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文檔簡介
(沖刺高考)2024年云南省高考適應性訓練數學試題
一、單選題
NO.XCR},則(4A)C3-()
1.設集合A={x||4x-l|<9,xeR},B=
(-3,-2]o[0,|)
A.(-oo,-3)J[-,+<?)B.
C.(-00,-3]U[|,+oo)D.(-3,-2]
2.已知復數z滿足z(l+2i)=|l+2i|(其中i為虛數單位),則復數z的虛部為()
A,還B.冥C.2752A
nD.--------1
55一_5"5
3.若tan]”:j-~~,貝1Jcos2a+2sin2a=()
6448c16
A.——B.—C.iD.——
252525
3
4.已知向量a,b,2滿足|〃|=|們=百,a-b='--,<a—c,b—c>=30°,則41的最
大值等().
A.2"B.3+25C.2A/3D.3+26
Sn2n
5.已知等差數列{%},也}的前〃項和分別為S,,,",右7;―3〃+l,則"=()
7小10D.2
A-HB.—C.
111314
6.某品牌可降解塑料袋經自然降解后殘留量y與時間f(單位:年)之間的關系為
y=%.a.其中%為初始量,左為降解系數.已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量
的75%.若該品牌塑料袋需要經過n年,使其殘留量為初始量的10%,則〃的值約為()
(參考數據:1g2?0.301,1g3?0.477)
A.20B.16C.12D.7
7.已知在正方體中,AB=4,點、P,Q,T分別在棱和AB
上,且用尸=3,C,2=l,BT=3,記平面尸QT與側面ADR4,底面ABC。的交線分
別為優,“,則()
A.機的長度為述B."2的長度為述
33
C.”的長度為2叵D.〃的長度為巫
33
8.已知Af(a,3)是拋物線C:f=2py(p>0)上一點,且位于第一象限,點M到拋物
線C的焦點廠的距離為4,過點P(4,2)向拋物線c作兩條切線,切點分別為A,B,則
AP-BF=()
A.-1B.1C.16D.-12
二、多選題
9.下列不等式正確的是()
A.e71>7ieB.-ln0.9<—
9
C.5sin—<1D.sin—<—
5371
10.如圖所示,正方體ABCD-的棱長為1,瓦尸分別是棱A4',CC的中點,過
直線班的平面分別與棱交于點以下四個命題中正確的是()
A.四邊形項ffW一定為菱形
B.四棱錐A-MEVF體積為(
C.平面平面DBBD
D.四邊形㈤"W的周長最小值為4
11.函數/(x)=AsinWx+。)(其中A>0,a>>0,|^|<^)的部分圖象如圖所示,則
()
A.f(O)=-l
B.函數的最小正周期是2兀
C.函數“X)的圖象關于直線X對稱
D.將函數〃尤)的圖象向左平移方個單位長度以后,所得的函數圖象關于原點對稱
三、填空題
12.若向量。=(4,0),b=(l網,則向量°在向量方上的投影向量坐標為.
13.如圖,在第一象限內,矩形ABC。的三個頂點A3,C分別在函數
y=log#x,y=x:y=[g]的圖象上,且矩形的邊分別與兩坐標軸平行,若A點的縱
坐標是2,則。點的坐標是.
22
14.已知尸為橢圓C:宗+方=l(a>b>0)上一點,且分別為C的左、右焦點,且
PFJPK,若△尸片耳外接圓半徑與其內切圓半徑之比為I",則C的離心率為.
四、解答題
15.己知函數/(x)=2(x-l)e”.
(1)若函數f(x)在區間3田)上單調遞增,求/3)的取值范圍;
(2)設函數g(x)="-x+p,若存在與e[l,e],使不等式g(x())2/(無。尸/成立,求實
數〃的取值范圍.
