（沖刺高考）2024年云南省高考適應性訓練數學試題

一、單選題

NO.XCR},則(4A)C3-()

1.設集合A={x||4x-l|<9,xeR},B=

(-3,-2]o[0,|)

A.(-oo,-3)J[-,+<?)B.

C.(-00,-3]U[|,+oo)D.(-3,-2]

2.已知復數z滿足z（l+2i）=|l+2i|（其中i為虛數單位），則復數z的虛部為（）

A,還B.冥C.2752A

nD.--------1

55一_5"5

3.若tan]”：j-~~,貝1Jcos2a+2sin2a=()

6448c16

A.——B.—C.iD.——

252525

3

4.已知向量a,b，2滿足|〃|=|們=百，a-b='--,<a—c,b—c>=30°,則41的最

大值等（）.

A.2"B.3+25C.2A/3D.3+26

Sn2n

5.已知等差數列｛%｝,也｝的前〃項和分別為S,,,"，右7；―3〃+l，則"=（）

7小10D.2

A-HB.—C.

111314

6.某品牌可降解塑料袋經自然降解后殘留量y與時間f（單位：年）之間的關系為

y=%.a.其中%為初始量，左為降解系數.已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量

的75%.若該品牌塑料袋需要經過n年,使其殘留量為初始量的10%,則〃的值約為（）

（參考數據:1g2?0.301,1g3?0.477）

A.20B.16C.12D.7

7.已知在正方體中，AB=4,點、P,Q,T分別在棱和AB

上，且用尸=3,C,2=l,BT=3,記平面尸QT與側面ADR4,底面ABC。的交線分

別為優，“，則（）

A.機的長度為述B."2的長度為述

33

C.”的長度為2叵D.〃的長度為巫

33

8.已知Af（a,3）是拋物線C：f=2py（p>0）上一點，且位于第一象限，點M到拋物

線C的焦點廠的距離為4,過點P（4,2）向拋物線c作兩條切線，切點分別為A,B,則

AP-BF=（）

A.-1B.1C.16D.-12

二、多選題

9.下列不等式正確的是（）

A.e71>7ieB.-ln0.9<—

9

C.5sin—<1D.sin—<—

5371

10.如圖所示，正方體ABCD-的棱長為1,瓦尸分別是棱A4',CC的中點，過

直線班的平面分別與棱交于點以下四個命題中正確的是（）

A.四邊形項ffW一定為菱形

B.四棱錐A-MEVF體積為（

C.平面平面DBBD

D.四邊形㈤"W的周長最小值為4

11.函數/（x）=AsinWx+。）（其中A>0,a>>0,|^|<^）的部分圖象如圖所示，則

（）

A.f（O）=-l

B.函數的最小正周期是2兀

C.函數“X）的圖象關于直線X對稱

D.將函數〃尤）的圖象向左平移方個單位長度以后，所得的函數圖象關于原點對稱

三、填空題

12.若向量。=（4,0）,b=（l網,則向量°在向量方上的投影向量坐標為.

13.如圖，在第一象限內，矩形ABC。的三個頂點A3,C分別在函數

y=log#x,y=x：y=[g]的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱

坐標是2,則。點的坐標是.

22

14.已知尸為橢圓C:宗+方=l（a>b>0）上一點，且分別為C的左、右焦點，且

PFJPK，若△尸片耳外接圓半徑與其內切圓半徑之比為I"，則C的離心率為.

四、解答題

15.己知函數/（x）=2（x-l）e”.

（1）若函數f（x）在區間3田）上單調遞增，求/3）的取值范圍；

（2）設函數g（x）="-x+p,若存在與e[l,e],使不等式g（x（））2/（無。尸/成立，求實

數〃的取值范圍.

