8.1解優(yōu)化問題的MATLAB程序結(jié)構(gòu)及其運(yùn)行機(jī)制

8.2線性規(guī)劃(LinearProgramming)

8.3二次規(guī)劃

8.4無約束非線性規(guī)劃(UnconstrainedNonlinearMinimization)

8.5約束非線性規(guī)劃

8.6最小二乘規(guī)劃

8.7非線性方程求根

第8單元MATLAB優(yōu)化設(shè)計

解優(yōu)化問題的MATLAB程序具有如圖8-1所示的結(jié)構(gòu)。8.1解優(yōu)化問題的MATLAB

程序結(jié)構(gòu)及其運(yùn)行機(jī)制圖8-1解優(yōu)化問題的MATLAB程序結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)流主程序至少包括必要數(shù)據(jù)、初始解、優(yōu)化設(shè)置和解算函數(shù)四個部分。必要數(shù)據(jù)是需預(yù)先賦值的優(yōu)化模型常量參數(shù)；初始解是設(shè)計變量的初始指定值；優(yōu)化設(shè)置由optimset函數(shù)實(shí)現(xiàn)，它控制解算函數(shù)的算法、設(shè)計變量允差、目標(biāo)函數(shù)允差、約束條件允差等；解算函數(shù)亦稱優(yōu)化解法器，是優(yōu)化工具箱提供的M-file函數(shù)，它完成特定的優(yōu)化模型解法。

優(yōu)化設(shè)置舉例見表8-1。表8-1優(yōu)化設(shè)置語句及其含義線性規(guī)劃的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型如下所示，它采用OptimizationToolbox_linprog函數(shù)解算。8.2線性規(guī)劃(LinearProgramming)

【例8.1】解下面的線性規(guī)劃問題

首先將原線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型，如下所示：其中：

MATLAB解線性規(guī)劃程序如下：

clc;clearall;closeall;

C=[-4-5-1];A=[-3-2-1;210];b=[-17;10];Aeq=[111];beq=10;%必要數(shù)據(jù)

lb=[0;0;0];ub=[]; %必要數(shù)據(jù)

X0=[0;0;0];

%初始解

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Y,exitflag,output,lambda]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,X0,options)%解算程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

X=

0.0000

10.0000

0.0000

Y=-50.0000

exitflag=1

問題的最優(yōu)解X和最優(yōu)值Y分別為

，

【例8.2】某廠生產(chǎn)CP1、CP2、CP3三種產(chǎn)品，均需A、B兩道工序加工。設(shè)A工序可在設(shè)備A1或A2上完成，B工序可在設(shè)備B1、B2或B3上完成。已知產(chǎn)品CP1可在A、B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品CP2可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時，只能在B1設(shè)備上加工；產(chǎn)品CP3只能在A2與B2設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時間及其它各項(xiàng)數(shù)據(jù)見表8-2。試建立問題的線性規(guī)劃模型，求解使該廠獲利最大的最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)劃。表8-2與產(chǎn)品加工、設(shè)備能力和銷售等有關(guān)的數(shù)據(jù)

(1)建立問題的線性規(guī)劃模型，步驟如下：

確定設(shè)計變量：

x1—A1加工的CP1件數(shù)x2—A2加工的CP1件數(shù)

x3—B1加工的CP1件數(shù)x4—B2加工的CP1件數(shù)

x5—B2加工的CP1件數(shù)x6—A1加工的CP2件數(shù)

x7—A2加工的CP2件數(shù)x8—B1加工的CP2件數(shù)

x9—A2加工的CP3件數(shù)x10—B2加工的CP3件數(shù)確定目標(biāo)函數(shù)(總利潤)：確定線性規(guī)劃模型：(2)將原線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型：

(3)?MATLAB解線性規(guī)劃程序如下：

clc;clearall;closeall;

C=[-0.75-0.79-0.64-0.56-0.65-1.15-1.38-1.17-1.94-1.09];%必要數(shù)據(jù)

A=[50000100000;07000090120;0060000800;

00040000011;0000500000]; %必要數(shù)據(jù)

b=[6000;10000;4000;7000;4000]; %必要數(shù)據(jù)

Aeq=[11-1-1-100000;0000011-100;000000001-1]; %必要數(shù)據(jù)

beq=[0;0;0]; %必要數(shù)據(jù)

lb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];ub=[]; %必要數(shù)據(jù)

X0=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0]; %初始解

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Y,exitflag,output,lambda]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%解算

xCP1=X(1)+X(2)

xCP2=X(6)+X(7)

xCP3=X(9)

fval=-Y

(4)程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

Optimizationterminated.

