第一章整式的乘除

1.1同底數哥的乘法

教學目標：1.能夠在實際情境中，抽象概括出所要研究的數學問題，增強學生的數感符號感。

2.在已有的對落的知識的了解基礎之上，通過與同伴合作，經歷探索同底數靠乘法運算性質

過程，進一步體會募的意義，發展合作交流能力、推理能力和有條理的表達能力。

3.了解同底數鬲乘法的運算性質，并能解決一些實際問題，感受數學與現實生活的密切聯系,

增強學生的數學應用意識，訓練他們養成學會分析問題、解決問題的良好習慣,

教學重點：同底數鬲乘法的運算性質，并能解決一些實際問題。

教學過程：

一、復習回顧

活動內容：復習七年級上冊數學課本中介紹的有關乘方運算知識：

=axax.......xa

t'~K~'

幕

二、情境引入

活動內容：以課本上有趣的天文知識為引例，讓學生從中抽象出簡單的數學模型，實際在列式計算時

遇到了同底數鬲相乘的形式，給出問題，啟發學生進行獨立思考，也可采用小組合作交流的形式，結合學

生現有的有關哥的意義的知識，進行推導嘗試，力爭獨立得出結論。

三、講授新課

1.利用乘方的意義，提問學生，引出法則：計算103x1()2

解：103x1()2=(10x10x10)x(10x10)(鬲的意義)

=10x10x10x10x10(乘法的結合律)

=105.

2.引導學生建立哥的運算法則：

將上題中的底數改為a,則有a3.a2=(aaa).(aa)

=aaaaa

=a5,即(//二=a3+2

用字母m,n表示正整數，則有am?a^aa???a?aa??-a

m個aL個a

=aaa

(m+n)個a

即a"1”二a"n.

3.引導學生剖析法則

(1)等號左邊是什么運算？(2)等號兩邊的底數有什么關系？

(3)等號兩邊的指數有什么關系？(4)公式中的底數a可以表示什么

(5)當三個以上同底數塞相乘時，上述法則是否成立？

要求學生敘述這個法則，并強調哥的底數必須相同，相乘時指數才能相加.

三、應用提高

活動內容：1?完成課本"想一想"：等于什么？

2.通過一組判斷，區分"同底數鬲的乘法”與“合并同類項”的不同之處。

3.獨立處理例2,從實際情境中學會處理問題的方法。

乙.處理隨堂練習(可采用小組評分競爭的方式，如時間緊，放于課下完成)。

四、拓展延伸

活動內容：計算：(1)/@6(2)(-x).(-x)3(3)ym-ym+1(4)(-7)8x73

(5)(-6)7X63(6)(-5)5X53X(-5)4.(7)(a-b^(a-b)

(8)(b—a)2-(a-b)⑼xS-(10)-b'b，

(11)-a-(一a)3(12)(-a)(-a)(~a)

五、課堂小結

活動內容：師生互相交流總結本節課上應該掌握的同底數離的乘法的特征，教師對課堂上學生掌握不

夠牢固的知識進行強調與補充，學生也可談一談個人的學習感受。

六、布置作業

1.請你根據本節課學習，把感受最深、收獲最大的方面寫成體會，用于小組交流。

2.完成課本習題I4中所有習題。

1.2毒的乘方與積的乘方(一)

教學目標：1.經歷探索鬲的乘方運算性質的過程，進一步體會靠的意義。了解嘉的乘方的運算性質，并

能解決實際問題。

2.在探索塞的乘方的運算性質的過程中，發展推理能力和有條理的表達能力。學習靠的乘方

的運算性質，提高解決問題的能力。

3.在發展推理能力和有條理的表達能力的同時，體會學習數學的興趣，培養學習數學的信心,

感愛數學的內在美。

教學重點：會進行鬲的乘方的運算。

教學難點：塞的乘方法則的總結及運用。

教學方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。

教學過程：

一、復習回顧

活動內容：復習已學過的事的意義及鬲運算的運算法則

(-)哥的意義

(-)。*。"=優"+".(m、n為正整數)

同底數鬲相乘，底數不變，指數相加。

二、情境引入

活動內容：根據已經學習過的知識，帶領學生回憶并探討以下實際問題

1,乙正方體的棱長是2cm,則乙正方體的體積”=_cm3。

甲正方體的棱長是乙正方體的5倍，則甲正方體的體積V甲=_cm3。

2.乙球的半徑為3cm,則乙球的體積V乙=cm3

甲球的半徑是乙球的10倍，則甲球的體積V甲=cm3.

