第5講導數中函數的構造問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 9【考點一】導數型構造函數 9【考點二】構造函數比較大小 18【專題精練】 25考情分析：導數中的函數構造問題是高考考查的一個熱點內容，經常以客觀題出現，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．二、解答題3．（2022·全國·高考真題）已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．4．（2021·全國·高考真題）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．參考答案：題號12答案CA1．C【分析】構造函數，導數判斷其單調性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構造法設，因為，當時，，當時，所以函數在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數單調遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調遞增，可得，即，所以在上單調遞增，可得，即，所以故2．A【分析】由結合三角函數的性質可得;構造函數,利用導數可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構造函數因為當故，故，所以；設，，所以在單調遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構造函數因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優解．3．(1)f(x)的減區間為，增區間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區間為，增區間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續不間斷函數，故存在，使得，總有，故在為增函數，故，故在為增函數，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數，所以.當時，有，

所以在上為減函數，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數參數的不等式的恒成立問題，應該利用導數討論函數的單調性，注意結合端點處導數的符號合理分類討論，導數背景下數列不等式的證明，應根據已有的函數不等式合理構建數列不等式.4．（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數為0即可求解出參數；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉化為要證，即證在和上恒成立，結合導數和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉化為有分母的函數由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區間內為增函數，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^間內為減函數，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優解】：轉化為無分母函數由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數不等式中的常見結論證明令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（?。┊敃r，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質分類轉化分式不等式：當時，轉化為證明，當時，轉化為證明，然后構造函數，利用導數研究單調性，進而證得；方法二利用不等式的性質分類討論分別轉化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構造，利用導數研究單調性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優解；方法三先構造函數，利用導數分析單調性，證得常見常用結論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質證得要證得不等式，有一定的巧合性.考點突破考點突破【考點一】導數型構造函數一、單選題1．（2023·河北唐山·一模）已知函數,則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知定義在上的函數的導數為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知O為坐標原點，曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（

