第7章彎曲變形第7章彎曲變形§7.1

工程中的彎曲變形問題§7.2

撓曲線的微分方程

§7.3

積分法求彎曲變形§7.4疊加法求彎曲變形§7.5簡單超靜定梁§7.6提高彎曲剛度的一些措施§7.1工程中的彎曲變形問題返回總目錄

起重機大梁如果變形過大，將使梁上小車行走困難，出現爬坡現象，還會引起振動等。一、工程中的彎曲變形問題返回軸的變形過大時，會影響齒輪嚙合，加速齒輪、軸承磨損，產生噪聲等問題。一、工程中的彎曲變形問題返回軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產品不合格。一、工程中的彎曲變形問題

在車床上車削外圓時，如果工件變形太大，將影響加工精度。一、工程中的彎曲變形問題返回

疊板彈簧應有較大變形，才能更好地起到緩沖減振作用。一、工程中的彎曲變形問題返回二、梁的剛度條件

梁的剛度條件，就是根據需要，將最大撓度和轉角(或者指定截面處的撓度和轉角)限制在一定范圍內，即：返回§7.2撓曲線的微分方程返回總目錄一、彎曲變形梁的軸線變形后的曲線。對稱彎曲時是一條平面曲線。撓曲線撓曲線方程撓度

w橫截面形心沿y方向的位移向上為正轉角

橫截面相對其原位置轉過的角度逆時針為正因

在工程中，一般很小返回二、撓曲線微分方程

略去剪力對彎曲變形的影響，上一章得到：由高等數學公式：因為返回二、撓曲線微分方程考慮符號——撓曲線的近似微分方程返回§7.3積分法求彎曲變形返回總目錄撓曲線近似微分方程積分一次，得再次積分，得式中，C、D為積分常數由梁上的邊界、光滑連續條件確定。一、積分法求彎曲變形即——轉角方程——撓度方程返回二、邊界、連續光滑條件邊界條件撓曲線上轉角與撓度已知的條件。如：w

D=0；

D＝0wA=

0；w

C=0連續光滑條件撓曲線是一條連續光滑的曲線如：wB左=wB右；

B左＝

B右一般，梁上邊界、連續光滑條件總數等于積分常數的個數。返回找出梁上的邊界、連續光滑條件。E2m2mq=10kN/mADB2mP＝20kN邊界和連續光滑條件：6個例題7-1解：1.確定條件個數2.邊界條件3.連續光滑條件B處：D處：彎矩方程：三個積分常數：6個返回已知：均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。求：梁的撓度與轉角方程，以及最大撓度和最大轉角。

例題7-2返回x解：1.確定支座反力qlql2/22.建立微分方程并積分積分一次,得再次積分,得3.由邊界條件確定積分常數返回解：4．

確定撓度與轉角方程返回解：5．

確定最大轉角與最大撓度

從撓曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉角均為最大值。最大轉角最大撓度返回例題7-3已知：EI=

常數

求：1)撓度、轉角方程；2)wmax,θmax。

3.列撓曲線近似微分方程并積分2.分段列彎矩方程1.求支反力解：AC段CB段例題7-3解：4.由邊界連續、條件確定積分常數返回例題7-3解：5.撓度與轉角方程AC段CB段6.確定最大轉角若a＞b，則θmax=θB返回例題7-3解：7.確定最大撓度若a＞b，則wmax在AC段

8.比較最大撓度與梁跨度中點撓度當P接近端點B，即b→0時，→0.5l此時結論:

可用中點撓度近似代替最大撓度。返回§7.4疊加法求彎曲變形返回總目錄梁在簡單載荷作用下的變形圖表。一、求彎曲變形的疊加法

當彎曲變形很小，且材料服從胡克定律時，梁上同時作用多個載荷時的變形等于每一載荷單獨作用下引起的變形的疊加。在內力不變的前提下，將梁分解為幾段，求出各段的變形，然后進行疊加。二、疊加法求彎曲變形的基礎三、疊加法的類型將載荷分解為幾個簡單載荷，分別求解后，進行疊加；1.載荷疊加法2.幾何疊加法返回例題7-4求：wC；