16.人工智能正在改變我們的世界,由OpenAI開發的人工智能劃時代標志的ChatGPT
能更好地理解人類的意圖,并且可以更好地回答人類的問題,被人們稱為人類的第四次
工業革命.它滲透人類社會的方方面面,讓人類更高效地生活.現對130人的樣本使用
ChatGPT對服務業勞動力市場的潛在影響進行調查,其數據的統計結果如下表所示:
服務業就業人數的
ChatGPT應
合計
用的廣泛性
減少增加
廣泛應用601070
沒廣泛應用402060
合計10030130
(1)根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗,是否有99%的把握認為ChatGPT應用的廣泛
性與服務業就業人數的增減有關?
(2)現從“服務業就業人數會減少”的100人中按分層隨機抽樣的方法抽取5人,再從這5
人中隨機抽取3人,記抽取的3人中有X人認為人工智能會在服務業中廣泛應用,求X
的分布列和均值.
2
2_n(ad—be)
附:"(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d),其中〃=a+Z?+c+d.
a0.10.050.01
Xa2.7063.8416.635
17.如圖,在三棱柱ABC-4與G中,,平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC,=3,
點D,E分別在棱A4和棱CC,±,且AT?=1CE=2,/為棱的中點.
(I)求證:CtMA.BtD;
(II)求二面角B-瓦的正弦值;
(III)求直線與平面。與E所成角的正弦值.
18.動圓尸過定點42,0),且在y軸上截得的弦G8的長為4.
(1)若動圓圓心P的軌跡為曲線C,求曲線C的方程;
(2)在曲線C的對稱軸上是否存在點Q,使過點0的直線廠與曲線C的交點S,T滿足
總『+總干為定值?若存在,求出點。的坐標及定值;若不存在,請說明理由.
19.關于x的函數/(x)=lnx+2x-6S>2),我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零
點近似值.現結合導函數,介紹另一種求零點近似值的方法一“牛頓切線法”.
⑴證明:/⑺有唯一零點。,且aw。/);
(2)現在,我們任取西e(1,0開始,實施如下步驟:
在(不〃M))處作曲線〃尤)的切線,交x軸于點伍,0);
在(孫/仁))處作曲線〃尤)的切線,交了軸于點值,0);
在(五,八%))處作曲線/⑴的切線,交x軸于點(x?+1,0);
可以得到一個數列{%},它的各項都是不同程度的零點近似值.
⑴設x“+i=g(x.),求g(x“)的解析式(用X“表示X"+1);
(ii)證明:當玉總有/<x“+i<a.
參考答案:
1.A
【分析】求出集合A8后可求@A)B.
【詳解】由題意得A=,X|-2<X<:1,2={尤[X<-3或_^0},
所以低A)3={x[x<-2或x&},
所以。A)B=(—00,—3)U[―,+oo),
故選:A.
2.C
【分析】根據復數代數形式的除法運算法則化簡,再根據復數的定義判斷即可.
【詳解】因為z(l+2i)=|l+2i],所以2=嗯175(1-2i)_^5(l-2i)_V52A/5.
------------=---------=---------]
(l+2i)(l-2i)555
所以復數Z的虛部為-冬叵.
5
故選:C
3.A
【分析】由正切的兩角和公式,利用tank-9]=-1可得tana=1,進而根據弦化切即可
I4J74
求解.
[詳角星]VtanL-^
7
7171
tana——+tan—--+1
71714463
tana=tana——+—7
44717184
1-tanatan—il
44+7
八.cos2a+2sin2al+4tancr64
cos2a+2sm2a=-------------=--------=——
sina+cosatana+125
故選:A
4.D
【解析】若令。4=a,OB=b,OC=c,則已知可得C在以AB為弦的圓。的優弧上運動,
再結合圖形,可求出1cI的最大值.
■31
【詳解】OA=aOB=b,OC=c?由題意|=|b|=石,a-b=--,得cosNA。5=
ZAOB=120°fAB=3,?:<a-c,b-c>=30°,AZACB=30°,二.C在以A5為弦的圓。的
優弧上運動,N4PB=60。,r=3,OD=273,當C點在0。的延長線與圓。交點時,最
大為3+26.
故選:D
【點睛】此題考查向量的數量積和模的有關運算,利用了數形結合的思想求解,屬于中檔題.