如果甲球的半徑是乙球的〃倍，那么甲球體積是乙球體積的倍。

地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和IO?倍，它們

的體積分別約是地球的倍和倍.

三、探究新知

活動內容：1.通過問題情境繼續研究：為什么(IO?J=1()6?讓學生清楚運算之間的關系題目所描

述的是10的2次塞的三次方，其底數是零的形式，然后根據基的意義展開運算，去探究運算的過程。

2.計算下列各式，并說明理由.

(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)*)2；(4)(am)n.

仿照前面，來研究以上四個題目的運算情況，實際上做到(3)題時可以猜想(4)題的結果，也為后

面鬲的乘方的法則推導帶來指導性。完成本節課的主要教學任務。

通過上面的探索活動,發現了什么？

哥的乘方，底數,指數O

四、落實基礎

活動內容：一、完成教科書例題1

【例1］計算：

23(2)(b5)5⑶(a/

(1)(10)

/八/2、m232634

(4)-(x)(5)(yV-y(6)2(a)-(a)

二、隨堂練習

1.計算：

3325342Z

⑴(10)⑵G),(3)(xTx

23222423

(4)l(-x)ZV(5)(-a)(a)(6)x-x-x-x.

2.判斷下面計算是否正確？如果有錯誤請改正：

五、聯系拓廣

活動內容：把所學知識面拓廣，事的運算都在指數上做文章，這節課的拓廣題，也是以指數變化為主。

(1)a12=(a3)(>=(a2)<>=a3a<>=()3=()4

2m3n

(2)3.9=3()(3)y=3,y9n=r

2m+l32

(4)(a)=L(5)[(a-b)]=(b-a)()

mm9

⑹若4.8.16=2'則m=L

abc

(7)如果2=3,2=6,2=12,那么a、b、c的關系是L

六、課堂小結

活動內容：師生互相交流本堂課上應該掌握的鬲的乘方的特征，教師對課堂上發現的學生掌握不好的

地方給以強調。特別要注意已經學習過的兩種鬲的運算——同底數哥的乘法與鬲的乘方，它們之間的整合

也是這堂課要掌握的。

七、布置作業：完成課本習題1.5

1.4哥的乘方與積的乘方(二)

教學目標：1.經歷探索積的乘方的運算的性質的過程，進一步體會鬲的意義，發展推理

能力和有條理的表達能力。

2.了解積的乘方的運算性質，并能解決一些實際問題。

教學重點：會進行積的乘方的運算。

教學難點：正確區別塞的乘方與積的乘方的異同。

教學方法：探索、猜想、實踐法。

教學過程：

一、復習回顧：

活動內容：復習前幾節課學習的有關鬲的三個知識點：

1.哥的意義

2.同底數鬲的乘法運算法則。'叫(m、n為正整數)

3.幕的乘方運算法則(，小〃都是正整數)

二、探索交流

活動內容：本環節是這節課最為重要的環節之一，教師應該注意在授課中學會調動學生的學習興趣，

比如在課上可以對學生進行升級式提問：

⑴根據哥的意義，(ab/表示什么？

⑵為了計算(化簡)算式ababab,可以應用乘法的交換律和結合律。又可以把它寫成什么形式？

⑶由特殊的(a?=a3b3出發，你能想到一般的公式嗎？

比環節的三個連貫性問題用到了剛剛復習到的事的意義及根據其建立的數學模型。

三、知識擴充

活動內容：1.借助剛剛探討的結果，完成課本19頁“做一做”的三個問題。

(3x5)7=3，)x5()

(3x5)m=3()x5()

-n()

(ab)=ab

2.學會復述積的乘方的運算法則：(ab)n=anbn

積的乘方等于把各個因式分別乘方，再把所得的累相乘。

3.公式拓展：三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質？怎樣用公式表示？

4.進一步探討出答案(abc)n=an.bkn

四、鞏固新知

活動內容：?.課本21頁數學理解判斷題：

下面的計算是否正確？如有錯誤請改正.

