7.8離散系統的數字校正

類似于連續系統，線性離散系統的設計是指在系統的被控對象、執行元件和測量元件等已經確定的前提下，設計數字校正裝置（數字控制器），以使系統滿足性能指標的要求。線性離散系統的設計方法主要有模擬化設計和離散化設計兩種。由于離散化設計方法比較簡便，可以實現比較復雜的控制規律，因此更具有一般性。本節主要介紹離散化設計方法，研究數字控制器的脈沖傳遞函數及最少拍控制系統的設計等問題。7.8.1數字控制器的脈沖傳遞函數定義廣義被控對象的脈沖傳遞函數為

設離散系統如圖7-8-

1所示，圖中D(z)

為數字控制器的脈沖傳遞函數，Gh(s)為零階保持器的傳遞函數，G0(s)為被控對象的傳遞函數。定義廣義被控對象的脈沖傳遞函數為誤差脈沖傳遞函數為數字控制器的脈沖傳遞函數為顯然或由此可得離散化設計方法的具體設計步驟如下。(1)根據已知的被控對象，針對控制系統的性能指標要求及其他約束條件，確定理想的閉環脈沖傳遞函數

或誤差脈沖傳遞函數

；(2)確定數字控制器的脈沖傳遞函數D(z)

；(3)根據D(z)編制控制算法程序。

所謂最少拍系統，是指在典型輸入信號作用下，能以最少采樣周期即最少拍結束響應過程，且在采樣點上無穩態誤差的離散系統。最少拍系統實質上是時間最優控制系統，系統的性能指標就是調節時間最短或盡可能短。7.8.2最少拍控制系統的設計

最少拍系統的設計原則是，若廣義被控對象的脈沖傳遞函數

G(z)在

z平面單位圓上及單位圓外沒有零點和極點(除(1,

j0)點外)，且不含有延遲環節，要求選擇閉環脈沖傳遞函數

，使系統在典型輸入信號作用下，經最少拍后能使輸出序列在各采樣點上的穩態誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數字控制器脈沖傳遞函數D(z)

。單位斜坡信號單位階躍信號單位加速度信號最少拍系統的設計，通常是針對典型輸入作用進行的，常見的典型輸入信號有通常，典型輸入信號可以寫成一般形式式中，

B(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項式。

q取1

、2

、3分別對應單位階躍信號、單位斜坡信號和單位加速度信號。根據最少拍設計要求，要使系統在采樣點上無穩態誤差，應滿足由上式表明，使

ess*

為零的條件是

中應包含

(1

-

z-1

)m

因子，即其中

F

(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項式。為使穩態誤差最快衰減到零，即為最少拍系統，就應使

最簡單，取

m=q,

F

(z)=1，此時所得

既滿足準確性要求又滿足快速性要求。此時

下面分別討論最少拍系統在典型輸入信號作用下數字控制器脈沖傳遞函數的確定方法。1.單位階躍輸入當輸入信號為

，即

，此時取

，則

可得數字控制器的脈沖傳遞函數為單位階躍響應的

z變換和誤差信號的

z變換分別為于是有

可見最少拍系統經過一個采樣周期即一拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號r(t)=

1(t)

。系統的調節時間

ts=T

，這樣的離散系統稱為一拍系統。最少拍系統在單位階躍信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-2所示。2.單位斜坡輸入則

可得數字控制器的脈沖傳遞函數為單位斜坡響應的

z變換和誤差信號的

z變換分別為當輸入信號為

，即

，此時取

，于是有

可見系統經過二拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號

r(t)=

t

的變化，系統的調節時間

ts=2T，這樣的離散系統稱為二拍系統。最少拍系統在單位斜坡信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-3所示。3.單位加速度輸入則