X=1.0e+003*

1.2000

0.2300

0.0000

0.8586

0.5714

0.0000

0.5000

0.5000

0.3241

0.3241

Y=-4.6017e+003

exitflag=1

xCP1=1.4300e+003產(chǎn)品1總件數(shù)

xCP2=500.0000

產(chǎn)品2總件數(shù)

xCP3=324.1379

產(chǎn)品3總件數(shù)

fval=1.1906e+003總利潤采用OptimizationToolbox_quadprog函數(shù)可解算如下所示的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型二次規(guī)劃。8.3二次規(guī)劃

【例8.3】試求解下面的二次規(guī)劃首先將原二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型，如下所示：

其中：海森矩陣：

采用OptimizationToolbox_quadprog函數(shù)編程求解二次規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

H=[1-1;-12];C=[-2;-6];A=[11;-12;21];b=[2;2;3]; %必要數(shù)據(jù)

Aeq=[];beq=[];lb=[0;0];ub=[]; %必要數(shù)據(jù)

X0=[0;0]; %初始解

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Y,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,X0,options)程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

Optimizationterminated.

X=最優(yōu)解

0.6667

1.3333

Y=-8.2222最優(yōu)值

exitflag=1歐氏空間En、n元自變量X、目標(biāo)函數(shù)f

(X)無約束非線性規(guī)劃的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：8.4無約束非線性規(guī)劃(UnconstrainedNonlinearMinimization)8.4.1無約束非線性規(guī)劃的單純形解法

用OptimizationToolbox_fminsearch函數(shù)可實(shí)現(xiàn)無約束非線性規(guī)劃的單純形解法。

【例8.4】求解下面函數(shù)的極小點(diǎn)和極小值

采用OptimizationToolbox_fminsearch函數(shù)編程求解無約束非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

fun=@(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2+(sqrt(2)-x(1))^2; %目標(biāo)函數(shù)

X0=[0;0]; %初始解

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Fx,exitflag,output]=fminsearch(fun,X0,options) %解算程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

X=極小點(diǎn)

1.4142

2.0000

Fx=9.3621e-016極小值

exitflag=18.4.2無約束非線性規(guī)劃的梯度解法

用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)無約束非線性規(guī)劃的梯度解法，它需要調(diào)用計算目標(biāo)函數(shù)和梯度的M-file函數(shù)，故要先完成目標(biāo)函數(shù)和梯度計算的M-file函數(shù)編程。

【例8.5】求解下面的無約束非線性規(guī)劃

梯度計算公式：首先為目標(biāo)函數(shù)和梯度計算編寫一個M-file函數(shù)uncfun.m。程序如下：

function[f,g]=uncfun(x)

f=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2;

ifnargout>1%若輸出多于1

g(1)=6*x(1)+2*x(2);

g(2)=2*x(1)+2*x(2);

end

采用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)編程調(diào)用uncfun并求解無約束非線性規(guī)劃。程序如下：X0=[0;0];%初始解

options=optimset('GradObj','on','TolX',1e-7,'TolFun',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

[X1,Fx1,exitflag,output,grad]=fminunc(@uncfun,X0)%缺省設(shè)置解算

[X2,Fx2,exitflag,output,grad]=fminunc(@uncfun,X0,options)%用戶設(shè)置解算

程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

X1=1.0e-005*

0.2675

-0.2231

Fx1=1.4509e-011

exitflag=1

grad=1.0e-004*

0.1163

0.0087X2=1.0e-022*

-0.1323

0

Fx2=5.2549e-046

exitflag=1

grad=1.0e-022*

-0.7941

-0.26478.4.3無約束非線性規(guī)劃的最速下降解法

用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)無約束非線性規(guī)劃的最速下降解法。steepdesc最速下降法需通過優(yōu)化設(shè)置啟用。

【例8.6】用最速下降法求解下面的無約束非線性規(guī)劃，選定初始解X0?=?[0;0]采用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)最速下降法解無約束非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

X0=[0;0];%初始解

uncfun=@(x)x(1)^2+2*x(2)^2-2*x(1)*x(2)-3*x(2); %目標(biāo)函數(shù)

options=optimset('LargeScale','off','HessUpdate','steepdesc',…

'MaxFunEvals',270); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Fx,exitflg]=fminunc(uncfun,X0,options) %用最速下降法解算