B已知：

q,

l,EI

=常數。解：1.分解梁上載荷(載荷疊加)返回2.查表得三種情形下C截面撓度和B截面的轉角解：3.疊加返回已知：q、l、EI，求：

C、wC例題7-5解：1.將載荷轉變成有表可查的情形

返回解：2.查表得兩種情形下

C截面轉角和撓度返回解：3.疊加得C點轉角與撓度返回已知：P、a、b、EI，求：wB例題7-6(幾何疊加)解:1.將梁分割成兩段2.CB段將AC段剛化，C端視為固定端3.AC段將CB段剛化成直線4.wBxPbABCwB1xPaACPbwB2

C2xPabABCwB返回例7.7圖示的變截面梁，試求跨度中點C的撓度。解：1.解題分析

可將求C點撓度轉換為求B點撓度先分段求變形分量，然后疊加。2.BD段變形3.CD段變形解：

解：4.變形疊加例7-8已知：圖示梁A端鉸支，B點由BD桿吊掛的梁，受力如圖。AC梁的抗彎剛度為EI，BD桿的抗拉剛度為EA。試：用疊加法求C點的撓度。解

：(1)求BD桿拉力引起的變形分量BD桿所受拉力

BD桿的伸長量由BD桿的伸長所引起的C點撓度為解

：(2)求A點集中力偶引起的變形分量

A點集中力偶引起截面B的轉角引起的C點撓度為解

：(3)變形疊加§7.5簡單超靜定梁

返回總目錄超靜定次數——未知力個數與獨立平衡方程數之差靜定梁——用靜力平衡方程可確定所有未知力超靜定(靜不定)梁——未知力個數多于獨立的平衡方程數多余約束——保持結構靜定多余的約束

一、超靜定梁與多余約束返回二、求解簡單超靜定梁的方法和步驟1.解除多余約束，代以相應的反力，將超靜定梁轉化為靜定梁；2.根據多余約束對位移或變形的限制，建立變形協調方程；3.根據變形協調方程，建立補充方程，解出部分未知力；4.再由平衡方程解出全部未知力。返回求:

梁的支座反力。已知：F，a，l，EI。例題7-7解：1.解除多余約束2.變形協調方程3.補充方程即解除B處約束

，代反力FB返回解：3.補充方程——補充方程返回4.

求A端反力由梁平衡：

返回三、多余約束的解除方法不是唯一的返回例題7-8已知：EI、δ、l,解：去除約束B,代反力FB2.變形協調方程3.補充方程查表得:補充方程：求:裝配應力。1.去除多余約束返回解：4.由平衡方程求A、C處的反力5.作梁的彎矩圖6.裝配應力返回§7.6提高彎曲剛度的一些措施

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由撓曲線的近似微分方程及其積分可知，彎曲變形與彎矩大小、梁截面的慣性矩、材料的彈性模量，梁長等因素有關。提高彎曲剛度應從考慮上述因素入手。一、提高彎曲剛度的途徑——撓曲線的近似微分方程返回二、提高彎曲剛度的措施1.改善結構形式,減小彎矩的數值在結構允許的條件下,將齒輪、帶輪等靠近支座；將集中力分散成分布力等。返回二、提高彎曲剛度的措施減小梁的長度，可提高梁的剛度。2.減小梁的跨度l查表：返回二、提高彎曲剛度的措施增加支座，采用超靜定結構以提高梁的剛度。3.采用超靜定結構返回二、提高彎曲剛度的措施4.選擇合理的截面形狀，增大截面慣性矩I

不同的截面形狀，盡管面積相等，但慣性矩卻不一定相等。豎放：平放：