(1)(加)4=加；⑵(-3P4)2=-6p2g2

2.課本［例2］計算:

(D(3x)2；⑵(-2/；⑶(一2口/；(4)(3，)J

3.［例3］地球可以近似地看做是球體，如果用Mr分別代表球的體積和半徑，那么

v=^7rr\地球的半徑約為6x103千米，它的體積大約是多少立方千米？

4.課本隨堂練習1

五、公式逆用

活動內容：1,逆用的一組相關習題

⑴23x53；⑵28X58

(3)(-5)16x(-2)15;(4)24x44x(-0.125)4

2.混合運算習題：⑴a3?a4?a-(a2)4+(-2a4)2(2)2(?)2??-(3?)3+(5x)2?7

⑶0.25100x4130(4)812X0.12513

六、提高練習：

1、計算：2、已知2'"=3,2"=4求23M“的值。

2

3、已知x〃=5/=3求-2y產的值。

4、已知。=2",b=3",c=533,試比較a、b、c的大小。

七、課堂小結：

活動內容：師生互相交流本堂課上應該掌握的積的乘方的特征，教師對課堂上發現的學生掌握不好的

地方給以強調。特別要注意已經學習過的四種騫的運算之間的整合也是這堂課要掌握的。

八、布置作業：完成課本習題1.6

1.5同底數哥的除法

教學目標：1.了解同底數鬲除法的運算性質，并解決一些實際問題。

2.理解零指數塞和負指數等的意義。

3.在進一步體會鬲的意義狗過程中，發展學生的推理能力和有條理的表達能力；提高學生

觀察、歸納、類比、概括等能力。

4.在解決問題的過程中了解數學的價值，發展“用數學”的信心，提高數學素養。

教學重點：會進行同底數募的除法運算。

教學難點：同底數鬲的除法法則的總結及運用。

教學方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。

教學過程：

一、情境引入

活動內容：一種液體每升含有10吃個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗,

發現1滴殺蟲劑可以殺死I。'個此種細菌，要將1力液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多

少滴？你是怎樣計算的？

二、了解同底數募除法的運算及應用

活動內容：活動1先讓學生作“做一做”：

計算下列各式，并說明理由(心n)

(1)1084-105;(2)10"'+10";(3)(-3)M,+(-3)”；

從中歸納出同底數募除法的運算性質。

從上面的練習中你發現了什么規律？_______________________________________

猜一猜：0"?優=(。工0,機,〃都是正整數，JBzw>n)o

三、同底數帚除法運算的應用

活動內容：例1計算：

(D?7+/；(2X-X)6+(T)3；(3)(肛)44-(xy)；

[4)b~”|+2+;(5)(m—〃)'+(〃—加產；(6)(—〃7)“+(—〃?)~.

例2：地震的強度通常用里克特震級表示，描繪地震級數的數字表示地震的強度是10的若干次毒。例

如用里克特震級表示地震是8級，說明地震的強度是10,1992年4月荷蘭發生了5級地震，12天后，加

利福尼亞發生了7級地震。加利福尼亞地震強度是荷蘭地震強度的多少倍？

(學生先想一想，再進行小組討論，互相補充完善，并派代表回答)

四、探索零指數帚和負整數指數募的意義

活動內容：想一想：

10000=104,16=24

1000=10(),8=2()

100=10(),4=2()

10=10(),2=2()

猜一猜：

1=1001=2()

0.1=10()-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

例3計算：用小數或分數分別表示下列各數：

(1)10-3⑵7°X8~2；(3)1.6X10-4

五、練習與提高

活動內容：(-)基礎題

】?卜列計算中錯誤的有()

(1)"。+/=/(2)4)+〃=/(3)(_〃)5+(_4)3=_〃2(4)3。=3

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.計算(/丫+(—/丫的結果正確的是()

A.-a2B.a2C.-aD.a

3.用科學記數法表示下列各數：

(1)0.000876(2)-0.0000001

(-)能力題

4.計算：⑴(x-2y)44-(2y-x)2^(x-2y)(2)[(x+y\x-y)]9(y-x)84-(-x-y)9

5.計算27'、9m+3=6.若3、==尻求的32r的值

六、課堂小結

活動內容：師生互相交流本節課的內容以及應用和需要注意的問題C

七、布置作業課本P24習題1.7矢］識技能第1,2題

1.6整式的乘法(一)