5.A
S2n
【分析】根據端一結合等差數列的前〃項和公式,構造出符合題意的一組{%}與曲」
的通項公式,再進行計算即可.
【詳解】根據題意,數列{凡}、{2}都是等差數列,顯然兩個數列都不是常數列,
Sn_2n_2〃2
2
Tn3〃+13n+n
因為等差數列前“項和公式為s,=:/+(4-3”,?片0),
所以不妨令S“=2加<=3加+切口為常數,且人0),
所以“22時,a〃=S"-S,T=M4”-2),>=[-回-2)-
故選:A
6.B
Q1
【分析】由e2%==可得2左=ln3-21n2,再代入屋=;;;,求解即可.
410
【詳解】根據題意可得%?e〃=%q,
則e2%=2,2^=ln-=ln3-21n2,
44
則經過“年時,有%二成=%=,
即e^=」-,貝左=ln1-二—lnlO,
1010
nnk-IglO
所以-=—二---------
「八八22kIg3-21g20.477-2x0.301
則n=16.
故選:B.
7.A
【分析】做出截面,確定線段加,〃,由平行線分線段成比例,相似三角形的性質以及勾股
定理即可得解.
【詳解】如圖所示,
連接。尸并延長交CB的延長線于£,連接ET并延長交AD于點S,
交的延長線于點連接"Q,交DD]于點、R,連接液,
則加即為SR,〃即為ST,
由Pb〃QC,得黑二^?二!,所以班=2,EC=6,
QCLLD+4j
AQAT117
由AS〃£B,得絲二"=上,則AS=七防=4,
EBTB333
所以〃=S7=1心+松=巫,故C,D項錯誤;
3
/曰SDHS5
由SD//EC,得一=——=一
ECHE9
又易知SR//PQ,得票=黑,所以黑
QEHEQE9
所以SR=(QE=/2C2+£C2=孚,故A項正確,B項錯,
故選:A.
【點睛】關鍵點睛:本題解決的關鍵在于利用平面的性質作出截面,從而得到加為SR,〃為
ST,由此得解.
8.B
【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程,再設AG,%),*%,%),然后求出后,際
并化簡,然后求出直線的方程并代入拋物線方程,最后結合根與系數的關系求得答案.
【詳解】如示意圖,由拋物線的定義可知點M到拋物線準線的距離為4,則
3+汽=4np=2,即拋物線C:/=4y,則/(0,1).
設人(工,%),3(孫%),則源'.晶=應.詼=(-1>(四,必—1)
一(必+%)+1=中2+(;1)一;(d+X2)+.(k2『1,\23.
=%%+多%1=----~\Xl+X2)+5XM2+L
io4
2i11
xr
由>=—=>y=—xj貝llMIP=5玉,%5P=3*2,所以
j:=](%—玉)=玉%—2y+2%=0^>x1x-2y-2y1=0,
lBP:=,(%_%)=%2%-2,+2y之一考=0=>x2x-2y-2y2=0,
玉,4—2,2—2%-04x-2y,-4=0
因為點P(4,2)在這兩條直線上,所以4〉2;:-4=。,于是點小
Xy,4—2,2—2%—0
2
都在直線4x_2y_4=0上,gp/AS:y=2x-2,代入拋物線方程并化簡得:x-8%+8=0,
由根與系數的關系可知玉+*2=占馬=8.
->->R213
于是4歹-8尸=----X82+-X8+1=1.
1642
故選:B.
【點睛】本題運算較為復雜,注意要先求出后.赤,再判斷題目到底需要什么,另外本題
求解直線AB的方法需要熟練掌握.
9.ABC
【分析】利用函數〃X)==士的單調性可判斷A選項;利用函數g(x)=x-ln(x+l)的單調
性可判斷B選項;利用函數/?(x)=x-sinx在(0,1)上的單調性可判斷C選項;利用函數
p(x)=sinx-x+高在(0』)上的單調性可判斷D選項.