16.人工智能正在改變我們的世界，由OpenAI開發的人工智能劃時代標志的ChatGPT

能更好地理解人類的意圖，并且可以更好地回答人類的問題，被人們稱為人類的第四次

工業革命.它滲透人類社會的方方面面，讓人類更高效地生活.現對130人的樣本使用

ChatGPT對服務業勞動力市場的潛在影響進行調查，其數據的統計結果如下表所示：

服務業就業人數的

ChatGPT應

合計

用的廣泛性

減少增加

廣泛應用601070

沒廣泛應用402060

合計10030130

(1)根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，是否有99%的把握認為ChatGPT應用的廣泛

性與服務業就業人數的增減有關？

(2)現從“服務業就業人數會減少”的100人中按分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5

人中隨機抽取3人，記抽取的3人中有X人認為人工智能會在服務業中廣泛應用，求X

的分布列和均值.

2

2_n(ad—be)

附:"(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)，其中〃=a+Z?+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.如圖,在三棱柱ABC-4與G中，，平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC,=3,

點D,E分別在棱A4和棱CC,±,且AT?=1CE=2,/為棱的中點.

(I)求證：CtMA.BtD;

(II)求二面角B-瓦的正弦值；

(III)求直線與平面。與E所成角的正弦值.

18.動圓尸過定點42,0),且在y軸上截得的弦G8的長為4.

(1)若動圓圓心P的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

(2)在曲線C的對稱軸上是否存在點Q,使過點0的直線廠與曲線C的交點S,T滿足

總『+總干為定值？若存在，求出點。的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

19.關于x的函數/（x）=lnx+2x-6S>2）,我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零

點近似值.現結合導函數，介紹另一種求零點近似值的方法一“牛頓切線法”.

⑴證明：/⑺有唯一零點。，且aw。/）；

（2）現在，我們任取西e（1,0開始，實施如下步驟：

在（不〃M））處作曲線〃尤）的切線，交x軸于點伍,0）；

在（孫/仁））處作曲線〃尤）的切線，交了軸于點值,0）；

在（五,八%））處作曲線/⑴的切線，交x軸于點（x?+1,0）；

可以得到一個數列{%},它的各項都是不同程度的零點近似值.

⑴設x“+i=g（x.）,求g（x“）的解析式（用X“表示X"+1）；

（ii）證明：當玉總有/<x“+i<a.

參考答案：

1.A

【分析】求出集合A8后可求@A)B.

【詳解】由題意得A=，X|-2<X<：1,2={尤[X<-3或_^0},

所以低A)3={x[x<-2或x&}，

所以。A)B=(—00,—3)U[―,+oo),

故選:A.

2.C

【分析】根據復數代數形式的除法運算法則化簡，再根據復數的定義判斷即可.

【詳解】因為z(l+2i)=|l+2i],所以2=嗯175(1-2i)_^5(l-2i)_V52A/5.

------------=---------=---------］

(l+2i)(l-2i)555

所以復數Z的虛部為-冬叵.

5

故選：C

3.A

【分析】由正切的兩角和公式，利用tank-9]=-1可得tana=1,進而根據弦化切即可

I4J74

求解.

［詳角星］VtanL-^

7

7171

tana——+tan—--+1

71714463

tana=tana——+—7

44717184

1-tanatan—il

44+7

八.cos2a+2sin2al+4tancr64

cos2a+2sm2a=-------------=--------=——

sina+cosatana+125

故選:A

4.D

【解析】若令。4=a，OB=b，OC=c,則已知可得C在以AB為弦的圓。的優弧上運動,

再結合圖形，可求出1cI的最大值.

■31

【詳解】OA=aOB=b,OC=c?由題意|=|b|=石，a-b=--,得cosNA。5=

ZAOB=120°fAB=3,?：<a-c,b-c>=30°,AZACB=30°,二.C在以A5為弦的圓。的

優弧上運動，N4PB=60。，r=3,OD=273,當C點在0。的延長線與圓。交點時，最

大為3+26.

故選：D

【點睛】此題考查向量的數量積和模的有關運算，利用了數形結合的思想求解，屬于中檔題.

5.A

S2n

【分析】根據端一結合等差數列的前〃項和公式，構造出符合題意的一組｛%｝與曲」

的通項公式，再進行計算即可.