）A． B．C．的最大值為0 D．當時，4．（2023·湖北·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·山東威?！ひ荒＃┤舨坏仁綄θ我獬闪?則實數a的取值范圍為.6．（2022高三·全國·專題練習）已知函數，若對任意正數，當時，都有成立，則實數m的取值范圍是．四、解答題7．（23-24高二上·江蘇鎮江·階段練習）已知函數．若函數有兩個不相等的零點．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．8．（2023·湖北武漢·二模）已知函數，其中．(1)證明：恒有唯一零點；(2)記（1）中的零點為，當時，證明：圖像上存在關于點對稱的兩點．參考答案：題號1234答案BAABBC1．B【分析】化簡，得到，令，令，求得，得到在上單調遞增，且函數為偶函數，進而得到上單調遞減，把不等式轉化為，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上單調遞增，又由，所以函數為偶函數，則在上單調遞減，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集為.故選：B.2．A【分析】構建，根據題意分析可知在上單調遞減，結合函數單調性解不等式.【詳解】構建，則，因為，則，即，可知在上單調遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．【點睛】關鍵點點睛：根據構建，進而利用導數判斷函數單調性，結合單調性解不等式.3．AB【分析】先利用導數幾何意義求出切線方程，利用切線斜率和截距相等建立方程，然后利用指對互化判斷A、B，由數量積坐標運算化簡，判斷函數值符號即可判斷C，構造函數，利用導數法研究函數的單調性，判斷D【詳解】因為，所以，又，所以，切線：，即，因為，所以，又，所以，切線：，即，由題意切線重合，所以，所以，即，A正確；當時，兩切線不重合，不合題意，所以，，，所以，，B正確；，當時，，，則，當時，，，則，，所以，C錯誤；設，則，所以函數在上單調遞增，所以，所以，所以，∴，記，則，所以函數在上單調遞增，則，所以，D錯誤.故選：AB【點睛】關鍵點點睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數，再進行代換，在代換過程中要盡量去消去指數或對數，朝目標化簡.4．BC【分析】通過多次構造函數，結合函數的性質、選項及進行求解.【詳解】設，，當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以的最大值為，即.因為，所以.設，，所以當時，為減函數；因為，，所以.由可得，所以，故B正確.設，，當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以的最大值為，所以，即..設，易知為增函數，由可得，故C正確.因為為單調遞減函數，在上是增函數，在上是減函數，且的圖象經過圖象的最高點，所以當時，的大小無法得出，故A不正確.令，則，得，易知在為增函數，所以，所以不成立，故D不正確.故選：BC.【點睛】方法點睛：利用導數比較大小的常用方法：（1）作差比較法：作差，構造函數，結合函數最值進行比較；（2）作商比較法：作商，構造函數，結合函數最值進行比較；（3）數形結合法：構造函數，結合函數圖象，進行比較；（4）放縮法：結合常見不等式進行放縮比較大小，比如，等.5．【分析】將不等式變形為的形式,構造,求導判斷單調性后可知,只需即可,即成立,只需,構造新函數,求導求單調性,求出最值解出a的取值范圍即可.【詳解】解:因為對任意成立,不等式可變形為:,即,即對任意成立,記,所以,所以在上單調遞增,則可寫為:,根據單調性可知,只需對任意成立即可,即成立,記,即只需,因為,故在上,,單調遞增,在上,,單調遞減,所以,所以只需即可,解得:.故答案為:【點睛】思路點睛:本題考查不等式恒成立問題，屬于難題，關于恒成立問題的思路如下:(1)若，恒成立，則只需;(2)若，恒成立，則只需;(3)若，恒成立，則只需;(4)若，恒成立，則只需;(5)若，恒成立，則只需;(6)若，恒成立，則只需;(7)若，恒成立，則只需;(8)若，恒成立，則只需.6．【分析】令，進而原題等價于在單調遞增，從而轉化為，在上恒成立，參變分離即可求出結果.【詳解】由得，令，∴∴在單調遞增，又∵∴，在上恒成立，即令，則∴在單調遞減，又因為，∴．故答案為：.【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．7．(1)；(2)證明見詳解.【分析】（1）利用導數研究函數的單調性及最值，結合零點存在性定理計算即可；（2）構造函數，利用導數研究其單調性與最值即可證明.【詳解】（1）由題意可知：，若，則恒成立，即單調遞增，不存在兩個不等零點，故，顯然當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以若要符合題意，需，此時有，且，令，而，即在上遞減，故，所以，又，故在區間和上函數存在各一個零點，符合題意，綜上；（2）結合（1），不妨令，構造函數，則，即單調遞減，所以，即，因為，所以，由（1）知在上單調遞增，所以由，故.8．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）令，對函數求導利用函數導數單調性進行證明即可；（2）將問題轉化，構造新函數，對函數求導，利用函數導數單調性進行證明即可.【詳解】（1），又，令，則，遞增，令，則，遞減，而時，gx<0，時gx有，，可得恒有唯一零點．（2）因為，故，要證圖像上存在關于點對稱的兩點，即證方程有解；，令，，令，則，令，當時，，則，遞增，當時，，則，遞減，故，因為，故，又時，，時，，故先負后正再負，則先減再增再減，又，且時，，時，，故先正后負再正再負，則hx先增再減再增再減，又時，，時，，而，故hx在區間存在兩個零點，則原題得證！【點睛】函數與導數綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現，難度相當大，主要考向有以下幾點：1、求函數的單調區間（含參數）或判斷函數（含參數）的單調性；2、求函數在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數；3、求函數的極值（最值）；4、求函數的零點（零點個數），或知道零點個數求參數的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數進行求導，結合函數導數與函數的單調性等性質解決，在證明不等式或求參數取值范圍時，通常會對函數進行參變分離，構造新函數，對新函數求導再結合導數與單調性等解決.規律方法：(1)出現nf(x)＋xf′(x)的形式，構造函數F(x)＝xnf(x)；(2)出現xf′(x)－nf(x)的形式，構造函數F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出現f′(x)＋nf(x)的形式，構造函數F(x)＝enxf(x)；(4)出現f′(x)－nf(x)的形式，構造函數F(x)＝eq\f(fx,enx).