第64講橢圓及其性質

知識梳理

知識點一：橢圓的定義

平面內與兩個定點耳，耳的距離之和等于常數2〃（2〃>|耳居|）的點的軌跡叫做橢圓，

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表

示為：｛尸||尸耳|+1尸耳|=2aQa>|FXF2|=2c>0）｝

注意：當2a=2c時，點的軌跡是線段；

當2a<2c時，點的軌跡不存在.

知識點二：橢圓的方程、圖形與性質

橢圓的方程、圖形與性質所示.

焦點的位

焦點在工軸上焦點在y軸上

置

A

圖形

4HlO

w

2222

標準方程二十斗=1（々>〃〉0）

a2b2v）a2b2V）

統一方程mx2+ny2=l（m>0,n>0,機w〃）

[x=acos0人3,,、[x=acosO”./、

參數方程,為參數（匹[0,2加）\7為參數（。￡[0,2捫）

[y=bsmO[y=Z?sin。

第一定義到兩定點耳、區的距離之和等于常數2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2“>|耳耳|）

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b5.-a<y<a

A】、A2(?,0)A】（0,—。）、A2（0,〃）

頂點

B](O,詢、B2(O,/7)B1（-b,O）、B2（Z7,0）

軸長長軸長二-2a,短軸長=2b長軸長=2a,短軸長=2〃

對稱性關于X軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

焦點耳（-G。）、8（c,0）耳（0,-。）、K（O,c）

222

焦距FXF2\=2C(c=a-b)

\a2-b21-4(0<￡<1)

離心率7

a2Ia2

一

準線方程

C

點和橢圓>1,外生+詈1=1o點（%，%）在橢圓<外

=lo點5,%)在橢圓上2上

a2b2ab

的關系<1內<1內

=1（（X。,%）為切點）2^+^^=i（（%,%）為切點）

a2b2ab

切線方程對于過橢圓上一點（%,%）的切線方程，只需將橢圓方程中f換為X/,/換為

為了可得

切點弦所

在的直線誓+浮=i（點（%,%）在橢圓外）浮+等=1（點（X。,%）在橢圓外）

abab

方程

2b2

a)cos6=-J,…圈,(B為短軸的端點）

)sinO3an"

c%1,焦點在無軸上.Fpp.

焦點三角(2)SkPRF?~

c天|,焦點在y軸上

形面積四乂(4，%)

J嚏

<JO

③當尸點在長軸端點時，(耳.血口=從

當P點在短軸端點時，(皿)max="

焦點三角形中一般要用到的關系是

(\MFi\+\MF2\=2aC2a>2c)

=1|P^HP^|sinZJF；PF2)

22

||￡工|=|PF^+\PF21-21PFt||PF°|cosZFtPF2

左焦半徑：\MFX\=a+exQ上焦半徑：嗎二〃一00

焦半徑又焦半徑：|孫|=4-%下焦半徑：\MF1\=a+eyQ

焦半徑最大值a+c,最小值

h2

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2幺(最短的過焦點的弦)

a

設直線與橢圓的兩個交點為Aa，x),B(x2,j2),kAB=k,

2

則弦長=J1+左2|石_引=&+k2-%2)-4XJX2

弦長公式

(其中a是消y后關于x的一元二次方程的x2的系數，A是判別式)

【解題方法總結】

(1)過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其

長為匕

a

①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端

點.

②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點.

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

(2)橢圓的切線

22

①橢圓二+與=1(“>6>0)上一點產(%,為)處的切線方程是筆+理=i；

abab

22

②過橢圓二+斗=1（“>6>o）外一點尸?，為）,所引兩條切線的切點弦方程是

ab

%。%?=1

/b2~

③橢圓二+々=1(“>6>0)與直線Ac+By+C=O相切的條件是A2a2+3252=。2.

ab

必考題型全歸納

題型一：橢圓的定義與標準方程

例1.（2024?高二課時練習）已知橢圓C上任意一點P（x,y）都滿足關系式

*2*4

7（%-1）+/+#+吁+/=4,則橢圓C的標準方程為.

例2.（2024?山東青島?統考三模）已知橢圓C的長軸長為4,它的一個焦點與拋物線

y=9入2的焦點重合，則橢圓C的標準方程為____.