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

X=

1.5000

1.5000

Fx=-2.2500

exitflg=18.4.4無約束非線性規(guī)劃的DFP變尺度解法

用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)DFP擬牛頓變尺度法解無約束非線性規(guī)劃。DFP需通過優(yōu)化設(shè)置啟用。

【例8.7】用DFP求解下面的非線性規(guī)劃，選定初始解X0?=?[4,0]。采用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)DFP擬牛頓法編程求解無約束非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

X0=[4;0]; %初始解

uncfun=@(x)-1./(x(1)^2+x(2)^2+2); %目標(biāo)函數(shù)

options=optimset('LargeScale','off','HessUpdate','dfp');%優(yōu)化設(shè)置

[X,Fx,exitflg]=fminunc(uncfun,X0,options) %用DFP法解算

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

X=1.0e-006*

-0.7840

0

Fx=-0.5000

exitflg=18.4.5無約束非線性規(guī)劃的BFGS變尺度解法

用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)BFGS法解無約束非線性規(guī)劃。BFGS法需通過優(yōu)化設(shè)置啟用。

【例8.8】用BFGS法求解下面的非線性規(guī)劃，選定初始解X0?=?[4,0]。采用OptimizationToolbox_fminunc函數(shù)可實(shí)現(xiàn)BFGS法編程求解無約束非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

X0=[4;0]; %初始解

uncfun=@(x)-1./(x(1)^2+x(2)^2+2); %目標(biāo)函數(shù)

options=optimset('LargeScale','off','HessUpdate','bfgs'); %優(yōu)化設(shè)置

[X,Fx,exitflg]=fminunc(uncfun,X0,options) %用BFGS法解算

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

X=1.0e-006*

-0.7840

0

Fx=-0.5000

exitflg=18.5.1約束一元非線性規(guī)劃

約束一元非線性規(guī)劃求解某區(qū)間上一元非線性函數(shù)的最小化問題，它的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：8.5約束非線性規(guī)劃

【例8.9】求解下面的約束一元非線性規(guī)劃問題

采用OptimizationToolbox_fminbnd函數(shù)編程求解約束一元非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

objfun=@(x)(x-1.5)^2+0.2*x^3; %目標(biāo)函數(shù)

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7);%優(yōu)化設(shè)置

[X,Fx,exitflg]=fminbnd(objfun,0,3,options) %解算

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

X=

1.1222

Fx=

0.4254

exitflg=18.5.2約束多元非線性規(guī)劃

約束多元非線性規(guī)劃問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：非線性不等式約束非線性等式約束線性不等式約束線性等式約束設(shè)計變量區(qū)間約束

【例8.10】求解下面的約束多元非線性規(guī)劃問題，初始解選定X0?=?[10;10;10]。

首先將約束多元非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型。

其中：采用OptimizationToolbox_fmincon函數(shù)編程求解約束多元非線性規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

objfun=@(x)-x(1)*x(2)*x(3); %目標(biāo)函數(shù)X0=[10;10;10]; %初始解A=[-1-2-2;122];b=[0;72]; %必要數(shù)據(jù)options=optimset(‘TolX’,1e-7,‘TolFun’,1e-7,‘TolCon’,1e-7);%優(yōu)化設(shè)置

[X,Y,exitflg]=fmincon(objfun,X0,A,b,[],[],[],[],[],options)%解算程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-007):

lowerupperineqlinineqnonlin

2

X=

24.0000

12.0000

12.0000

Y=-3.4560e+003

exitflg=58.5.3約束多元最大最小規(guī)劃

最大最小規(guī)劃是指實(shí)現(xiàn)約束多元非線性向量函數(shù)的最大分量最小化，它的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：非線性不等式約束非線性等式約束線性不等式約束線性等式約束設(shè)計變量區(qū)間約束

【例8.11】求解下面的最大最小規(guī)劃，初始解選定X0?=?[0.1;0.1]。

其中

例8.11的最大最小化問題無約束，本身已是MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型，無需模型轉(zhuǎn)換。首先將目標(biāo)函數(shù)編寫成M-file函數(shù)minmaxobj.m。程序如下：

functionf=minmaxobj(x);

f(1)=2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;

f(2)=-x(1)^2-3*x(2)^2;

f(3)=x(1)+3*x(2)-18;

f(4)=-x(1)-x(2);

f(5)=x(1)+x(2)-8;采用OptimizationToolbox_fminimax函數(shù)編程調(diào)用minmaxobj并求解最大最小規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

x0=[0.1;0.1]; %初始解

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7); %優(yōu)化設(shè)置

formatshorte;

