專題29平面向量基本定理及坐標表示（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................3

【考點1］平面向量基本定理的應用............................................3

【考點2］平面向量的坐標運算................................................5

【考點3］平面向量共線的坐標表示............................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優篇】.................................................................10

考試要求：

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.

3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

；知識梳理

L平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內的兩個不共線向量

對于這?平面內的任一向量a,有且只有一對實數/U,初，使〃=區經

結論

+22￡2

若ei,e2不共線,我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內所有向量的一個

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標運算

⑴向量加法、減法、數乘運算及向量的模

設。=(尤1,yi),b=(X2,yi),則

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—y2),幾a=(尢n,7vi),|a|='/君+y?.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A(xi,yi),3(x2,,2),則AB=(X2—xi,y2-yi),|AB|=、/"(一―xi)2+(丫2-yi)

4.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,灰Z>WO)共線的充要條件是人\21x2券=0.

|常用結論

1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與〃不共線，2a+〃方=0,則/l=〃=0.

3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起

點在什么位置，它們的坐標都是相同的.

.真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則比.麗=()

A.亞B.3C.2A/5D.5

2

2.（2023?全國?高考真題）已知向量￡=（1,1））=（1,一1）,若僅+"）乂￡+叫，則（）

A.4+4=1B.X+〃=—1

C.沏=1D.AjU=-l

3.(2022?全國?高考真題)已知向量。=(3,4)萬=(1,0),c=a+醫，若<a,c〉=<B,c>,貝()

A.-6B.-5C.5D.6

4.(2022?全國?高考真題)已知向量Z=(2,l)石=(-2,4),貝()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022?全國?高考真題)在AASC中，點。在邊A8上，BD=2DA.記回=加，詼=萬，則而=()

A.3m—2nB.—2/+3為C.3/+2萬D.2/+3為

二、填空題

6.(2021?全國?高考真題)已知向量a=(l,3),B=(3,4),若(〃-萩)則2=.

r考點突破

【考點11平面向量基本定理的應用

一、單選題

1.（21-22高一下?重慶北暗階段練習）設蕊團是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向

量的一個基底的是（）

A.G+%和q-qB.q+2e?和e2+26

C.3q—2e?和44—6qD.e?，和e,+q

2.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊AABC中，點E為中線2。的三等分點（靠近點2）,

點尸為BC的中點，則而.麗=（）

二、多選題

3.（2024?廣西?二模）已知AABC內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,O為44BC的重心，cosA=g,AO=2,則

3

.1—.1

A.AO=-AB+-ACB.ABACk<3

44—

C.AABC的面積的最大值為3#D.。的最小值為26

4.（2022?廣東惠州?一模）如圖，點。是正八邊形ABCDEFGH的中心，且卜q=1,則（）

?O

AB

A.而與麗能構成一組基底B.OAOC=0

D.ACCD=-^

C.OA+OC=y/2OB

三、填空題

5.（2024?天津紅橋?二模）太極圖被稱為"中華第一圖"，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚

太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓。和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點。且兩端點

N分別在兩個半圓上，點尸是大圓上一動點，令麗=￡,PN=b，若所=4￡+4-則4=；a-b

的最小值為

6.（2024?天津?二模）在AABC中，AM^2MB<P是MC的中點，延長釬交BC于點￡>.設通=3,AC=b，

3

則正可用a,B表不為,若AD=&,cos/BAC=y，則AABC面積的最大值為.

反思提升：

（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、

減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.

（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同

的，但在每個基底下的分解都是唯一的.

【考點2】平面向量的坐標運算

一、單選題

4

1.(12-13高一上?黑龍江牡丹江?期末)已知1=(1,1),方=(2,5),2=(3,x),若(81辦工=30,則尤=()

A.6B.5C.4D.3

2.(2024?湖南邵陽?一模)如圖所示，四邊形ABCD是正方形,又,"分別8(7,OC的中點，若

加=尢而+〃麗,2,〃eR,貝!)22-〃的值為()

二、多選題

3.(2022?湖北十堰?模擬預測)已知向量方=(3,4),3=(2/』-。，則下列結論正確的是()

A.當r=i時，?正+ii=ar

B.當/>-2時，向量正與向量元的夾角為銳角

C.存在/<0,使得m〃n

D.若而J_K則f=-2

4.(2023?全國?模擬預測)如圖1是一款家居裝飾物一一博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于

書架式的木器，其每層形狀不規則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博

古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網格中每個小正方形的邊長為1,則下列結論正確的是()

毗嶗■器I

圖1

A.BQ1OJ

r,3

B.^AY=xDV+yHM貝"+工一萬

C.(AY+OjyBQ+2DV-HM=0

5

9

D.設Z為線段AK上任意一點，則無?豆的取值范圍是-“40

三、填空題

5.（2022?湖南岳陽?三模）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧BC上運動（包含8,C兩個端點），WAC

=—,且Q=x而+>*,x+y的取值范圍為.

6.（2020?山西?三模）如圖，在回ABC中，AD=2DC,點P是線段上的一個動點.^^根須+鞏正，則

m,〃滿足的等式是.

反思提升：

平面向量坐標運算的技巧

（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段

兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.

（2）解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解.