教學目標：1.經歷探索單項式乘法法則的過程，在具體情境中了解單項式乘法的意義，理解單項式

乘法法則。

2.會利用法則進行單項式的乘法運算。

3.理解單項式乘法運算的算理，發展學生有條理的思考能力和語言表達能力。

4.體驗探求數學問題的過程，體驗轉化的思想方法，獲得成功的體驗。

教學重點：單項式乘法法則及其應用。

教學難點：理解運算法則及其探索過程。

教學過程：

一、復習回顧

活動內容：教師提出問題，引導學生復習靠的運算性質

問題1：前面學習了哪三種帚的運算?運算方法分別是什么？

讓學生分別用語言和字母表示塞的三種運算性質。

問題2：運用塞的運算性質計算下列各題：

(1)(-a5)5'(2)(-a2b)3'

(3)(-2a)2(-3a2)3(4)(-y")2ynI

二、實例引入

活動內容：提出學生身邊的一個實例，引出問題：

七年級三班舉辦新年才藝展示，小明的作品是用同樣大小的紙精心制作的兩幅剪貼畫，如右圖所示，

第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有米的空白，你能表示出

O

兩幅畫的面積嗎？

教師提出以下問題，引導學生對兩個代數式進行分析：

問題1：以上求矩形的面積時，會遇到X?〃吠，(〃田)?(：幻，這是什么運算呢？

學生回答：因為因式都是單項式，所以它們相乘是單項式乘以單項式的運算。

問題2：什么是單項式？(表示數與字母的積的代數式叫做單項式)

引入新課：我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節課起我們就來研究整式的乘法，先學習單項

式乘以單項式。

三、探索法則

活動內容：繼續引導學生分析實例中出現的算式，教師提出以下三個問題：

3

問題1：對于實際問題的結果x?〃《：,(〃吠)?(二〃優)可以表達得更簡單些嗎？說說你的理由？

4

問題2：類似地，3a2b.2ab3和(xyz)/%可以表達的更簡單些嗎？

3a2b-2ab3=(3x2)(a2a)(bo3)=6a3b4;

問題3：如何進行單項式與單項式相乘的運算？

單項式乘法的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的事分別相乘，其

余字母連同它的指數不變，作為積的因式。

問題4：在你探索單項式乘法運算法則的過程中，運用了哪些運算律和運算法則？

學生回答：運用了乘法的交換律、結合律和同底數鬲乘法的運算性質。

四、及時訓練

活動內容：教師通過例題，使學生明確利用單項式乘法法則進行計算的方法。雖然是例題,但是教師

先不講解，讓學生嘗試獨立完成，教師根據學生遇到的問題和出現的錯誤，有針對性地進行講解和板書示

范。同時教學中應通過恰當的方式讓學生明確每一部運算的依據。

例1計算：

⑴(2孫2).(；孫)(2X-2dV)-(-3?)

(3)(4X10)5X(5X104)(4)(一3//).

231

隨堂練習：

1.計算：(1)(5X3).(2X2J)⑵(一3")?(-4/)(3)(2/y)34孫?)

2.一種電子計算機每秒可做4x109次運算，它工作5x102秒，可做多少次運算？

3.一個長方體形儲貨倉長4x103cm,寬3x103cm,高5x102cm,求這個貨倉的體積。

五、拓展延伸

活動內容：給出兩個問題，讓學生先獨立思考解決，再交流討論。

1.學以致用：一家住房的結構如圖示，房子的主人打算把臥室以外的部分全都鋪上地磚，至少需要

多少平方米的地轉？如果某種地磚的價格是a元/平方米，那么購買所需地磚至少需要多少元？

2.討論、探究:若得叫＞吟.(421.6)=北3,求利+〃的值。

六、隨堂測評

活動內容：讓學生獨立完成以下各題

(3)計算：

①3--5x3②(一5〃2〃).(_2々2)③(3xl()2).(_2xIO')

⑥（一孫）

④(一5，-切,(一2〃.)⑤(2x)3?(一2/丁)?z32

2.計算：(1)(一4)?戶(-2>)3+(2到)2.(一或3'

