第04講隨機事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：樣本空間和隨機事件 4知識點2：兩個事件的關系和運算 5知識點3：概率與頻率 6題型一：隨機事件與樣本空間 7題型二：隨機事件的關系與運算 8題型三：頻率與概率 9題型四：生活中的概率 10題型五：互斥事件與對立事件 11題型六：利用互斥事件與對立事件計算概率 1204真題練習·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯分析·答題模板 15易錯點：混淆頻率和概率 15答題模板：互斥、對立事件的辨析 16

考點要求考題統計考情分析（1）樣本空間和隨機事件（2）兩個事件的關系和運算（3）頻率與概率2024年上海卷第15題，4分2023年上海卷第5題，4分本節內容是概率的基礎知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現．出題多會集中在隨機事件的關系以對應的概率求解．整體而言，本節內容在高考中的難度處于偏易．復習目標：（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別．（2）理解事件間的關系與運算．

知識點1：樣本空間和隨機事件1、隨機試驗我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果．2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現時，稱為事件發生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以總會發生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對隨機事件的確定事件．【診斷自測】下列現象是必然現象的是（

）A．某路口每星期發生交通事故1次B．冰水混合物的溫度是C．三角形的內角和為D．一個射擊運動員每次射擊都命中7環知識點2：兩個事件的關系和運算1、事件的關系與運算①包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發生，則事件一定發生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發生當且僅當事件發生或事件發生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發生當且僅當事件發生且事件發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：2、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發生，即不發生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．【診斷自測】擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點數是1或3或5C．表示向上的點數是1或3D．表示向上的點數是1或5知識點3：概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發生的次數稱為事件發生的頻數，頻數與總次數的比值，叫做事件發生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發生的頻率隨著試驗次數的增加穩定于概率，因此可以用頻率來估計概率．【診斷自測】在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%題型一：隨機事件與樣本空間【典例1-1】若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（

）A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件【典例1-2】在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【方法技巧】確定樣本空間的方法（1）必須明確事件發生的條件．（2）根據題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結果出現的機會是均等的，按規律去寫，要做到既不重復也不遺漏．【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【變式1-2】下列說法正確的是（

）A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票一定會中獎D．任意投擲兩枚質地均勻的骰子，則點數和是2的倍數的概率是【變式1-3】“某點P到點和點的距離之和為3”這一事件是A．隨機事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不對【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動物的腳數.則該試驗的樣本空間.題型二：隨機事件的關系與運算【典例2-1】同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關系【典例2-2】對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關系不正確的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】事件的關系運算策略（1）互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生．（2）進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析．也可類比集合的關系和運用Venn圖分析事件．【變式2-1】（2024·重慶·模擬預測）對于兩個事件，則事件表示的含義是（

）A．A與B同時發生 B．A與B有且僅有一個發生C．A與B至少一個發生 D．A與B不能同時發生【變式2-2】擲一顆質地均勻的骰子，觀察朝上的點數，若A表示事件“點數大于3”，B表示事件“點數為偶數”，則事件“點數為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【變式2-3】從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個事件中具有隨機性的事件的個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-4】如圖，甲、乙兩個元件串聯構成一段電路，設“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（

）A． B． C． D．【變式2-5】（2024·上海長寧·一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點數；設事件A為：至少一個點數是奇數；事件B為：點數之和是偶數；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個事件的概率（