【詳解】根據題意，數列｛凡｝、｛2｝都是等差數列，顯然兩個數列都不是常數列，

Sn_2n_2〃2

2

Tn3〃+13n+n

因為等差數列前“項和公式為s,=：/+(4-3”,?片0),

所以不妨令S“=2加<=3加+切口為常數，且人0),

所以“22時，a〃=S"-S,T=M4”-2),>=[-回-2)-

故選：A

6.B

Q1

【分析】由e2%==可得2左=ln3-21n2,再代入屋=；；；,求解即可.

410

【詳解】根據題意可得%?e〃=%q,

則e2%=2,2^=ln-=ln3-21n2,

44

則經過“年時，有%二成=%=，

即e^=」-,貝左=ln1-二—lnlO,

1010

nnk-IglO

所以-=—二---------

「八八22kIg3-21g20.477-2x0.301

則n=16.

故選：B.

7.A

【分析】做出截面，確定線段加，〃，由平行線分線段成比例，相似三角形的性質以及勾股

定理即可得解.

【詳解】如圖所示，

連接。尸并延長交CB的延長線于￡,連接ET并延長交AD于點S,

交的延長線于點連接"Q,交DD］于點、R,連接液,

則加即為SR,〃即為ST,

由Pb〃QC,得黑二^?二!，所以班=2,EC=6,

QCLLD+4j

AQAT117

由AS〃￡B,得絲二"=上，則AS=七防=4,

EBTB333

所以〃=S7=1心+松=巫,故C,D項錯誤;

3

/曰SDHS5

由SD//EC,得一=——=一

ECHE9

又易知SR//PQ,得票=黑，所以黑

QEHEQE9

所以SR=(QE=/2C2+￡C2=孚,故A項正確，B項錯,

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于利用平面的性質作出截面，從而得到加為SR,〃為

ST,由此得解.

8.B

【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設AG，%）,*%,%）,然后求出后,際

并化簡，然后求出直線的方程并代入拋物線方程，最后結合根與系數的關系求得答案.

【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點M到拋物線準線的距離為4,則

3+汽=4np=2,即拋物線C:/=4y,則/（0,1）.

設人（工,%），3（孫%），則源'.晶=應.詼=（-1>（四,必—1）

一（必+%）+1=中2+（；1）一；（d+X2）+.（k2『1,\23.

=%％+多％1=----~\Xl+X2）+5XM2+L

io4

2i11

xr

由>=—=>y=—xj貝llMIP=5玉，％5P=3*2，所以

j:=］（%—玉）=玉%—2y+2%=0^>x1x-2y-2y1=0,

lBP:=，（%_%）=%2%-2,+2y之一考=0=>x2x-2y-2y2=0,

玉,4—2,2—2%-04x-2y,-4=0

因為點P（4,2）在這兩條直線上，所以4〉2；：-4=。,于是點小

Xy,4—2,2—2%—0

2

都在直線4x_2y_4=0上，gp/AS:y=2x-2,代入拋物線方程并化簡得：x-8%+8=0,

由根與系數的關系可知玉+*2=占馬=8.

->->R213

于是4歹-8尸=----X82+-X8+1=1.

1642

故選：B.

【點睛】本題運算較為復雜，注意要先求出后.赤，再判斷題目到底需要什么，另外本題

求解直線AB的方法需要熟練掌握.