【詳解】對于A選項,令/(》)=?,貝|]廣(司=匕強,
當X>e時,r(x)<0,則函數在(e,+動上單調遞減,
因為兀>e,則/㈤<〃e),即叱〈小,即eln兀<7dne,即InTfvIne11,
7ie
所以,7ie<ex,A對;
1r
對于B選項,令g(x)=x—ln(x+l),則g〈x)=l----
人"II4―I-I
當x>0時,g'(x)=Uj>0,即函數g(x)在(0,+8)上為增函數,
所以,g["]=:-ln£>g(0)=0,即g>lng=-ln0.9,B對;
對于C選項,令/z(x)=x—sinx,其中。vxvl,
貝!J"(%)=1—cos%>0對任意的x£(0,1)恒成立,
所以,函數可可在(0,1)上為增函數,因為則彳£|=t-sin:>〃(0)=0,
所以,5sin1<l,C對;
92
對于D選項,令p(x)=sinx-x+R,其中Ovxvl,貝!J"(x)=cos%-l+耳,
令4(x)=COSX-1+萬,
由C選項可知,0(x)=x-sin尤=/i(x)>/z(O)=。對任意的工£(0,1)恒成立,
所以,函數夕⑺在(0」)上單調遞增,則p'(x)=q(x)>q(O)=O,
則函數p(x)在(0,1)上單調遞增,
因為工w(0』),貝U-|=sin---+^—=sin-->0,即sin->^-,
3VJl3j3316231623162
DE上5315371-16253x3.14-162166.42-162八口口.1531
又因為------=-------->------------=----------->0,即sin—>——>-,D
1627i162K162兀162K3162兀
故選:ABC.
【點睛】思路點睛:解答比較函數值大小問題,常見的思路有兩個:
(1)判斷各個數值所在的區間;
(2)利用函數的單調性直接解答.
數值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應用.
10.ACD
【分析】由正方體截面性質有㈤網為平行四邊形,若G,H為DD:BB'中點,易得EHFG為
正方形,進而得到初1=血「即可判斷A;由到面AEb的距離之和為底面對角線且
匕一“的=%一.+%一4防求體積判斷B;利用線面垂直、面面垂直的判定判斷C;根據正方
體的結構特征判斷M,N在運動過程中,周長最短時位置判斷D.
【詳解】由題意,正方體截面的性質易知EM//N£EN//Mb,即MV為平行四邊形,
取G,H為。中點,因為瓦F分別是棱A<CC的中點,則E*G為正方形,
所以EH==ZFHM=90。,則=故£MRV為菱形,A對;
由M,N到面AEF的距離之和為底面對角線為72,
又匕-MHVF=%一.+%-但=jx&,S4防=9四、<><9應=:為定值,B錯;
33226
由菱形性質知MN_L£F,由正方體性質知DD'l.面EHFG,EFu面EHFG,則DU±EF,
又MNDD'=N,MN,DD'u面DBB'D,故跖1面D3377,
而斯<=面口"W,所以平面EMFNJ"平面DB3D,C對;
M,N在運動過程中,僅當它們為對應線段中點時,菱形各邊最短且為1,
此時EA〃W為正方形,周長為4,D對.
D'
故選:ACD
11.AC
【分析】利用圖象求出函數/(尤)的解析式,代值計算可判斷A選項;利用正弦型函數的周
期性可判斷B選項;利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項;利用三角函數圖象變換可判
斷D選項.
【詳解】由圖可知,4=/(x)max/(x)min=2—(-2)=2,
22
函數f(x)的最小正周期T滿足號=普-(-卻=手,則7=兀,。="=生=2,B錯;
412oy417i
所以,/(x)=2sin(2x+^),
、[兀//兀ULr、[5兀7C7CE/兀?!猺/日兀
因為一大工夕工大,所以,一-G則0一;=_大,可得夕=一:
226736326
所以,/(x)=2sinl2x-^l貝|/(O)=2sii
inT,A對;
2。sin。2x-兀--兀--=2sin|=2=/(x)max,
I36
所以,函數/(力的圖象關于直線尤=三對稱,C對;
將函數f(x)的圖象向左平移2個單位長度以后,
6
得到函數y=2sin2x+e巳=2sin2x+,的圖象,所得函數為非奇非偶函數,D錯.