4

22

例3.（2024?全國?高二專題練習）已知橢圓—+當=1（〃〉人>0）的左、右焦點為

ab

片（-1,0）,鳥（1,0）,且過點尸則橢圓標準方程為.

22

變式1.（2024.浙江紹興.紹興一中校考模擬預測）已知橢圓R=+2=1

ab

（a>b>0）,尸是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的

斜率為-石，△樹的面積為走，則E的標準方程為.

22

變式2.（2024.全國?高二專題練習）已知橢圓焦點在x軸，它與橢圓工+匕=1有相同離心

43

率且經過點（2,-6）,則橢圓標準方程為.

變式3.（2024.北京.高二北大附中校考期末）與雙曲線4y2-3/=12有相同焦點，且長軸

長為6的橢圓標準方程為.

變式4.（2024?福建福州?高二福建省福州屏東中學校考期末）已知橢圓E：

22

?+當=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳，B，過坐標原點的直線交E于P,0兩點,

ah

且產乙，乙Q,且'%2=；］,|尸局+|g0=8,則E的標準方程為.

22

變式5.（2024.山東青島.高二青島二中校考期中）過點（6-⑹，且與橢圓2+5=1有

相同的焦點的橢圓標準方程是.

變式6.（2024?浙江麗水?高三校考期中）我們把焦點在同一條坐標軸上，且離心率相同的

橢圓叫做“相似橢圓若橢圓E:二+.=1,則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓尸的標準

1612

方程為.

22

變式7.（2024.全國?高三專題練習）已知橢圓C：二+4=1（。>6>0）的左、右焦點分別

ab

為Fi,F2,左、右頂點分別為M,N,過尸2的直線/交C于A,3兩點（異于M、N）,

的周長為4石，且直線AM與AN的斜率之積為則橢圓C的標準方程

為.

變式8.（2024.高二課時練習）已知橢圓C的焦點在坐標軸上，且經過A（-62）和

5（-273,1）兩點，則橢圓C的標準方程為.

【解題方法總結】

（1）定義法：根據橢圓定義，確定。2,/的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數法：根據橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然

后根據條件列出6,c的方程組，解出/，廿，從而求得標準方程.

注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為4V2+By2=］（A>o,B>o,AwB）.

2222

②與橢圓一+—=1共焦點的橢圓可設為——+——=l（k>-m,k>—n,mwn）.

mnm+kn+k

2222

③與橢圓會+我=l（〃〉b〉O）有相同離心率的橢圓，可設為1r+%=勺（匕〉0,焦

Y2V2

點在x軸上）或=+4=匕（笈2>。，焦點在y軸上）.

b~~

題型二：橢圓方程的充要條件

例4.（2024?全國?高三對口高考）若6是任意實數，方程fsine+y2cos9=5表示的曲線不

可能是（）

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

例5.（2024?上海徐匯?位育中學校考三模）已知〃zeR,則方程（2-m）/+（m+1力2=］所

表示的曲線為C,則以下命題中正確的是（）

A.當時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓

B.當曲線C表示雙曲線時，加的取值范圍是（2,+8）

C.當〃?=2時，曲線C表示一條直線

D.存在meR,使得曲線C為等軸雙曲線

例6.（2024?全國?高三專題練習）已知方程-2+6/+3+.+及尸尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.現有四位同學對該方程進行了判斷，提出了四個命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標準方程；丁：可以是雙曲線的標準方程.

其中，真命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式9.（2024?全國?高三專題練習）0<3<1”是“方程分2=1_勿2表示的曲線為

橢圓”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

22

變式10.（2024?云南楚雄?高三統考期末）已知曲線C：L+」^=1,則“4>o”是“曲線C

4。3。+2

是橢圓”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2

變式11.（2024?全國?高三專題練習）設。為實數，則曲線C：/一—之不可能是

\-a2

（）

A.拋物線B.雙曲線C.圓D,橢圓

22

變式12.（2024?廣西欽州?高三校考階段練習）"1<左<5"是方程“'+二二=1表示橢圓

k—15—k

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條

【解題方法總結】

22

土+上=1表示橢圓的充要條件為：m>0,n>0,m^n；

mn

22

上+乙=1表示雙曲線方程的充要條件為：nm<0；

mn

22

匕+二=1表示圓方程的充要條件為：m=n>Q.

