第甘肅省張掖市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷考試（理）試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C.D.2.若復(fù)數(shù)滿意（其中為虛數(shù)單位），則A.1 B. C.2 D.3.已知直線，，且，點到直線的距離（）A.B.C. D.4.已知則A. B. C. D.5.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是()A.B.C.D.6.已知，，，則大小關(guān)系是（）A B. C. D.7.把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標(biāo)擴大到原來的倍，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為A. B.C.D.8.在長為的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，這個正方形的面積介于與之間的概率為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列的首項，，前n項和滿意，則數(shù)列的前n項和為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C. D.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，且，則為坐標(biāo)原點的面積等于（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿意當(dāng)時，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，且).若函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分．13.已知是單位向量，且，則__________.14.若綻開式中各項系數(shù)的和等于64,則綻開式中的系數(shù)是________.15.設(shè)函數(shù)．若的圖像關(guān)于原點對稱，則曲線在點處的切線方程為______．16.正四面體ABCD的棱長為a，E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，若截面面積最小值為，則______．三?解答題（本大題共6小題，共70分.）17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，的面積為，求b的值.18.如圖，四棱錐中，底面，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若是等邊三角形，求二面角的余弦值．19．某“雙一流”高校專業(yè)獎學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成果作為評比依據(jù)，分為專業(yè)一等獎學(xué)金（獎金額元）、專業(yè)二等獎學(xué)金（獎金額元）及專業(yè)三等獎學(xué)金（獎金額元），且專業(yè)獎學(xué)金每個學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖（1）是統(tǒng)計了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時間頻率分布直方圖，圖（2）是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時間段獲得專業(yè)獎學(xué)金的頻率柱狀圖.（1）求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù)；（2）若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生，否則稱為“非努力型”學(xué)生，完成列聯(lián)表并推斷是否有的把握認(rèn)為獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)？（3）若以頻率作為概率，從該校任選一名學(xué)生，記該學(xué)生年獲得的專業(yè)獎學(xué)金額為隨機變量，求隨機變量的分布列和期望.20.已知拋物線上的點到其焦點F的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)點在拋物線C上，過點的直線l與拋物線C交于兩點，點H與點A關(guān)于x軸對稱，直線AH分別與直線OE，OB交于點M，N(O為坐標(biāo)原點)，求證：.21.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的極值點，求實數(shù)a的取值范圍.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線l的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點.若直線l與曲線相交于不同的兩點，求的值.23.選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，且關(guān)于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.PAGE9-張掖市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級第一次診斷考試數(shù)學(xué)（理科）試卷答案一、選擇題BDCDDBABABDC二、填空題13、14、15、16、17.答案：（1）（2）解析：（1）在中，由正弦定理及，得，.又，.，，.（2）角B是的內(nèi)角，，.又，，解得.在中，由余弦定理得，，解得.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明：如圖取的中點，連接和，，，又，四邊形是平行四邊形，，又，平面平面，平面，平面；（2）依據(jù)題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，，易知平面，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖視察可知為銳角，，二面角的余弦值為．19．【解析】獲得三等獎學(xué)金的頻率,故這名學(xué)生獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù)為人.每周課外學(xué)習(xí)時間不超過小時的“非努力型”學(xué)生有其中獲得一、二等獎學(xué)金學(xué)生有每周課外學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生有人，其中獲得一、二等獎學(xué)金學(xué)生有人，聯(lián)表如圖所示:“非努力型”學(xué)生“努力型”學(xué)生總計獲得一二等獎學(xué)金學(xué)生未獲得一二等獎學(xué)金學(xué)生總計故有的把握認(rèn)為獲得一二等獎學(xué)金與學(xué)習(xí)“努力型”學(xué)生的學(xué)習(xí)時間有關(guān)；的可能取值為,,,的分布列0600150030000.4240.320.1980.058元.20.答案：(1)方程為.(2)證明過程見解析.解析：(1)由點在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或(舍去).故拋物線C的方程為.(2)由在拋物線C上可得，解得，所以，直線OE的方程為.易知，均不為0.由題意知直線l的斜率存在且大于0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得消去y，得.則，得，所以，.由直線OE的方程為，得.易知直線OB的方程為，故.數(shù)形結(jié)合可知，要證，即證，即證，即證，即證，則，此等式明顯成立，所以.21.答案：(1)的單調(diào)遞增區(qū)間，的單調(diào)遞減區(qū)間(2)解析：(1)，，令解得，所以，，故的單調(diào)遞增；，，故的單調(diào)遞減；綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間，的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由題意：，，所以在上有兩個不同根，故在上有兩個不同根，即在上有兩個不同根，設(shè)，，，所以，，單調(diào)遞增：，，單調(diào)遞減；所以即.22、答案：（1），解析：（1）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線l的一般方程為，又將曲線的極坐標(biāo)方程化為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線l的參數(shù)方程代入中，得，得此方程的兩根為直線l與曲線的交點對應(yīng)的參數(shù)，，得，，由直線參數(shù)的幾何