9.ABC

【分析】利用函數〃X)==士的單調性可判斷A選項；利用函數g(x)=x-ln(x+l)的單調

性可判斷B選項；利用函數/?(x)=x-sinx在(0,1)上的單調性可判斷C選項；利用函數

p(x)=sinx-x+高在(0』)上的單調性可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，令/(》)=?,貝|]廣(司=匕強，

當X>e時，r(x)<0,則函數在(e,+動上單調遞減，

因為兀>e,則/㈤<〃e),即叱〈小，即eln兀<7dne,即InTfvIne11,

7ie

所以，7ie<ex,A對；

1r

對于B選項，令g(x)=x—ln(x+l),則g〈x)=l----

人"II4―I-I

當x>0時，g'(x)=Uj>0,即函數g(x)在(0,+8)上為增函數，

所以，g["]=：-ln￡>g(0)=0,即g>lng=-ln0.9,B對；

對于C選項，令/z(x)=x—sinx,其中。vxvl,

貝!J"(%)=1—cos%>0對任意的x￡(0,1)恒成立，

所以，函數可可在(0,1)上為增函數，因為則彳￡|=t-sin：>〃(0)=0,

所以，5sin1<l,C對；

92

對于D選項，令p(x)=sinx-x+R,其中Ovxvl,貝!J"(x)=cos%-l+耳，

令4(x)=COSX-1+萬，

由C選項可知，0(x)=x-sin尤=/i(x)>/z(O)=。對任意的工￡(0,1)恒成立，

所以，函數夕⑺在(0」)上單調遞增,則p'(x)=q(x)>q(O)=O,

則函數p(x)在(0,1)上單調遞增，

因為工w(0』)，貝U-|=sin---+^—=sin-->0,即sin->^-,

3VJl3j3316231623162

DE上5315371-16253x3.14-162166.42-162八口口.1531

又因為------=-------->------------=----------->0,即sin—>——>-,D

1627i162K162兀162K3162兀

故選：ABC.

【點睛】思路點睛：解答比較函數值大小問題，常見的思路有兩個:

（1）判斷各個數值所在的區間；

（2）利用函數的單調性直接解答.

數值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應用.

10.ACD

【分析】由正方體截面性質有㈤網為平行四邊形，若G,H為DD：BB'中點,易得EHFG為

正方形，進而得到初1=血「即可判斷A；由到面AEb的距離之和為底面對角線且

匕一“的=%一.+%一4防求體積判斷B；利用線面垂直、面面垂直的判定判斷C；根據正方

體的結構特征判斷M,N在運動過程中，周長最短時位置判斷D.

【詳解】由題意，正方體截面的性質易知EM//N￡EN//Mb,即MV為平行四邊形，

取G,H為。中點，因為瓦F分別是棱A<CC的中點，則E*G為正方形，

所以EH==ZFHM=90。,則=故￡MRV為菱形，A對；

由M,N到面AEF的距離之和為底面對角線為72，

又匕-MHVF=%一.+%-但=jx&，S4防=9四、<><9應=:為定值，B錯；

33226

由菱形性質知MN_L￡F,由正方體性質知DD'l.面EHFG,EFu面EHFG,則DU±EF,

又MNDD'=N,MN,DD'u面DBB'D,故跖1面D3377,

而斯<=面口"W，所以平面EMFNJ"平面DB3D,C對；

M,N在運動過程中，僅當它們為對應線段中點時，菱形各邊最短且為1,

此時EA〃W為正方形，周長為4,D對.

D'

故選：ACD

11.AC

【分析】利用圖象求出函數/（尤）的解析式，代值計算可判斷A選項；利用正弦型函數的周

期性可判斷B選項；利用正弦型函數的對稱性可判斷C選項；利用三角函數圖象變換可判

斷D選項.

【詳解】由圖可知，4=/(x)max/(x)min=2—(-2)=2,

22

函數f(x)的最小正周期T滿足號=普-(-卻=手，則7=兀，。="=生=2,B錯;

412oy417i

所以，/(x)=2sin(2x+^),

、［兀//兀ULr、［5兀7C7CE/兀兀—r/日兀

因為一大工夕工大，所以，一-G則0一；=_大，可得夕=一：

226736326

所以，/(x)=2sinl2x-^l貝|/(O)=2sii

inT,A對;

2。sin。2x-兀--兀--=2sin|=2=/(x)max,

I36

所以，函數/(力的圖象關于直線尤=三對稱，C對;

將函數f(x)的圖象向左平移2個單位長度以后,

6

得到函數y=2sin2x+e巳=2sin2x+,的圖象，所得函數為非奇非偶函數，D錯.