mn

題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題

22

例7.（2024?貴州黔東南?高三校考階段練習）已知點A,B是橢圓C:土+2=1上關于原

94

點對稱的兩點，耳,工分別是橢圓C的左、右焦點，若|A耳|=2,則忸同=（）

A.1B.2C.4D.5

22

例8.（2024.北京?高三強基計劃）如圖，過橢圓?+g=l的右焦點B作一條直線，交橢

例9.（2024?江西?高三統考階段練習）已知橢圓C:*+y2=l（a>l）,片，工為兩個焦點，P

a

為橢圓c上一點，若△尸耳后的周長為4,則〃=（）

35

A.2B.3C.—D.一

24

22

變式13.（2024?河南?高三階段練習）已知月,區分別為橢圓0q+匕=1（"26）的兩個

a12

焦點，且C的離心率為為橢圓C上的一點，則的周長為（）

A.6B.9C.12D.15

22

變式14.（2024?全國?校聯考模擬預測）已知橢圓E:=+二=1（。>6>0）的左頂點為A,上

ab

頂點為2,左、右焦點分別為耳，B，延長8K交橢圓E于點P.若點A到直線88的距離

為至1,耳的周長為16,則橢圓￡的標準方程為（）

3

2222

A.——+—=lB.工+匕=1

25163632

爐十九1爐y,2

cD.----+--1----=-1

494810064

x2,2

變式15.（2024.廣東梅州.統考三模）已知橢圓C:—+匕=1的左、右焦點分別為月,

95

尸2,過點尸2的直線/與橢圓C的一個交點為A,若|A乙|=4,則耳心的面積為（）

A.273B.如C.4

22

變式16.（2024.廣東廣州.高三華南師大附中校考開學考試）橢圓￡:3+（=l（a>8>0）的

兩焦點分別為與F2,A是橢圓片上一點，當△耳4工的面積取得最大值時，ZF,AF2=

()

n-2〃

A.—cD.—

6-t3

,2

變式17.（2024?河南開封?統考三模）已知點尸是橢圓工+上=1上一點，橢圓的左、右焦

259

點分別為耳、B，且cos/耳則心的面積為(

「9A/2

A.6B.12D.2A/2

2

,2

變式18.（2024?全國?高三專題練習）設片為橢圓C:5+y2=l的兩個焦點，點尸在C

上，若麗?朋=0,則|/訃|尸閭=（）

A.1B.2C.4D.5

22

變式19.（2024?全國?高三專題練習）設。為坐標原點，耳，居為橢圓C:土+匕=1的兩個

96

3

焦點，點尸在。上,cosZ^P^=-,則|OP|二()

A.乜R730n扃

LJ.--------

522

22

變式20.（2024?湖南長沙?長郡中學校考模擬預測）若橢圓c：=+2=l（a>6>0）的離心

ab

率為g，兩個焦點分別為耳（-c，0）,乙（c,0）（c>0）,M為橢圓C上異于頂點的任意一點，

“\PM\

點尸是△MKB的內心，連接"P并延長交于點。，則胃=（）

A.2B.±C.4D.-

24

變式21.（2024?云南昆明?昆明一中校考模擬預測）已知橢圓c：二+《=l的左、右焦點分

259

別為小尸2,直線尸丘與橢圓。交于A,8兩點，若|人卻=閨閭，則，明的面積等于

（）

A.18B.10C.9D.6

22

變式22.（2024貴州黔西校考一模）設橢圓C:[+馬=l（a>b>0）的左、右焦點分別為

ab

耳，F2,離心率為1.尸是C上一點，且可尸，丹P.若△尸的面積為2,則4=

2

（）

A.1B.2C.&D.4

22

變式23.（2024?云南昆明?昆明市第三中學校考模擬預測）己知橢圓C:]+齊=1（0<6<3）

的左、右焦點分別為0耳，尸為橢圓上一點，且/耳尸耳=60。，若可關于/耳P瑞平分線的對

稱點在橢圓C上，則鳥的面積為（）

A.6石B.3A/3C.273D.色

變式24.（2024?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）在橢圓中，已知焦距

為2,橢圓上的一點P與兩個焦點0B的距離的和等于4,且/尸￡6=120。，則△尸

的面積為（）

「石

A3A/3R2A/336n3

7545

變式25.（2024.河北唐山?統考三模）已知橢圓C:,+V=l的兩個焦點分別為片,后，點加

/耳次,的角平分線交線段片乙于點N,則陰=

為C上異于長軸端點的任意一點,

|甲V|

()