）A．兩個點數都是偶數 B．至多有一個點數是偶數C．兩個點數都是奇數 D．至多有一個點數是奇數題型三：頻率與概率【典例3-1】某人拋擲一枚硬幣80次，結果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現的概率為．【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）“鍵盤俠”一詞描述了部分網民在現實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網絡上大放厥詞的一種現象．某地新聞欄目對該地區群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態度，其余持反對態度，若該地區有7600人，則可估計該地區對“鍵盤俠”持反對態度的有人．【方法技巧】（1）概率與頻率的關系（2）隨機事件概率的求法【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續摸10次，其中摸到白球的次數共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為．（小數點后保留一位小數）【變式3-2】下列說法：①設有一批產品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗，有51次出現正面.因此出現正面的概率是0.51；③隨機事件A的概率是頻率的穩定值；④隨機事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點數是1的結果是18次，則出現1點的頻率是；⑥隨機事件的頻率就是這個事件發生的概率；其中正確的有.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調查方法．調查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質地完全相同的個黑球和個白球，每個被調查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計概率）．【變式3-4】長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為50%．現從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率約為．題型四：生活中的概率【典例4-1】（2024·重慶·模擬預測）為研究吸煙是否與患肺癌有關，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據統計結果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調查中非吸煙者患肺癌的人數是．【典例4-2】（2024·北京朝陽·一模）某購物網站開展一種商品的預約購買，規定每個手機號只能預約一次，預約后通過搖號的方式決定能否成功購買到該商品.規則如下：（ⅰ）搖號的初始中簽率為；（ⅱ）當中簽率不超過時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請位好友參與到“好友助力”活動.【方法技巧】概率和頻率的關系：概率可看成頻率在理論上的穩定值，它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數越來越多時頻率向概率靠近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率．【變式4-1】（2024·江蘇南京·三模）19世紀，美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現的頻率約為總數的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．根據本福特定律，在某項大量經濟數據（十進制）中，以6開頭的數出現的概率為；若,，則k的值為．【變式4-2】為了了解學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調查部門在某學校進行了如下的隨機調查:向被調查者提出兩個問題:（1）你的學號是奇數嗎?（2）在過路口的時候你是否闖過紅燈?要求被調查者背對調查人拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第（1）個問題;否則就回答第（2）個問題.被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需要回答“是”或“不是”，因為只有被調查本人知道回答了哪個問題，所以都如實做了回答.如果被調查的600人(學號從1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估計在這600人中闖過紅燈的人數是.【變式4-3】（2024·廣西·二模）今年由于豬肉漲價太多，更多市民選擇購買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.某天在市場中隨機抽出100名市民調查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數與全市人數的比值的估計值為.題型五：互斥事件與對立事件【典例5-1】（2024·高三·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【典例5-2】拋擲一枚質地均勻的骰子，記隨機事件：“點數為奇數”，“點數為偶數”，“點數大于2”，“點數小于2”，“點數為3”．則下列結論不正確的是（

）A．為對立事件 B．為互斥不對立事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件【方法技巧】1、準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，既有且僅有一個發生．2、判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．【變式5-1】現有一批產品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現從中選4件產品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品【變式5-2】事件A與B獨立，、分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是（

）A． B．C． D．【變式5-3】拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件“出現偶數點”，事件“出現3點或4點”，則事件A與B的關系為（

）A．相互獨立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨立事件題型六：利用互斥事件與對立事件計算概率【典例6-1】某人忘記了一位同學電話號碼的最后一個數字，但確定這個數字一定是奇數，隨意撥號，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為（

）A． B． C． D．【典例6-2】某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為，第二次面試通過的概率為，若第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通過面試的概率為（

）A． B． C． D．【方法技巧】求復雜的互斥事件的概率的兩種方法（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率求和公式計算．（2）間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡便．【變式6-1】某商場在618大促銷活動中，活動規則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為．【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.【變式6-3】某電視臺舉辦知識競答闖關比賽，每位選手闖關時需要回答三個問題.第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分.規定：每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各問題回答正確與否相互之間沒有影響，則該選手僅回答正確兩個問題的概率是；該選手闖關成功的概率是.【變式6-4】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判，則前4局中乙恰好當一次裁判的概率是．【變式6-5】設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（

）A． B． C． D．【變式6-6】（2024·高三·上海·開學考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．1．（2024年上海市1月春考數學試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立2．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大3．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（江蘇卷））將一顆質地均勻的骰子（各面上分別標有點數1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現1次6點向上的概率是（

）．A． B． C． D．4．（2007年普通高等學校招生考試數學（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（

）．A． B． C． D．3整除，求下列事件的概率；（1）這個數既能被2整除也能被3整除；（2）這個數能被2整除或能被3整除；（3）這個數既不能被2整除也不能被3整除.6．如圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況，其中A表示訂閱數學學習資料的學生，B表示訂閱語文學習資料的學生，C表示訂閱英語學習資料的學生（1）從這個班任意選擇一名學生，用自然語言描述1，4，5，8各區域所代表的事件；（2）用A，B，C表示下列事件：①恰好訂閱一種學習資料；②沒有訂閱任何學習資料.7．將一枚質地均勻的骰子連續拋擲3次，求下列事件的概率：（1）沒有出現6點；（2）至少出現一次6點；（3）三個點數之和為9.易錯點：混淆頻率和概率易錯分析：（1）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率可能不同。(2)概率是一個確定的數，是客觀存在的，與每次試驗無關.【易錯題1】眾所周知，長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2h，這些人的近視率約為50%．現從每天玩手機不超過2h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為（