故選：AC.

12.(L@

【分析】利用向量的數量積運算與投影向量的定義求解即可.

【詳解】因為a=(4,0),6=(1,6),

所以。2=4+0=4,慟=^/171=2,

a-bb4brFT\

所以向量a在向量6上的投影向量的坐標為可刑=5、5=67=(1，。3).

故答案為：(1,港).

【分析】根據指對塞函數的圖象及解析式求出A點的橫坐標、C點縱坐標，即可得。點的

坐標.

【詳解】由題意，A3縱坐標都為2,則5點橫坐標為8,即。點橫坐標為8,

所以A點的橫坐標為牛=；,C點縱坐標為(3)8=-1,

由ABC。為矩形及題圖知：。點的坐標是（；人）.

381

故答案為：（］［）

3ol

14.-

7

【分析】由橢圓性質及定義有l￡gl=2c,|P￡|+|PFJ=2a,結合直角三角形內切圓、外接

圓相關性質求對應半徑，進而得到橢圓參數的齊次方程，即可得求離心率.

【詳解】由題意，在Rt△尸耳耳中I片&l=2c,|Pf；|+|"|=2a，4PK=90。，

所以其外接圓半徑R=號』=c,內切圓的半徑為IP-I+IP,IT式囚=。一0,

故答案為：y

15.（l）［-2,+oo）；（2）［-e,+?）.

【詳解】試題分析：

⑴由函數的解析式可得“X）在（0，-）上單調遞增，則的取值范圍是［-2,+8）；

⑵原問題等價于存在使不等式。“23）e%成立.構造新函數

可力=（2彳-3修，結合函數力（力的性質可得實數P的取值范圍為［-e,+8）.

試題解析：

（1）由廣（尤）=2旄*>0得了>0,

/（x）在（0,+?）上單調遞增,：.a>0,:.f（a）>f（0）=-2,

???”“）的取值范圍是［-2,+s）.

（2）存在使不等式g（%）N2（%-l）成立,

存在為使不等式°2（25-3）源成立.

令/z（x）=（2x-3）e",從而尤

h^x）=［lx-\）ex,

x>l,..2x—l>l,ex>0,/./zr(x)>0,

.?./z(x)=(2x-l)e*在［l,e］上單調遞增,

:邛”.

，實數p的取值范圍為［w+co).

16.⑴沒有

,,Q

(2)分布列見解析，j

【分析】(1)根據題意求小,并與臨界值對比判斷；

(2)根據分層抽樣求各層人數，結合超幾何分布求分布列和期望.

【詳解】(1)零假設為"。：ChatGPT對服務業就業人數的增減無關.

*日昨本山粕母俎2130x(60x20-40x10)2

小艮據表中數據得力=--------------------?6.603<6.635=x

70x60x100x3000l

所以根據小概率值c=0.01的獨立性檢驗,

沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為無關.

(2)由題意得，采用分層抽樣抽取出的5人中，

有《jx5=3人認為人工智能會在服務業中廣泛應用，

有4六0x5=2人認為人工智能不會在服務業中廣泛應用,

則X的可能取值為L2,3,

dor3rl

又「(X=l)=罟磊尸-2)=罟=(P(X=3)=]1

10

所以X的分布列為

17.(I)證明見解析；(II)畫；(III)且.

63

【分析】以C為原點，分別以C4,CB,CC；的方向為X軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角

坐標系.

（I）計算出向量和BQ的坐標，得出即可證明出

（II）可知平面88也的一個法向量為C4,計算出平面4瓦）的一個法向量為〃，利用空間

向量法計算出二面角B-瓦E-O的余弦值，利用同角三角函數的基本關系可求解結果；

（III）利用空間向量法可求得直線AB與平面DB、E所成角的正弦值.