【考點3】平面向量共線的坐標表示

一、單選題

1.（23-24高二上,四川綿陽,期末）直線2x-3y+l=0的一個方向向量是（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,-2）D.（2-3）

2.（2024?河北秦皇島?二模）已知向量2=（私2加+3）,1=（1,4加+1）,貝1]"機=-十是"2與B共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

二、多選題

3.（2024?山東聊城二模）已知向量￡=（-1,2）石=。,九），若方在￡上的投影向量為日，則（）

A.2=3B.a//b

C.a_L0-a）D.Z與萬的夾角為45。

6

4.（2024?甘肅張掖?一模）下列命題錯誤的是（）

A.對空間任意一點。與不共線的三點A,B,C,若9=工或+y礪+z^其中x,V,zeR且無+y+z=l,

則尸,A,B,C四點共面

B.已知苕=（1,-1）,5=3,1）,花與5的夾角為鈍角，則d的取值范圍是d<l

c.若乙，B共線，則

D.若商，5共線，則一定存在實數％使得石=成

三、填空題

5.（22-23高三上,廣西貴港?階段練習）已知向量通=（3,2m-4）,配=（2,4）,若A,B,C三點共線，貝U

6.（2024?江西鷹潭?模擬預測）AABC的三內角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,設向量p=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c）,若向量方與向量［共線，則角A=.

反思提升：

1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若a=（xi,yi）,b=（X2,"）,則。〃8的充要條件

是xiy2—x2yi=0;

（2）若a〃伙》W0）,則.=肪.

2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時,

也可以利用坐標對應成比例來求解.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?黑龍江?模擬預測）已知在梯形ABCO中，AB//CD且滿足初=2配，E為AC中點，尸為線段A3上

靠近點2的三等分點，設池=a,AD=b，則訪=（）.

2一1亍3一”5一”1一1廣

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.-a——b

324612226

2.（2023?廣東?模擬預測）古希臘數學家帕波斯在其著作《數學匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜

蜂將它們的蜂巢結構設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結構，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用

率，體現了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結構的平面圖形如圖所示，則荏=（）

7

3―-5—?5-.3-

A.——CE+-DEB.——CE+-DE

2662

2―.5--5—.2--

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

3.（2024?陜西?模擬預測）已知兩個向量方=（2,-1）,5=（后租）,且0+5），（萬-方）,則加的值為（）

A.±1B.+^/2C.+2D.+2>/3

4.(2024?浙江溫州?三模)平面向量￡=0〃,2),5=(-2,4),若2〃倒悶，貝打"=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多選題

5.（2021?全國?模擬預測）在AABC中，D,E,P分別是邊BC,C4,AB的中點，AD,BE,C尸交于

點G,貝U()

--1--1----1—.1―.

A.EF=-CA——BCB.BE=——AB+-BC

2222

C.AD+BE=FCD.GA+GB+GC=0

6.（21-22高三上?福建福州?期中）已知平面向量次、OB＞而為三個單位向量，且次.痂=0，若

OC=xOA+yOB（x,yeR）,則x+y的可能取值為（）

A.0B.1C.0D.2

7.（2023?廣東?二模）若平面向量日=（〃,2）,5=（1,m-1）,其中"，“eR’則下列說法正確的是（）

A.若2汗+B=(2,6),則1〃行

B.若a=-2B,則與5同向的單位向量為

c.若"=1,且苕與5的夾角為銳角，則實數機的取值范圍為

D.若在上B,則Z=2"+4m的最小值為4

三、填空題

8.（2024?貴州貴陽?模擬預測）已知向量2=（-1,2）,b=（m,-4）,則（Z-2可〃（2￡+可，則實數機=.

8

9.（2024?黑龍江?二模）已知向量萬=（1,根），石=（",6）,若石=3商，則.

10.（2023,河南?模擬預測）在平行四邊形A3CD中，AD=2AB=2,5DLDC,點M為線段8的中點，

則MAMB=-

四、解答題

11.（23-24高三上?江蘇徐州?階段練習）在“1SC中，E為AC的中點，。為邊BC上靠近點8的三等分點.

⑴分別用向量抽，而表示向量市S而；

⑵若點N滿足4麗+2通=3恁，證明：B,N,E三點共線.

12.（2023?湖南永州?二模）已知AABC的內角A&C的對邊分別為a,4c,且向量沆=（26-a,c）與向量

n=（cosA,cosC）共線.

⑴求C；

（2）若C=3AA5C的面積為也，求a+6的直

2

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?全國,模擬預測）已知點4（2,1）,*1,加+1）,C（m+2,-3）,K|Afi|-|Ac|=AB.C4,貝那=（）

11

A.±-B.±2C.-D.2

22

二、多選題

2.（2023,湖北襄陽?模擬預測）在直角梯形A3CD中，A8_LA￡>,荏=2配,E為AB中點，分別為線段

OE的兩個三等分點，點尸為線段上任意一點，若Q=X麗+〃麗，則X+〃的值可能是（）

27一一

三、填空題

3.（2023?全國?模擬預測）在平行四邊形ABQ）中，點A（0,0）,5（-4,4）,仇2,6）.若AC與瓦）的交點為M,

則DM的中點E的坐標為

四、解答題

TT

4.（23-24高