RM旦D.72

52

【解題方法總結】

焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦

點將距離問題常用定義，即|P耳|+|尸名|=2人

題型四：橢圓上兩點距離的最值問題

22

例10.（2024.湖南?校聯考二模）已知斗鳥分別為橢圓C:二+匕=1的兩個焦點，尸為橢

62

圓上一點，則|尸耳|2+怛囚2—2怛司|產閶的最大值為（）

A.64B.16C.8D.4

22

例11.（2024.云南.高三校聯考階段練習）已知A（3,0）,3（-3,0）,p是橢圓夫+夫之上的任

2516

意一點，貝力夫川?|。團的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

例12.（2024?河南?高三期末）已知尸是橢圓C:'+±=1上的動點，且與C的四個頂點不

1612

重合，耳,且分別是橢圓的左、右焦點，若點M在/可尸乙的平分線上，且函.稱=0,則

|0加|的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（0,273）C.（0,4一2⑹D.（0,1）

22

變式26.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習）已知月,月是橢圓C:三+匕=1

43

的兩個焦點，點尸在C上，則|尸￡「+|尸乙「的取值范圍是（）

A.[1,16]B.[4,10]C.[8,10]D.[8,16]

22

變式27.（2024?全國?高三專題練習）若橢圓C：土+匕=1,則該橢圓上的點到焦點距離

43

的最大值為（）

A.3B.2+73

C.2D.G+1

22

變式28.（2024?全國?高三專題練習）已知點/在橢圓上+匕=1上運動，點N在圓

189

V+（y-爐=1上運動，則|MV|的最大值為（）

A.1+Vi?B.1+275C.5D.6

【解題方法總結】

利用幾何意義進行轉化.

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

22

例13.（2024?北京?高三強基計劃）設實數x,y滿足工+二=1,則

54

*2

J尤2+/一2丫+1+Qx+/一2無+1的最小值為（）

A.2&B.2A/5-2

C.2V5-V2D.前三個答案都不對

22

例14.（2024?甘肅定西?統考模擬預測）已知橢圓C：\_+g=l的左、右焦點分別為耳,

F2,A是C上一點，5（2,1）,則|AB|+|4周的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

2

例15.（2024?江蘇?統考三模）已知尸為橢圓C：三r+丁=1的右焦點，p為C上一點，Q

4'

為圓M：d+（y_3）2=l上一點，則PQ+PF的最大值為（）

A.3B.6

C.4+2>/3D.5+26

變式29.（2024?河北?高三河北衡水中學校考階段練習）若平面向量口瓦^滿足

\a\=\b\=l,\a+b\=\a-b\,^\c-a\+\c-^/3b\=4,則卜一”同+忸-回|的取值范圍為

（）

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[3,5]

22

變式30.（2024?廣東?高三校聯考階段練習）已知橢圓C:土+匕=1的左焦點為￡尸是。上

167

一點，M（3,l）,則歸M|+|P可的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

22

變式31.（2024?全國?高三專題練習）已知點尸為橢圓土+匕=1上任意一點，點M、N分

43

別為（X-琰+丁2=1和（％+l）2+y2=i上的點，則PM+|7W|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

變式32.（2024.全國?高三專題練習）已知耳，B分別為橢圓c：5+y2=l的兩個焦點，P

為橢圓上一點，則歸胤-歸局的最大值為（）

A.2B.2A/3C.4D.

r22

變式33.（2024.全國.高三專題練習）已知橢圓夫+3=1外一點45,6）,/為橢圓的左準

2516

3

線，P為橢圓上動點，點P到/的距離為d,貝+的最小值為（）

A.8B.10C.12D.14

22

變式34.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓C：L+工=1的右焦點為p,尸為橢圓C上

43

一動點，定點42,4）,貝||PA|-|PF|的最小值為（）

A.1B.-1C.V17D.-V17

【解題方法總結】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題

的過程中，如果發現動點尸在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃

而解.

