c=0（〃。0）的兩個實數根是玉、七，則二次三項式

ax2+Z?x+c伍工（））就可分解為a（x-4）（無一天）.

例5把下列關于x的二次多項式分解因式：

(1)x+2x—1；(2)x2+4孫-4y2.

習題

1、已知x+y=l,求/+爐+3盯的值.

2、若J（l-〃）2+J（l+〃）2=2,則。的取值范圍是

1]]]]

1+V26+66+〃675+76

4、已知：x=-,y=-,求的值?

23?+6

5、解方程2。2+4)-3(%+4)-1=0.

xx

---+----+++

1x32x43x5-----9x11

7.在實數范圍內因式分解：

(1)%2—5x+3；(2)—2>/2x—3；

(3)3x~+4xy—y"；(4)(x~-2x)~-7(x~-2x)+12.

8.&48C三邊a,b,c滿足L+〃+(?=。匕+譏，+的，試判定AABC的形狀.

9.分解因式：/+%一(/—〃).

一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問

題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：

設燈和心分別是一元二次方程+方0(〃當)).則

-b+\lb2-4ac-b-ylb2-4ac

12a22a

-b+\Jb2-4ac-b-yjb1-4ac2\]b2-4ac

2a

_A/Z72-4ac_>/A

I?I=Td,

于是有下面的結論：

若Xi和也分別是一元二次方程。*2+必+。=0(40),貝!][X]一力|=^^(其中A=b?