第一章1.1第1課時A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．下列各組對象能組成一個集合的是(C)①某中學(xué)高一年級全部聰慧的學(xué)生；②周長為10cm的三角形；③全部不小于3的正整數(shù)；④eq\r(3)的全部近似值．A．①② B．③④C．②③ D．①③[解析]①④不符合集合中元素的確定性．故選C．2．已知集合S中的三個元素l，m，n分別是△ABC的三邊長，則△ABC肯定不是(D)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[解析]因?yàn)榧现械脑厥腔ギ惖模詌，m，n互不相等，即△ABC不行能是等腰三角形，故選D.3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解為元素組成集合M，則M中元素的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]方程x2－5x＋6＝0的解為x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解為x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3個元素．4．由實(shí)數(shù)x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(x2)所組成的集合，其含有元素的個數(shù)最多為(A)A．2 B．3C．4 D．5[解析]∵eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(x2)＝－|x|，故當(dāng)x＝0時，這幾個實(shí)數(shù)均為0；當(dāng)x>0時，它們分別是x，－x，x，x，－x；當(dāng)x<0，它們分別是x，－x，－x，－x，x.最多表示2個不同的數(shù)，故集合中的元素最多為2個．5．假如集合A中含有三個元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a為(B)A．2 B．2或4C．4 D．0[解析]∵a∈A，∴當(dāng)a＝2時，6－a＝4，∴6－a∈A；當(dāng)a＝4時，6－a＝2，∴6－a∈A；當(dāng)a＝6時，6－a＝0，∴6－a?A，故a＝2或4.二、填空題6．設(shè)A表示“中國全部省會城市”組成的集合，則深圳_?_A，廣州_∈_A(填“∈”或“?”)．[解析]深圳不是省會城市，而廣州是廣東省的省會．7．設(shè)直線y＝2x＋3上的點(diǎn)集為P，點(diǎn)(2,7)與點(diǎn)集P的關(guān)系為(2,7)_∈_P(填“∈”或“?”)．[解析]直線y＝2x＋3上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y滿意關(guān)系：y＝2x＋3，即只要具備此關(guān)系的點(diǎn)就在直線上．由于當(dāng)x＝2時，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.8．設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_k≠±1_.[解析]由集合元素的互異性可知，k2≠1，所以k≠±1.三、解答題9．已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值．[解析]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，所以a≠1；當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合集合中元素的互異性，所以a＝－1.10．已知集合A中含有兩個元素x，y，集合B中含有兩個元素0，x2，若A＝B，求實(shí)數(shù)x，y的值．[解析]因?yàn)榧螦，B相等，則x＝0或y＝0.①當(dāng)x＝0時，x2＝0，則不滿意集合中元素的互異性，故舍去．②當(dāng)y＝0時，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0應(yīng)舍去．綜上知，x＝1，y＝0.B組·實(shí)力提升一、選擇題1．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因?yàn)?∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要滿意互異性，對m的全部取值進(jìn)行一一檢驗(yàn)可得m＝3，故選B.2．(多選題)集合A有且只有2個元素構(gòu)成，且滿意“a∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*”，則實(shí)數(shù)a的值可以是(AC)A．1 B．2C．3 D．4[解析]因?yàn)閍∈A且4－a∈A，a∈N*且4－a∈N*，若a＝1，則4－a＝3，此時A滿意要求；若a＝2，則4－a＝2，此時A含1個元素不滿意要求．若a＝3，則4－a＝1，此時A滿意要求；若a＝4，則4－a＝0?N*，此時A不滿意要求，故選AC．3．(多選題)已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，z＝eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(xy,|xy|)可能的取值組成的集合為A，則下列推斷錯誤的是(ACD)A．3∈A，－1?A B．3∈A，－1∈AC．3?A，－1∈A D．3?A，－1?A[解析]當(dāng)x>0，y>0時，z＝1＋1＋1＝3；當(dāng)x>0，y<0時，z＝1－1－1＝－1；當(dāng)x<0，y>0時，z＝－1＋1－1＝－1；當(dāng)x<0，y<0時，z＝－1－1＋1＝－1.所以3∈A，－1∈A．故選ACD.二、填空題4．用符號“∈”或“?”填空：(1)設(shè)集合B是小于eq\r(11)的全部實(shí)數(shù)的集合，則2eq\r(3)_?_B,1＋eq\r(2)_∈_B；(2)設(shè)集合C是滿意方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合，則3_?_C,5_∈_C；(3)設(shè)集合D是滿意方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(x，y)組成的集合，則－1_?_D，(－1,1)_∈_D.[解析](1)∵2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，∴2eq\r(3)?B；∵(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，∴1＋eq\r(2)<eq\r(11)，∴1＋eq\r(2)∈B.(2)∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當(dāng)n＝2時，n2＋1＝5，∴5∈C．(3)∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，但－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.5．若eq\f(1－a,1＋a)∈A，且集合A中只含有一個元素a，則a的值為－1±eq\r(2)_.[解析]由題意，得eq\f(1－a,1＋a)＝a，∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±eq\r(2).三、解答題6．已知集合A中含有兩個元素a－3和2a－1.(1)若－2是集合A中的元素，試求實(shí)數(shù)a的值；(2)－5能否為集合A中的元素？若能，試求出該集合中的全部元素；若不能，請說明理由．[解析](1)因?yàn)椋?是集合A中的元素，所以－2＝a－3或－2＝2a－1.若－2＝a－3，則a＝1，此時集合A含有兩個元素－2,1，符合要求；若－2＝2a－1，則a＝－eq\f(1,2)，此時集合A中含有兩個元素－eq\f(7,2)，－2，符合要求．綜上所述，滿意題意的實(shí)數(shù)a的值為1或－eq\f(1,2).(2)不能．理由：若－5為集合A中的元素，則a－3＝－5或2a－1＝－5.當(dāng)a－3＝－5時，解得a＝－2，此時2a－1＝2×(－2)－1＝－5，明顯不滿意集合中元素的互異性；當(dāng)2a－1＝－5時，解得a＝－2，此時a－3＝－5明顯不滿意集合中元素的互異性．綜上，－5不能為集合A中的元素．C組·創(chuàng)新拓展設(shè)集合S中的元素x＝m＋neq\r(2)，m，n∈Z.(1)若a∈Z，則a是否是集合S中的元素？(2)對S中的隨意兩個元素x1，x2，則x1＋x2，x1·x2是否屬于S?[解析](1)a是集合S中的元素，因?yàn)閍＝a＋0×eq\r(2)∈S.(2)不妨設(shè)x1＝m＋neq\r(2)，x2＝p＋qeq\r(2)，m，n，p，q∈Z.則x1＋x2＝(m＋neq\r(2))＋(p＋qeq\r(2))＝(m＋p)＋(n＋q)eq