【詳解】依題意，以c為原點，分別以CA、CB、eq的方向為x軸、y軸、z軸的正方向

建立空間直角坐標系（如圖），

可得C（0,0,0）、4（2,0,0）、*0,2,0）、G（0,0,3）、

A（2,0,3）、4（0,2,3）、0（2,0]）、E（0,0,2）、

（I）依題意,QA?=（1,1,0）,4。=（2,-2,-2）,

從而￡"4。=2-2+0=0,所以GM，耳。；

（II）依題意，6=（2,0,0）是平面瓦法的一個法向量，

￡旦=（0,2,1）,ED=（2,0,T）.

設〃=（x,y,z）為平面DBtE的法向量，

n.EB.=0f2y+z=0

則,即cc，

n-ED=0[2尤一z=0

不妨設x=l,可得〃=(1,-L,2).

?.CAn2y/6

cos<CA,n〉="j—i~~i~~r----尸=-----

CA-n2xV66'

/.sin<CA,n>=^/1-cos<CA,n>=---.

6

所以，二面角B-瓦石-。的正弦值為強;

6

(III)依題意，AB=(-2,2,0),

由（II）知〃=（1,-1,2）為平面。與E的一個法向量，于是

AB-n-4V3

cos<AB,n>=

阿小2夜x#—T,

所以‘直線AB與平面所成角的正弦值為當.

【點睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

18.(l)y2=4.r；

⑵存在點。(2,0),定值:.

【分析】（1）根據給定條件，利用圓的性質建立等量關系，列出方程化簡即得.

（2）假定存在符合要求的點。并設出直線/'的方程，與曲線C的方程聯立，利用韋達定理

結合已知化簡計算即得.

【詳解】（1）設尸（元,y）,依題意，|R4|=|PG|,而1PAl2=（x-2）2+y2,當P點不在y軸上時，

即xw0,

由動圓P在y軸上截得的弦GH的長為4,得|PG『=f+（g|If=爐+4,

因止匕（x-2）2+y2=f+4,整理得V=4x,

當尸點在y軸上時，顯然P點與原點。點重合，而尸（0,0）也滿足y2=4尤，

所以曲線C的方程為y2=4x.

（2）假設存在。（。,0）滿足題意,

設5（占,%）,7（無2，%），顯然直線/'不垂直于y軸，設直線/'的方程為尤="+。,

尤="+。,,,。

由\消去x得尸-4"-4a=。，A=16r+16<7>0,+V=4r,yy=-4a,

y'2=4x2t2

貝!J%+/=/(%+y)+2a=4r+2a,x\x=-=a2

2216'

_

IQS|+1QT|~=(玉—a)~+y；+(N—+￥=石+無；+(4—2^)(xl+x2)+2cr

222

=(X[+x2)+(4-2a)(x1+x2')-2xtx2+2a=(x1+x2){xl+x2+4-Id)-2xxx2+2a

=8(2/+。)(產+1),而|QS『.|8|2=(/+])川產+])W=16叫產+I『,

]]=IQSF+IQTf=8(2產+。)(產+1)=2?+。

IQS|2\QT\2~\QS\2-\QT\l~16a"+iy一2a2(?+l)'

當a=2時，滿足A>0,且總產+焉嗔=；與，無關，為定值，

所以存在點。（2,0）,使過點。的直線/'與曲線C的交點S,T滿足總產+Z）為定值;.

【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值

的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；

②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

19.（1）證明見解析;

一%lnx“+(6+l)x“

(2)⑴g(x〃)=；（ii）證明見解析.

1+2%

【分析】（1）根據函數的單調性，結合零點存在性定理證明即可；

（2）（i）由導數的幾何意義得曲線/'（X）在（七,7（五））處的切線方程為

y=i-^-x+lnx-b-l,-x“lnx“+e+l)x“

n進而得g（%）=

x“1+2%

]+2x1

(ii)令/?(》)=-----^+lnx?-b-\,進而構造函數P(x)=/(x)_/i(尤)=Inx----x-lnx?+1,

/（%）

結