【考點二】構造函數比較大小一、單選題1．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關系為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東·二模）已知，，，則（參考數據：）（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·福建莆田·開學考試）已知為函數的導函數，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·重慶·一模）已知m，n關于x方程的兩個根，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·福建龍巖·模擬預測）設，則的大小關系為.（從小到大順序排）6．（2023·山西·模擬預測）已知定義在R上的可導函數的導函數為，滿足，且，，則不等式的解集是．四、解答題7．（2023高三·全國·專題練習）已知，函數有兩個零點，記為，．(1)證明：．(2)對于，若存在，使得，試比較與的大小．8．（2023高三·全國·專題練習）設函數的兩個零點是，求證：．參考答案：題號1234答案DBBDACD1．D【分析】根據式子結構，構造函數，利用導數判斷出的單調性，進而得到a，b，c的大小關系.【詳解】根據式子結構，構造函數，則，令，則，令，得，因此在單調遞增，在單調遞減，而，，，因為，所以，即.故選：D2．B【分析】由，考慮構造函數，利用導數研究函數的單調性，利用單調性比較大小即可.【詳解】因為，，考慮構造函數，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，因為，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于將被比較的數化為結構相似的形式，考慮構造函數利用函數的單調性比較大小.3．BD【分析】構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，結合單調性逐項判斷即可.【詳解】構造函數，其中，則，所以，函數在上為減函數，對于AB選項，，即，可得，A錯B對；對于CD選項，，即，D對，C無法判斷.故選：BD.4．ACD【分析】根據函數的圖象可得，結合條件可得，，利用對勾函數的性質可判斷A，構造函數，根據函數的單調性可判斷B，構造函數，利用導數研究函數的性質結合條件可判斷CD.【詳解】畫出函數與的大致圖象，由題可知，即，所以，又，所以，可得，，由對勾函數的性質可知，故A正確；設函數，因為函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，又，所以，，即，故B錯誤；設函數，則，由，可得單調遞增，由，可得單調遞減，因為，所以，即，所以，即，故C正確；又，，所以，即，所以，即，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據不等式的“形狀”變換函數“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.5．【分析】方法一：構造函數和，求導確定單調性，利用單調性即可比較大小.【詳解】[方法一]：【最優解】構造函數法記，則，當時，，故在上單調遞增，故，故，記，則，當時，，故在單調遞減，故，故，因此．故答案為：[方法二]：泰勒公式放縮，由函數切線放縮得，因此.故答案為：【整體點評】方法一：根據式子特征，構造相關函數，利用其單調性比較出大小關系，是該題的通性通法，也是最優解；方法二：利用泰勒公式以及切線不等式放縮，解法簡潔，但是內容超出教材，不是每一個同學可以掌握．6．【分析】利用構造法，構造函數，由其導數可得新函數的單調性，根據函數的對稱性，可得新函數的函數值，進而可得答案.【詳解】設，∴，∴在R上單調遞減．∵，∴的圖象關于直線對稱，∴，∴．∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是．故答案為：.7．(1)證明見解析(2)【分析】（1）問題化為方程有兩個根，構造研究單調性，結合得到，即可證結論；（2）由已知，結合作差，再構造研究其函數值符號比較大小，根據單調性即可證結論.【詳解】（1）函數有兩個零點，即方程有兩個根．令，則，故上，上，∴在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得最大值，∴，即，且，又，且，，結合函數的單調性得，∴．（2）由得：．而，∴．設，則．令，則，∴在上是增函數，因此，故．又，，即，∴，從而，即．又在上是增函數，∴，即．8．證明見解析【分析】先利用函數有兩個零點推得，再運用對數均值不等式將其轉化成，接著將代入導函數，換元后利用函數單調性即得.【詳解】先證對數均值不等式：，因要證，不妨設，則只需證：,.構造函數，則．因為時，，所以函數在上單調遞增，故，從而,得證,即有：，.下證不等式.由題意得，（且）兩式相減得，，則（*），則，且由對數均值不等式可得：，故由（*）可得：．由求導得：，于是，設，則，，因在上遞減，故有：，即：.規律方法：構造函數比較大小的常見類型(1)構造相同的函數，利用單調性，比較函數值的大??；(2)構造不同的函數，通過比較兩個函數的函數值進行比較大?。畬ｎ}精練專題精練一、單選題1．（2022·廣東汕頭·一模）已知，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西萍鄉·二模）已知，則這三個數的大小關系為（