故選:AC.
12.(L@
【分析】利用向量的數量積運算與投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為a=(4,0),6=(1,6),
所以。2=4+0=4,慟=^/171=2,
a-bb4brFT\
所以向量a在向量6上的投影向量的坐標為可刑=5、5=67=(1,。3).
故答案為:(1,港).
【分析】根據指對塞函數的圖象及解析式求出A點的橫坐標、C點縱坐標,即可得。點的
坐標.
【詳解】由題意,A3縱坐標都為2,則5點橫坐標為8,即。點橫坐標為8,
所以A點的橫坐標為牛=;,C點縱坐標為(3)8=-1,
由ABC。為矩形及題圖知:。點的坐標是(;人).
381
故答案為:(][)
3ol
14.-
7
【分析】由橢圓性質及定義有l£gl=2c,|P£|+|PFJ=2a,結合直角三角形內切圓、外接
圓相關性質求對應半徑,進而得到橢圓參數的齊次方程,即可得求離心率.
【詳解】由題意,在Rt△尸耳耳中I片&l=2c,|Pf;|+|"|=2a,4PK=90。,
所以其外接圓半徑R=號』=c,內切圓的半徑為IP-I+IP,IT式囚=。一0,
故答案為:y
15.(l)[-2,+oo);(2)[-e,+?).
【詳解】試題分析:
⑴由函數的解析式可得“X)在(0,-)上單調遞增,則的取值范圍是[-2,+8);
⑵原問題等價于存在使不等式。“23)e%成立.構造新函數
可力=(2彳-3修,結合函數力(力的性質可得實數P的取值范圍為[-e,+8).
試題解析:
(1)由廣(尤)=2旄*>0得了>0,
/(x)在(0,+?)上單調遞增,:.a>0,:.f(a)>f(0)=-2,
???”“)的取值范圍是[-2,+s).
(2)存在使不等式g(%)N2(%-l)成立,
存在為使不等式°2(25-3)源成立.
令/z(x)=(2x-3)e",從而尤
h^x)=[lx-\)ex,
x>l,..2x—l>l,ex>0,/./zr(x)>0,
.?./z(x)=(2x-l)e*在[l,e]上單調遞增,
:邛”.
,實數p的取值范圍為[w+co).
16.⑴沒有
,,Q
(2)分布列見解析,j
【分析】(1)根據題意求小,并與臨界值對比判斷;
(2)根據分層抽樣求各層人數,結合超幾何分布求分布列和期望.
【詳解】(1)零假設為"。:ChatGPT對服務業就業人數的增減無關.
*日昨本山粕母俎2130x(60x20-40x10)2
小艮據表中數據得力=--------------------?6.603<6.635=x
70x60x100x3000l
所以根據小概率值c=0.01的獨立性檢驗,
沒有充分證據推斷不成立,因此可以認為無關.
(2)由題意得,采用分層抽樣抽取出的5人中,
有《jx5=3人認為人工智能會在服務業中廣泛應用,
有4六0x5=2人認為人工智能不會在服務業中廣泛應用,
則X的可能取值為L2,3,
dor3rl
又「(X=l)=罟磊尸-2)=罟=(P(X=3)=]1
10
所以X的分布列為
17.(I)證明見解析;(II)畫;(III)且.
63
【分析】以C為原點,分別以C4,CB,CC;的方向為X軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角
坐標系.
(I)計算出向量和BQ的坐標,得出即可證明出
(II)可知平面88也的一個法向量為C4,計算出平面4瓦)的一個法向量為〃,利用空間
向量法計算出二面角B-瓦E-O的余弦值,利用同角三角函數的基本關系可求解結果;
(III)利用空間向量法可求得直線AB與平面DB、E所成角的正弦值.