）A． B． C． D．【易錯題2】拋一枚硬幣的試驗中，下列對“伯努利大數定律”的理解正確的是（

）A．大量的試驗中，出現正面的頻率為0.5.B．不管試驗多少次，出現正面的概率始終為0.5C．試驗次數增大，出現正面的經驗概率為0.5D．試驗次數每增加一次，下一次出現正面的頻率一定比它前一次更接近于0.5答題模板：互斥、對立事件的辨析1、模板解決思路判斷互斥事件、對立事件時，首先要明確兩個事件包含的樣本點，再判斷兩個事件的交事件是否是空集，是空集則兩個事件是互斥事件；若這兩個互斥事件的并事件是樣本空間，則兩個事件是對立事件.注意事件對立的前提是互斥.2、模板解決步驟第一步：明確兩個事件包含的樣本點，判斷交事件是否為空集，并事件是否為樣本空間。第二步：得出結論.【經典例題1】一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個，不放回地逐個取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（

）A．2個小球恰有一個紅球 B．2個小球至多有1個紅球C．2個小球中沒有綠球 D．2個小球至少有1個紅球【經典例題2】某小組有名男生和名女生，從中任選名學生參加比賽，事件“至少有名男生”與事件“至少有名女生”（

）A．是對立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是對立事件 D．不是互斥事件第04講隨機事件、頻率與概率目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：樣本空間和隨機事件 4知識點2：兩個事件的關系和運算 5知識點3：概率與頻率 6題型一：隨機事件與樣本空間 7題型二：隨機事件的關系與運算 9題型三：頻率與概率 11題型四：生活中的概率 14題型五：互斥事件與對立事件 16題型六：利用互斥事件與對立事件計算概率 1804真題練習·命題洞見 2205課本典例·高考素材 2406易錯分析·答題模板 28易錯點：混淆頻率和概率 28答題模板：互斥、對立事件的辨析 29

考點要求考題統計考情分析（1）樣本空間和隨機事件（2）兩個事件的關系和運算（3）頻率與概率2024年上海卷第15題，4分2023年上海卷第5題，4分本節內容是概率的基礎知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現．出題多會集中在隨機事件的關系以對應的概率求解．整體而言，本節內容在高考中的難度處于偏易．復習目標：（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別．（2）理解事件間的關系與運算．

知識點1：樣本空間和隨機事件1、隨機試驗我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果．2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現時，稱為事件發生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以總會發生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對隨機事件的確定事件．【診斷自測】下列現象是必然現象的是（

）A．某路口每星期發生交通事故1次B．冰水混合物的溫度是C．三角形的內角和為D．一個射擊運動員每次射擊都命中7環【答案】C【解析】對于選項A：某路口每星期發生交通事故1次，這個事件可能發生也可能不發生，為隨機現象，故A錯誤；對于選項B：理想狀態下冰水混合物的溫度應是，這個事件為不可能現象，故B錯誤；對于選項C：三角形的內角和為，這個事件為必然現象，故C正確；對于選項D：一個射擊運動員每次射擊都命中7環，這個事件可能發生也可能不發生，為隨機現象，故D錯誤；故選：C.知識點2：兩個事件的關系和運算1、事件的關系與運算①包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發生，則事件一定發生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發生當且僅當事件發生或事件發生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發生當且僅當事件發生且事件發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：2、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發生，即不發生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．【診斷自測】擲一枚質地均勻的骰子，“向上的點數是1或3”為事件A，“向上的點數是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點數是1或3或5C．表示向上的點數是1或3D．表示向上的點數是1或5【答案】B【解析】由題可知，“向上的點數是1或3”為事件，“向上的點數是1或5”為事件，所以事件不等于事件，故A錯誤；事件表示“向上的點數是1或3或5”，故B正確，C錯誤；事件表示“向上的點數是1”，故D錯誤；故選：B.知識點3：概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發生的次數稱為事件發生的頻數，頻數與總次數的比值，叫做事件發生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發生的頻率隨著試驗次數的增加穩定于概率，因此可以用頻率來估計概率．【診斷自測】在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%【答案】B【解析】因為拋硬幣出現正面朝上的概率為，大約有150人回答第一個問題，又身份證號碼的尾數是奇數或偶數是等可能的，在回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，共有80個“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，因此我們估計這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為3.33%.故選：B題型一：隨機事件與樣本空間【典例1-1】若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（