[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax(@minmaxobj,x0,[],[],[],[],[],[],[],options)

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-007):%起作用約束

lowerupperineqlinineqnonlin

1

5

x= %最優(yōu)解

4.0000e+000

4.0000e+000

fval=

4.9454e-011-6.4000e+001-2.0000e+000-8.0000e+000-1.5445e-012 %目標(biāo)函數(shù)值

maxfval=4.9454e-011 %最大目標(biāo)函數(shù)值

exitflag=48.5.4約束多元多目標(biāo)規(guī)劃

多目標(biāo)規(guī)劃問題是讓非線性向量函數(shù)(多目標(biāo))整體上與期望目標(biāo)的差異最小，它的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：非線性不等式約束非線性等式約束線性不等式約束線性等式約束設(shè)計變量區(qū)間約束

【例8.12】例8.11最大最小規(guī)劃問題采用多目標(biāo)規(guī)劃模型求解，初始解仍選定X0?=?[0.1;0.1]。

確定目標(biāo)函數(shù)向量F(X)的目標(biāo)值向量goal和目標(biāo)權(quán)重向量weight：

；先將目標(biāo)函數(shù)編寫成M-file函數(shù)multgoalobj.m。程序如下：

functionf=multgoalobj(x);

f(1)=2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304;

f(2)=-x(1)^2-3*x(2)^2;

f(3)=x(1)+3*x(2)-18;

f(4)=-x(1)-x(2);

f(5)=x(1)+x(2)-8;采用OptimizationToolbox_fgoalattain函數(shù)編程調(diào)用multgoalobj并求解多目標(biāo)規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;closeall;

x0=[0.1;0.1]; %初始解

goal=[00000]'; %目標(biāo)值

weight=goal+1; %目標(biāo)權(quán)重，選定權(quán)重相同

options=optimset('TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7);%優(yōu)化設(shè)置

formatshorte;

[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@minmaxobj,x0,goal,weight,...

[],[],[],[],[],[],[],options)

程序執(zhí)行的結(jié)果如下：

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-007):%起作用約束

lowerupperineqlinineqnonlin

1

5

x=%最優(yōu)解

4.0000e+000

4.0000e+000

fval=5.2978e-011-6.4000e+001-2.0000e+000-8.0000e+000-1.6502e-012

attainfactor=-1.7365e-012%松弛因子值

exitflag=58.6.1非線性方程最小二乘規(guī)劃

響應(yīng)變量的測定值Ydata與它的估計值f?(X)之差稱做誤差，自變量X的n點(diǎn)測試就會產(chǎn)生n個誤差。采用OptimizationToolbox_lsqcurvefit函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)非線性方程最小二乘規(guī)劃，即實(shí)現(xiàn)n個誤差平方和的最小化，它的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：8.6最小二乘規(guī)劃其中

響應(yīng)變量Y與自變量X的關(guān)系可表示為下面的響應(yīng)模型：維模型參數(shù)，包括β0；維自變量樣本(試驗(yàn)數(shù)據(jù))；維響應(yīng)變量樣本(試驗(yàn)數(shù)據(jù))；維響應(yīng)變量估計值。是1維響應(yīng)變量是p維自變量是p+1維模型參數(shù)是誤差

【例8.13】為考察水稻品種IR72的籽粒平均粒重y?(毫克)與開花后天數(shù)x的關(guān)系，測定了兩變量的9對數(shù)據(jù)，詳見表8-3。表8-3水稻品種IR72的性狀觀測為試驗(yàn)測定數(shù)據(jù)擬合一個Logistic生長模型，即：

，(參數(shù)k、a、b均大于零)

采用lsqcurvefit函數(shù)的其他案例，可考察第4單元中4.4.2小節(jié)的一元函數(shù)最小二乘擬合問題和第7單元中7.7.1小節(jié)的一元非線性回歸問題。樣本數(shù)據(jù)和模型參數(shù)表為下面的向量：Logistic生長模型對參數(shù)β的偏導(dǎo)數(shù)表示為梯度G的轉(zhuǎn)置向量：

n個試驗(yàn)觀測上的偏導(dǎo)數(shù)向量表示為Jacobian矩陣：將目標(biāo)函數(shù)和Jacobian矩陣編寫成M-file函數(shù)IR72objfun.m。程序如下：

function[F,J]=IR72objfun(beta,xdata)

fenmu=1+beta(2)*exp(-beta(3)*xdata);