【詳解】依題意,以c為原點,分別以CA、CB、eq的方向為x軸、y軸、z軸的正方向
建立空間直角坐標系(如圖),
可得C(0,0,0)、4(2,0,0)、*0,2,0)、G(0,0,3)、
A(2,0,3)、4(0,2,3)、0(2,0])、E(0,0,2)、
(I)依題意,QA?=(1,1,0),4。=(2,-2,-2),
從而£"4。=2-2+0=0,所以GM,耳。;
(II)依題意,6=(2,0,0)是平面瓦法的一個法向量,
£旦=(0,2,1),ED=(2,0,T).
設〃=(x,y,z)為平面DBtE的法向量,
n.EB.=0f2y+z=0
則,即cc,
n-ED=0[2尤一z=0
不妨設x=l,可得〃=(1,-L,2).
?.CAn2y/6
cos<CA,n〉="j—i~~i~~r----尸=-----
CA-n2xV66'
/.sin<CA,n>=^/1-cos<CA,n>=---.
6
所以,二面角B-瓦石-。的正弦值為強;
6
(III)依題意,AB=(-2,2,0),
由(II)知〃=(1,-1,2)為平面。與E的一個法向量,于是
AB-n-4V3
cos<AB,n>=
阿小2夜x#—T,
所以‘直線AB與平面所成角的正弦值為當.
【點睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直,求二面角和線面角的正弦值,考查推理能
力與計算能力,屬于中檔題.
18.(l)y2=4.r;
⑵存在點。(2,0),定值:.
【分析】(1)根據給定條件,利用圓的性質建立等量關系,列出方程化簡即得.
(2)假定存在符合要求的點。并設出直線/'的方程,與曲線C的方程聯立,利用韋達定理
結合已知化簡計算即得.
【詳解】(1)設尸(元,y),依題意,|R4|=|PG|,而1PAl2=(x-2)2+y2,當P點不在y軸上時,
即xw0,
由動圓P在y軸上截得的弦GH的長為4,得|PG『=f+(g|If=爐+4,
因止匕(x-2)2+y2=f+4,整理得V=4x,
當尸點在y軸上時,顯然P點與原點。點重合,而尸(0,0)也滿足y2=4尤,
所以曲線C的方程為y2=4x.
(2)假設存在。(。,0)滿足題意,
設5(占,%),7(無2,%),顯然直線/'不垂直于y軸,設直線/'的方程為尤="+。,
尤="+。,,,。
由\消去x得尸-4"-4a=。,A=16r+16<7>0,+V=4r,yy=-4a,
y'2=4x2t2
貝!J%+/=/(%+y)+2a=4r+2a,x\x=-=a2
2216'
_
IQS|+1QT|~=(玉—a)~+y;+(N—+¥=石+無;+(4—2^)(xl+x2)+2cr
222
=(X[+x2)+(4-2a)(x1+x2')-2xtx2+2a=(x1+x2){xl+x2+4-Id)-2xxx2+2a
=8(2/+。)(產+1),而|QS『.|8|2=(/+])川產+])W=16叫產+I『,
]]=IQSF+IQTf=8(2產+。)(產+1)=2?+。
IQS|2\QT\2~\QS\2-\QT\l~16a"+iy一2a2(?+l)'
當a=2時,滿足A>0,且總產+焉嗔=;與,無關,為定值,
所以存在點。(2,0),使過點。的直線/'與曲線C的交點S,T滿足總產+Z)為定值;.
【點睛】方法點睛:①引出變量法,解題步驟為先選擇適當的量為變量,再把要證明為定值
的量用上述變量表示,最后把得到的式子化簡,得到定值;
②特例法,從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.
19.(1)證明見解析;
一%lnx“+(6+l)x“
(2)⑴g(x〃)=;(ii)證明見解析.
1+2%
【分析】(1)根據函數的單調性,結合零點存在性定理證明即可;
(2)(i)由導數的幾何意義得曲線/'(X)在(七,7(五))處的切線方程為
y=i-^-x+lnx-b-l,-x“lnx“+e+l)x“
n進而得g(%)=
x“1+2%
]+2x1
(ii)令/?(》)=-----^+lnx?-b-\,進而構造函數P(x)=/(x)_/i(尤)=Inx----x-lnx?+1,
/(%)
結
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