）A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件【答案】D【解析】隨機試驗的樣本空間為，則事件是隨機事件，故A正確；事件是必然事件，故B正確；事件是不可能事件，故C正確；事件是不可能事件，故D錯誤.故選：D【典例1-2】在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【解析】因為12件產品中，只有2件是次品，從中取3件，其中必定至少有1件是正品.故選：D【方法技巧】確定樣本空間的方法（1）必須明確事件發生的條件．（2）根據題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結果出現的機會是均等的，按規律去寫，要做到既不重復也不遺漏．【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】A【解析】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機事件；三角形三條高線一定交于一點，②是必然事件；實數a，b都不為0，則，③是不可能事件；某地區明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.故選：A【變式1-2】下列說法正確的是（

）A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票一定會中獎D．任意投擲兩枚質地均勻的骰子，則點數和是2的倍數的概率是【答案】B【解析】對于A.“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件，所以A錯；對于B.事件發生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正確；對于C.某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票不一定會中獎，所以C錯；對于D.任意投擲兩枚質地均勻的骰子，共有36種可能，其中能被2整除的可能是兩個數同時為奇數或同時為偶數，共有18種可能，所以點數和是2的倍數的概率是，所以D錯；故選：B【變式1-3】“某點P到點和點的距離之和為3”這一事件是A．隨機事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．以上都不對【答案】B【解析】由于“某點P到點和點的距離之和必大于等于4”，故“某點P到點和點的距離之和為3”這一事件是不可能事件．故選：B．【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動物的腳數.則該試驗的樣本空間.【答案】【解析】由取動物的次數來確定樣本點。解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數最多4只，最少0只，所以剩余動物的腳數可能是8，6，4，2，0.故答案為：題型二：隨機事件的關系與運算【典例2-1】同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關系【答案】C【解析】由同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.【典例2-2】對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】用表示試驗的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.【方法技巧】事件的關系運算策略（1）互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生．（2）進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析．也可類比集合的關系和運用Venn圖分析事件．【變式2-1】（2024·重慶·模擬預測）對于兩個事件，則事件表示的含義是（

）A．A與B同時發生 B．A與B有且僅有一個發生C．A與B至少一個發生 D．A與B不能同時發生【答案】C【解析】由表示的是與中至少一個發生.故選：C.【變式2-2】擲一顆質地均勻的骰子，觀察朝上的點數，若A表示事件“點數大于3”，B表示事件“點數為偶數”，則事件“點數為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示“點數為2”，表示“點數5”，表示“點數為3或2或1或4或6”，表示“點數為1或3或4或5或6”，故選：B【變式2-3】從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個事件中具有隨機性的事件的個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】這10個事件中必然事件的個數為，不可能事件的個數為，所以具有隨機性的事件的個數為．故選：B【變式2-4】如圖，甲、乙兩個元件串聯構成一段電路，設“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因甲、乙兩個元件串聯，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事件和同時發生，即事件發生.故選：C.【變式2-5】（2024·上海長寧·一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點數；設事件A為：至少一個點數是奇數；事件B為：點數之和是偶數；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個事件的概率（