）A． B．C． D．3．（22-23高三上·福建廈門·期末）已知定義在上的可導函數f（x）的導函數為f（x），滿足且為偶函數.為奇函數，若，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．5．（2023·遼寧·模擬預測）已知函數f（x）為定義在R上的偶函數，當時，，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．（22-23高三下·江西南昌·階段練習）已知定義在上的函數滿足，為的導函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．（22-23高二上·重慶沙坪壩·期末）已知是函數的導函數，，且對于任意的有．則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．8．（2023·遼寧·模擬預測）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，若對任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）已知函數，若，則下列選項正確的是（

）A．B．C．當時，D．若方程有一個根，則10．（22-23高二下·重慶沙坪壩·開學考試）若函數的定義域為，其導函數為，滿足恒成立，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．11．（22-23高二下·江蘇南京·階段練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值可以是（

）A．1 B．e C．e2 D．3e三、填空題12．（23-24高三上·上海浦東新·期中）定義在上的函數滿足，其中為的導函數，若，則的解集為.13．（2022高三·全國·專題練習）如果，那么的取值范圍是．14．（23-24高三上·河南焦作·開學考試）已知定義在R上的函數及其導函數滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是．四、解答題15．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數，.(1)若對于任意，都有，求實數的取值范圍；(2)若函數有兩個零點，求證：.16．（2023高三·全國·專題練習）已知函數．(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)當時，，不等式是否恒成立？并說明理由．參考答案：題號12345678910答案CCACACABBCAC題號11答案AB1．C【分析】由于，所以構造函數，然后利用導數判斷函數的單調性，再利用單調性比較大小即可【詳解】，，，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，，因為，所以，所以故選：C2．C【分析】令，利用導數可知在上單調遞增，在上單調遞減，結合，可得答案.【詳解】令，令得，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，且，則，即.故選：C.3．A【分析】先證明出為周期為8的周期函數，把轉化為.記，利用導數判斷出在上單調遞減，把原不等式轉化為，即可求解.【詳解】因為為偶函數，為奇函數，所以，.所以，，所以.令，則.令上式中取，則，所以.令取，則，所以.所以為周期為8的周期函數.因為為奇函數，所以，令，得：，所以，所以，即為，所以.記，所以.因為，所以，所以在上單調遞減.不等式可化為，即為.所以.故選：.4．C【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數判斷單調性即可得解.【詳解】令函數，求導得，因此函數在上單調遞增，則，，所以.故選：C5．A【分析】根據題意構造函數，通過導數研究函數的單調性和奇偶性，將不等式等價轉化為，分情況討論并求解即可.【詳解】因為，所以，構造函數，當時，，所以函數在區間內單調遞增，且，又是定義在R上的偶函數，所以是定義在R上的偶函數，所以在區間內單調遞減，且．不等式整理可得：，即，當時，，則，解得；當時，，則，解得，又，所以．綜上，不等式的解集為．故選：A．6．C【分析】由題意設，結合題意可得，即函數是定義在上的奇函數，又當，時，，則，可得在，上單調遞增，在，上單調遞增，利用單調性，即可得出答案．【詳解】令，則，即，故函數是定義在上的奇函數，當,時，，則，故在,上單調遞增，在,上單調遞增，所以在上單調遞增，又，則，則不等式，即，故，解得．故選：C．7．A【分析】設，，根據已知條件，利用導數得到為增函數，由可推出A正確；由可推出B不正確；由可推出C不正確；由可推出D不正確.【詳解】因為對于任意的有．又，，所以，設，，則，因為當時，，所以，所以在上為增函數，因為，所以，所以，所以，所以，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以，故B不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故C不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故D不正確；故選：A8．B【分析】構造，確定函數在上單調遞增，計算，，轉化得到，根據單調性得到答案.【詳解】設，則恒成立，故函數在上單調遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.9．BC【分析】構造函數，利用導數判斷函數的單調性，可判斷A選項；由函數的單調性可判斷B選項；利用函數在區間上的單調性可判斷C選項；取特例可判斷D選項.【詳解】對于A選項，構造函數，定義域為，，當時，；當時，．所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為當時，，即，A選項錯誤；對于B選項，，由于函數在上單調遞增，當時，，即，所以，B選項正確；對于C選項，函數，定義域為，令，則；令，可得所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.當時，，則，即，C選項正確；對于D選項，當時，若方程也只有一個根，D選項錯誤.故選：BC10．AC【分析】構造函數，利用導數研究的單調性，由此求得正確答案.【詳解】構造函數，，所以在上單調遞增，，所