可得數字控制器的脈沖傳遞函數為單位加速度響應的

z變換和誤差信號的

z變換分別為當輸入信號為

，即

，此時取

，于是有

最少拍系統在單位加速度信號作用下的輸出及誤差序列如圖7-8-4所示。可見，最少拍系統經過三拍輸出便可以完全跟蹤輸入信號的變化。此時系統的調節時間

。表7-8-1最少拍系統的設計結果由以上分析，將各種典型輸入信號作用下最少拍系統的設計結果列于表7-8-1中例7-33已知線性定常離散系統如圖所示，其中

，

，采樣周期

。若要求系統在單位斜坡輸入時實現最少拍控制，試確定數字控制器的脈沖傳遞函數

。解：系統的廣義被控對象的脈沖傳遞函數為為滿足系統在單位斜坡輸入時實現最少拍控制，應選擇數字控制器的脈沖傳遞函數為系統誤差序列和輸出響應序列分別為

顯然，離散系統在單位斜坡輸入作用下，經過兩個采樣周期后過渡過程結束，調整時間為二拍，且在采樣點上系統的輸出完全跟蹤輸入，穩態誤差為零。因此，所求的數字控制完全滿足設計指標要求。

應當指出，上述校正方法只能保證在采樣點處穩態誤差為零，而在采樣點之間系統的輸出可能會出現波動，因而這種系統稱為有紋波系統。紋波的存在不僅影響控制精度，而且會增加系統的機械磨損和功耗，這當然是不希望的。適當地增加瞬態響應時間可以實現無紋波輸出，由于篇幅所限，這里就不再詳述。7.8.3MATLAB實現例7-34利用MATLAB設計例7-33最少拍控制系統。

解：MATLAB程序如下。clc;clearG0=zpk([],[0,-1],10);G=c2d(G0,1,'zoh');z=tf([10],[1],1);phil=(1-1/z)^2;phi=2/z-(1/z)^2;D=phi/(G*phil)sys0=feedback(G,1);sys=feedback(G*D,1);t=0:1:8;u=t;figure(1)lsim(sys0,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正前系統的單位斜坡響應');figure(2)lsim(sys,u,t,0);gridxlabel('t');ylabel('c(t)');title('校正后系統的單位斜坡響應');執行該程序，運行結果為D=0.54366z^3(z-0.5)(z-0.3679)(z-1)------------------------------------z^3(z+0.7183)(z-1)^2Sampletime:1secondsDiscrete-timezero/pole/gainmodel.由仿真結果得到系統的數字控制器脈沖傳遞函數為圖7-8-5校正前后系統的單位斜坡響應曲線校正前后系統的單位斜坡響應曲線如圖7-8-5所示。由圖可見，校正前系統不穩定，校正后系統在第二拍跟蹤上單位斜坡信號，滿足設計要求。(a)校正前(b)校正后例7-35利用MATLAB/Simulink分析例7-33的最少拍控制系統。

解：利用Simulink搭建閉環離散系統的仿真模型如圖7-8-6所示圖7-8-6閉環離散系統的仿真模型設置相關參數，并將仿真時間設為10s，啟動仿真，示波器輸出系統的單位斜坡響應曲線如圖7-8-7所示。由圖可見，離散系統在單位斜坡輸入作用下，經過兩個采樣周期后過渡過程結束，調整時間為二拍，且在采樣點上系統的輸出完全跟蹤輸入，穩態誤差為零。圖7-8-7單位斜坡輸入時的系統輸出本例是針對單位斜坡輸入設計的最少拍系統的數字控制器，那么所設計的系統在單位階躍或單位加速度輸入時，系統的輸出情形如何？對于單位階躍輸入，利用Simulink搭建閉環離散系統的仿真模型如圖7-8-8所示。圖7-8-8閉環離散系統的仿真模型仿真結果如圖7-8-9所示，由圖可知，系統也是經過二拍后過渡過程結束，但在第一個采樣時刻時，有100%的超調量。圖7-8-9單位階躍輸入時的系統輸出對于單位加速度輸入，利用Simulink搭建閉環離散系統的仿真模型如圖7-8-10所示。圖7-8-10閉環離散系統的仿真模型仿真結果如圖7-8-11所示。由圖可知，系統過渡過程仍為二拍，但