F=beta(1)./fenmu;

ifnargout>1;%Jacobianofthefunctionevaluatedatbeta

yk=1./fenmu;

ya=-beta(1)*exp(-beta(3)*xdata)./fenmu.^2;

yb=beta(1)*beta(2)*xdata.*exp(-beta(3)*xdata)./fenmu.^2;

J=[ykyayb];

end;采用OptimizationToolbox_lsqcurvefit函數(shù)編程調(diào)用IR72objfun并求解最小二乘規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;

xdata=[03691215182124]';

ydata=[0.30.723.319.7113.0916.8517.7918.2318.43]';

beta0=[1,1,1]';%Startingguess

lb=[000]';ub=[];

options=optimset('GradObj','on','TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7);

[beta,resnorm,residual,exitflag]=...

lsqcurvefit(@IR72objfun,beta0,xdata,ydata,lb,ub,options)程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.

beta=

1.8280e+001

4.8221e+001

4.1987e-001

resnorm=2.2398e+000

exitflag=3

平均粒重與開花后天數(shù)關(guān)系的Logistic生長模型擬合如圖8-2所示。圖8-2平均粒重與開花后天數(shù)關(guān)系的Logistic生長模型擬合8.6.2非線性方程組最小二乘規(guī)劃

采用OptimizationToolbox_lsqnonlin函數(shù)可編程實(shí)現(xiàn)非線性方程組或向量函數(shù)的最小二乘規(guī)劃，問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：

其中，為非線性函數(shù)組或向量函數(shù)。

【例8.14】求解下面的非線性方程組最小二乘規(guī)劃：

其中Jacobian矩陣的計算：將目標(biāo)函數(shù)和Jacobian矩陣的計算編寫成M-file函數(shù)nonlinobjfun.m。程序如下：

function[FJ]=nonlinobjfun(x);

i=[1:10]’;

F=2+2*i-exp(i*x(1))-exp(i*x(2));

ifnargout>1;%twooutputarguments

fori=1:10;

forj=1:2;

J(i,j)=-i*exp(i*x(j));

end;

end;%Jacobianofthefunctionevaluatedatx

end;采用OptimizationToolbox_lsqnonlin函數(shù)編程調(diào)用nonlinobjfun并求解最小二乘規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;

options=optimset('Jacobian','on','TolX',1e-7,'TolFun',1e-7);

x0=[0.3;0.4];%Startingguess

[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin(@nonlinobjfun,x0,[],[],options)

程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

Optimizationterminated:normofthecurrentstepislessthanOPTIONS.TolX.

x=

0.2578

0.2578

resnorm=

124.3622

exitflag=28.6.3線性方程組約束最小二乘規(guī)劃

采用OptimizationToolbox_lsqlin函數(shù)可編程實(shí)現(xiàn)線性方程組約束最小二乘規(guī)劃，常用于求取約束或無約束超定線性方程組的最小二乘解。問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：

【例8.15】求解下面的線性方程組約束最小二乘規(guī)劃：

其中采用OptimizationToolbox_lsqlin函數(shù)編程求解線性方程組約束最小二乘規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;

C=[0.95010.76200.61530.4057

0.23110.45640.79190.9354

0.60680.01850.92180.9169

0.48590.82140.73820.4102

0.89120.44470.17620.8936];

d=[0.05780.35280.81310.00980.1388]’;

lb=-0.1*ones(4,1);ub=2*ones(4,1);

A=[0.20270.27210.74670.4659

0.19870.19880.44500.4186

0.60370.01520.93180.8462];

b=[0.52510.20260.6721]’;

options=optimset('LargeScale','off','TolX',1e-7,'TolFun',1e-7,'TolCon',1e-7);

[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(C,d,A,b,[],[],lb,ub,[],options)

程序執(zhí)行的部分結(jié)果如下：

Optimizationterminated.

x=

-0.1000

-0.1000

?0.2152

?0.3502

resnorm=0.1672

exitflag=18.6.4線性方程組非負(fù)最小二乘規(guī)劃

采用OptimizationToolbox_lsqnonneg函數(shù)可編程實(shí)現(xiàn)線性方程組非負(fù)最小二乘規(guī)劃，常用于求取超定線性方程組的非負(fù)約束最小二乘解。問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型為：

【例8.16】求下面二元線性方程組的非負(fù)最小二乘解，即求的最小二乘解。

其中采用OptimizationToolbox_lsqnonneg函數(shù)編程求解線性方程組非負(fù)最小二乘規(guī)劃。程序如下：

clc;clearall;

C=[0.03720.2869

0.68610.7071

0.62330.6245

0.6344