）A．兩個點數都是偶數 B．至多有一個點數是偶數C．兩個點數都是奇數 D．至多有一個點數是奇數【答案】D【解析】由題意，事件為：兩個點數都為奇數，由概率指的是事件的對立事件的概率，則事件的對立事件為：至少有一個點數為偶數，或者至多有一個點數為奇數.故選：D.題型三：頻率與概率【典例3-1】某人拋擲一枚硬幣80次，結果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現的概率為．【答案】/【解析】由題意可知事件A出現的頻率為，而概率是大量試驗中，頻率趨于的一個穩定值，由于硬幣正反面出現的機會是均等的，故事件A出現的概率為，故答案為：【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）“鍵盤俠”一詞描述了部分網民在現實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網絡上大放厥詞的一種現象．某地新聞欄目對該地區群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態度，其余持反對態度，若該地區有7600人，則可估計該地區對“鍵盤俠”持反對態度的有人．【答案】【解析】由題意，在隨機抽取的50人中，持反對態度的有36人，故可估計該地區對“鍵盤俠”持反對態度的約有.故答案為：.【方法技巧】（1）概率與頻率的關系（2）隨機事件概率的求法【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續摸10次，其中摸到白球的次數共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為．（小數點后保留一位小數）【答案】0.7【解析】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數共152次，摸到紅球的次數共348次，所以摸到紅球概率的估計值為.故答案為：0.7【變式3-2】下列說法：①設有一批產品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗，有51次出現正面.因此出現正面的概率是0.51；③隨機事件A的概率是頻率的穩定值；④隨機事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點數是1的結果是18次，則出現1點的頻率是；⑥隨機事件的頻率就是這個事件發生的概率；其中正確的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是無窮次試驗中，出現的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，這個固定的值就是概率.①通過概率定義可以分析出，出現的事件是在一個固定值波動，并不是一個確定的值，則本題中從該批產品中任取200件，應該是10件次品左右，不一定出現10件次品，錯誤；②100次拋硬幣的試驗并不是無窮多次試驗，出現的頻率也不是概率，事實上硬幣只有兩個面，每個面出現的概率是相等的，所以因此出現正面的概率是0.5，錯誤；③隨機事件的概率是通過多次試驗，算出頻率后來估計它的概率的，當試驗的次數多了，這個頻率就越來越接近概率，所以隨機事件A的概率是頻率的穩定值，正確；④隨機事件A的概率趨近于0，說明事件A發生的可能性很小，但并不表示不會發生，錯誤；⑤拋擲骰子100次，得點數是1的結果是18次，則出現1點的頻率是，正確；⑥根據概率的定義，隨機事件的頻率只是這個事件發生的概率的近似值，它并不等于概率，錯誤；綜上，正確的說法有③⑤.故答案為：③⑤【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調查方法．調查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質地完全相同的個黑球和個白球，每個被調查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計概率）．【答案】/【解析】由題意可知，每名調查者從袋子中抽到個白球或黑球的概率均為，所以，人中回答第一個問題的人數為，則另外人回答了第二個問題，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為，即摸到黑球且回答“是”的人數為，則摸到白球且回答“是”的人數為，所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為.故答案為：.【變式3-4】長時間玩手機可能影響視力．據調查，某校學生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為50%．現從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率約為．【答案】0.375【解析】設該學校人數為，依題意得，近視的人數為，玩手機超過1小時的人有，近視人數為，于是玩手機小于1小時但又近視的人數為，玩手機小于1小時的總人數為，這類人的近視率約為.