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用橢圓定義去轉換

例16.（2024?四川成都?高三成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考開學考試）如圖，某同

學用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的尸

處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內移動，可以放松移動以保證R4與P3的

長度不變，當各在一條槽內移動時，P處筆尖就畫出一個橢圓E.已知|R4|=2|AB|,且

尸在右頂點時，B恰好在。點，則E的離心率為（）

22

例17.（2024.全國?高三專題練習）設橢圓+的一個焦點為-2,0）,

點A（-2,l）為橢圓E內一點，若橢圓E上存在一點尸，使得|必+「典=8,則橢圓E的離心

率的取值范圍是（）

'441（441「22、「22

|_97」（97」L97）\_97」

例18.（2024?安徽?高三安徽省宿松中學校聯考開學考試）已知橢圓C的左右焦點分別為

耳，F2,p,。為C上兩點，2%=3月。，若M工期,則C的離心率為（）

「713V17

,虧

變式35.（2024?湖北?高三孝感高中校聯考開學考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2,高為

3,A3CD是軸截面，瓦尸分別是母線AB,8上的動點（含端點），過E尸與軸截面A8C。

垂直的平面與圓柱側面的交線是圓或橢圓，當此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是

;

a-H]B.[°q]c.]|“D.

22

變式36.（2024?湖北.高三校聯考階段練習）已知小入分別是橢圓c：A+2=l

（a>6>0）的左，右焦點，M,N是橢圓C上兩點，且砒=2鼻獷，MF^MN=0,

則橢圓C的離心率為（）

「V5

22

變式37.（2024?重慶巴南?統考一模）橢圓C:三+a=1（〃>6>0）的左右焦點為B,

點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，點M,N滿足封=礪，2ON=OP+OF^,若四邊

形MONP的周長等于46,則橢圓C的離心率為e=（）

A.|B.正C.正D.顯

2223

變式38.（2024.黑龍江哈爾濱.哈爾濱市第六中學校校考三模）已知N是橢圓

22

上關于原點。對稱的兩點，P是橢圓C上異于M,N的點，且

兩.兩的最大值是:則橢圓C的離心率是（）

A.-B.|C.—D.且

3223

方向2：利用a與c,建立一次二次方程不等式

22

變式39.（2024?四川綿陽?高三鹽亭中學校考階段練習）橢圓廣二+2=1（”>6>0）的左、

ab

右焦點分別為用B，焦距為2c,若直線y=5（x+c）與橢圓7的一個交點為M在x軸上

3

方，滿足/々"二^/仍用，則該橢圓的離心率為（）

A.73-1B.在匚

2

C.41D.3二1■

22

變式40.（2024?廣東深圳.高三校考階段練習）己知橢圓風5+與=1（。>6>0）的右焦點

ab

為B，左頂點為A，若E上的點尸滿足軸，tanNPA,居=g，則E的離心率為

（）

A.JB.—C.—D.—

2545

變式41.（2024?廣東廣州.高三華南師大附中校考階段練習）己知。為坐標原點，P（為％）

22

是橢圓E:=+與=1（。>6>0）上一點（西>0）,尸為右焦點.延長PO,尸尸交橢圓E于。，

ab

G兩點，DF.FG=0,\DF\=4\FG\,則橢圓E的離心率為（）

A逐RVi7「后nVio

3565

22

變式42.（2024?河南開封?校考模擬預測）已知橢圓C:=+2=l（a>6>0）,A,2分別是

ab

C的左頂點和上頂點，尸是C的左焦點，若tanNE鉆=2tanNEB4,則C的離心率為

（）

A.|B.立

22

Q3-小D布一、

?~2-?2

22

變式43.（2024.山東泰安?統考模擬預測）已知橢圓c：5+2=l（〃>h>0）的左、右焦點分

ab

別是月，工，斜率為1的直線經過左焦點月且交C于A3兩點（點A在第一象限），設^

的內切圓半徑為？月6的內切圓半徑為馬，若；=2,則橢圓的離心率的值為

（）

QTD-T

22

變式44.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓二+1=1（。>6>0）的左頂點為A,右焦點為

ab

12

F,8為橢圓上一點，AFBF=0,cosZBAF=—,則橢圓的離心率為（）

22

變式45.（2024.湖北荊州?沙市中學校考模擬預測）已知橢圓C：3+多=l（a>b>0）,F