故答案為：題型四：生活中的概率【典例4-1】（2024·重慶·模擬預測）為研究吸煙是否與患肺癌有關，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據統計結果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調查中非吸煙者患肺癌的人數是．【答案】【解析】本次研究調查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，設非吸煙者患肺癌的人數是人，則，，因此，本次研究調查中非吸煙者患肺癌的人數為45人．故答案為：.【典例4-2】（2024·北京朝陽·一模）某購物網站開展一種商品的預約購買，規定每個手機號只能預約一次，預約后通過搖號的方式決定能否成功購買到該商品.規則如下：（ⅰ）搖號的初始中簽率為；（ⅱ）當中簽率不超過時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請位好友參與到“好友助力”活動.【答案】【解析】因為搖號的初始中簽率為，所以要使中簽率超過，需要增加中簽率，因為每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加，所以至少需要邀請，所以至少需要邀請15位好友參與到“好友助力”活動.故答案為：【方法技巧】概率和頻率的關系：概率可看成頻率在理論上的穩定值，它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數越來越多時頻率向概率靠近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率．【變式4-1】（2024·江蘇南京·三模）19世紀，美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現的頻率約為總數的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．根據本福特定律，在某項大量經濟數據（十進制）中，以6開頭的數出現的概率為；若,，則k的值為．【答案】5【解析】由題意可得：（1）（2），而，故，則．故答案為：【變式4-2】為了了解學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調查部門在某學校進行了如下的隨機調查:向被調查者提出兩個問題:（1）你的學號是奇數嗎?（2）在過路口的時候你是否闖過紅燈?要求被調查者背對調查人拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第（1）個問題;否則就回答第（2）個問題.被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需要回答“是”或“不是”，因為只有被調查本人知道回答了哪個問題，所以都如實做了回答.如果被調查的600人(學號從1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估計在這600人中闖過紅燈的人數是.【答案】60【解析】設闖紅燈的概率為，根據已知中的調查規則，我們分析出回答“是”的兩種情況，進而計算出回答是的概率，又由被調查的600人（學號從1到中有180人回答了“是”，我們易構造關于的方程，解方程求出值，進而得到這600人中闖過紅燈的人數．設闖紅燈的概率為，由已知中被調查者回答的兩個問題，（1）你的學號是奇數嗎？（2）在過路口的時候你是否闖過紅燈？再由調查人拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第（1）個問題；否則就回答第（2）個問題可得回答是有兩種情況：①正面朝上且學號為奇數，其概率為；②反面朝上且闖了紅燈，其概率為．則回答是的概率為解得．所以闖燈人數為．故答案為：60【變式4-3】（2024·廣西·二模）今年由于豬肉漲價太多，更多市民選擇購買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.某天在市場中隨機抽出100名市民調查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數與全市人數的比值的估計值為.【答案】0.4【解析】由題意，將買豬肉的人組成的集合設為A，買其它肉的人組成的集合設為B，則韋恩圖如下：中有30人，中有10人，又不買豬肉的人有30位，∴中有20人，∴只買豬肉的人數為：100，∴這一天該市只買豬肉的人數與全市人數的比值的估計值為=0.4，故答案為；0.4題型五：互斥事件與對立事件【典例5-1】（2024·高三·上海·開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【解析】設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.故選：B【典例5-2】拋擲一枚質地均勻的骰子，記隨機事件：“點數為奇數”，“點數為偶數”，“點數大于2”，“點數小于2”，“點數為3”．則下列結論不正確的是（

）A．為對立事件 B．為互斥不對立事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件【答案】D【解析】點數為奇數與點數為偶數不可能同時發生，且必有一個發生，所以E，F是對立事件，選項A正確；點數大于2與點數小于2不可能同時發生，且不是必有一個發生，G，H為互斥且不對立事件，選項B正確；點數為奇數與點數大于2可能同時發生，E，G不互斥，選項C正確；點數大于2與點數為3可能同時發生，G，R為不互斥事件，選項D不正確.故選：D.【方法技巧】1、準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發生的事件，但也可以同時不發生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發生，既有且僅有一個發生．2、判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．【變式5-1】現有一批產品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現從中選4件產品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品【答案】C【解析】根據題意，選項A中事件為互斥事件，不是對立事件；選項B、D中事件可能同時發生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項C中事件為對立事件，全部次品不能存在有正品的事件.故選：C.【變式5-2】事件A與B獨立，、分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：由題意知，，故A錯誤；B：由題意知，，故B錯誤；C：事件A與B獨立，、分別是A、B的對立事件，所以A與獨立，則，故C正確；D：，故D錯誤．故選：C【變式5-3】拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件“出現偶數點”，事件“出現3點或4點”，則事件A與B的關系為（

）A．相互獨立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨立事件【答案】A【解析】由于表示“出現的點數為4”，所以事件A與B不是互斥事件，由，，，有，所以事件A與B是相互獨立事件，不是互斥事件.故選：A題型六：利用互斥事件與對立事件計算概率【典例6-1】某人忘記了一位同學電話號碼的最后一個數字，但確定這個數字一定是奇數，隨意撥號，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設第次撥號撥對號碼.撥號不超過兩次就撥對號碼可表示為，所以撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為.故選：B【典例6-2】某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為，第二次面試通過的概率為，若第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通過面試的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為第一次通過面試的概率為，第二次面試通過的概率為，所以兩次面試都沒有通過的概率為：，所以該同學通過面試的概率為：.故選：C.【方法技巧】求復雜的互斥事件的概率的兩種方法（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率求和公式計算．（2）間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡便．【變式6-1】某商場在618大促銷活動中，活動規則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為．【答案】/0.7【解析】設擲一枚質地均勻的骰子出現點數為1或2為事件，則，骰子出現點數為3，4，5，6為事件，則，甲箱摸出紅球為，乙箱摸出紅球為，設顧客中獎為事件，所以，，所以．故答案為：．【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.【答案】/【解析】記“甲投中”，“乙投中”，則,所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.故答案為：0.38.【變式6-3】某電視臺舉辦知識競答闖關比賽，每位選手闖關時需要回答三個問題.第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分.規定：每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各問題回答正確與否相互之間沒有影響，則該選手僅回答正確兩個問題的概率是；該選手闖關成功的概率是.【答案】//【解析】由題設，選手僅回答正確兩個問題的概率是，由題意，只要第三問回答正確，不論第一、二問是否正確，該選手得分都不低于30分，只要第三問回答錯誤，不論第一、二問是否正確，該選手得分都低于30分，所以選手闖關成功，只需第三問回答正確即可，故概率為.故答案為：，【變式6-4】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判，則前4局中乙恰好當一次裁判的概率是．【答案】/【解析】前局中，因第局甲當裁判，則乙恰好當1次裁判的事件A，設乙第二局當裁判的事件A1、乙第三局當裁判的事件A2，乙第二局當裁判的事件A3，它們互斥，乙第二局當裁判的事件是乙在第一局輸，第三局勝，則,乙第三局當裁判的事件是乙在第一局勝，第二局輸，則，乙第四局當裁判的事件是乙在第一局勝，第二局勝，第三局輸，則，所以故答案為：.【變式6-5】設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，又，所以，所以.故選：D.【變式6-6】（2024·高三·上海·開學考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若隨機試驗為拋擲一枚質地均勻的骰子，事件，，則事件與事件是互斥事件，此時，，，所以，A錯誤；，，，B錯誤；，C錯誤；因為事件與事件是互斥事件，所以，所以為必然事件，所以，D正確.故選：D.1．（2024年上海市1月春考數學試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立【答案】B【解析】選項A，事件和事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯誤；選項B，，，，，B正確；選項C，事件與事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，C錯誤；選項D，，，，，與不獨立，故D錯誤．故選：B．2．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，則此時連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.故選：D3．（2004年普通高等學校招生考試數學試題（江蘇卷））將一顆質地均勻的骰子（各面上分別標有點數1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現1次6點向上的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】將一顆質地均勻的骰子先后擲3次，這3次之間是相互獨立，記事件為“拋擲3次，至少出現一次6點向上”，則為“拋擲3次都沒有出現6點向上”，記事件為“第次中，沒有出現6點向上”，，則，又，所以，所以.故選：D.4．（2007年普通高等學校招生考試數學（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的奧運預賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知本題是一個古典概型，滿足條件的事件包含的結果比較多，可以從它的對立事件來考慮，取出的三張門票的價格均不相同，共有種取法，試驗發生的所有事件總的取法有種，三張門票的價格均不相同的概率是，至少有2張價格相同的概率為故答案選：C1．如圖，拋擲一藍、一黃兩枚質地均勻的正四面體骰子，分別觀察底面上的數字.

（1）用表格表示試驗的所有可能結果；（2）列舉下列事件包含的樣本點：A=“兩個數字相同”，B=“兩個數字之和等于5”，C=“藍色骰子的數字為2”.【解析】（1）該試驗的所有可能結果如下表：

藍骰子點數黃骰子點數12341（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（2）A包含的樣本點：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的樣本點：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的樣本點：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.2．在某屆世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結果記為acbd（表示a勝b，c勝d，然后a勝c，b勝d）.（1）寫出比賽所有可能結果構成的樣本空間；（2）設事件A表示a隊獲得冠軍，寫出A包含的所有可能結果；（3）設事件B表示a隊進入冠亞軍決賽，寫出B包含的所有可能結果.【解析】（1）第一輪的兩場比賽中，當勝出時，比賽最終可能的結果為：第一輪的兩場比賽中，當勝出時，比賽最終可能的結果為：第一輪的兩