(2)—2(—a2bc)2■—a(bc)3—(—abc)3?(—abc)2

2

七、課堂小結：利用乘法交換律和結合律及同底數鬲的乘法探索出單項式乘以單項式的運算法則。

八、課后作業：習題L8

1.6整式的乘法(二)

教學目標：1.在具體情境中了解單項式與多項式乘法的意義。

2.經歷探索單項式與多項式乘法運算法則的過程，理解單項式乘以多項式的運算法則。

3.會利用法則進行單項式與多項式的乘法運算，理解單項式與多項式相乘的算理，體會乘

法分配律及轉化的數學思想。

4.發展學生有條理思考的能力和語言表達能力。

5.在探索單項式與多項式乘法運算法則的過程中，獲得成就感，激發學習數學的興趣，

教學重點：單項式與多項式相乘的運算法則及應用。

教學難點：靈活應用單項式與多項式乘法的法則。

教學過程：

一、提出問題，引入新課

活動內容：教師依次提出以下幾個問題：

(1)我們本單元學習整式的乘法，整式包括什么？

(2)什么是多項式？怎么理解多項式的項數和次數？

(3)整式乘法除了我們上節課學習的單項式乘以單項式外，還應包含哪些內容？

由此引入今天將學習單項式與多項式相乘。

二、借助情境，探究規律：

活動內容：給學生提供如下問題情景，并通過問題，引導

學生積極探索，發現單項式與多項式相乘的運算規律：

實際問題：如圖所示，公園中有一塊長nix米、寬y米的空地,

要在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路，其余部分種植花草，求種植花苴

部分的面積.讓學生獨立思考完成。

2.提出|可題:

(1)你是怎樣列式表示種植花草部分的面積的?是否有不同的表示方法？其中包含了

什么運算?與同伴交流.

一方面可以先表示出種植花草部分的長與寬，由此得到)，(g-力)米2

另一方面可以用總面積減去兩條小路的面積，得到：>?("!￥)—》?。一y?力米2

引導學生發現兩種不同的運算一方面是包含單項式與單項式乘法、再把所得的積相加，另一方面是單

項式與多項式相乘，二者最終是統一的，從而發現單項式乘以多項式的方法。

(2)由上面的探索，我們得到了義，楙-。-6);y?皿—>2,你能用所學過的知識來說明

上面的等式成立的原因嗎？

(3)你能用上面的方法計算2a僅+3)嗎？請說明每一步的依據°

(4)通過以上過程，你發現如何進行單項式與多項式相乘的運算？請你試著用語言來

描述C

單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加。

三、變式訓練，鞏固新知

活動內容：通過一組例題和練習，讓學生在應用法則解決問題的過程中，獲得解題體驗，學會方法,

進一步明確算理。

21

例1計算：⑴2ab(5a2b+3ab2)(2)(—ab2-2ab)'—ab

32

(3)(一2々)(2。2-3。+1)(4)(-12x/-10x2y+21/X-6A73)

例2計算:(-2a2)-(ab+b2)-5a\a2b-ab2)

總結：單項式與多項式相乘的步驟：

①按乘法分配律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數和的形式；

②轉化為單項式的乘法運算；

③把所得的積相加.

解題時需要注意的問題：

①單項式乘多項式的積仍是多項式，其項數與原多項式的項數相同。

②單項式分別與多項式的每一項相乘時,要注意積的各項符號的確定，多項式中的每一項前面的符號

是性質符號，同號相乘得正，異號相乘程負，最后寫成省略加號的代數和的形式。

③單項式要乘以多項式的每一項，不要出現漏乘現象。

④混合運算中，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。

隨堂練習：1.判斷正誤：(1)m(a?b?c?d)=ma?b?c?d()

(2)-a(a2+a+2)=-a3+-a2+1()

222

(3)(~2x)?(ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x()

⑵-2/(：%+〃)

2.計算：⑴-6x(x-3)，);

-2/Z/c?(-a3bc——ac2+1)

⑶2xy2*(-x2+2y2+1)⑷52

(5)3xy[2xy-x(y-2)+x](6)an+\an^-an~xar-3)

3.先化簡,再求值：2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3.

四、延伸拓展，解決問題：

活動內容：學生探究完成以下幾個拓展題:

1.若-(一%”勺+3孫3)=2/》2一6一＞",求九〃的值

2.求證對于任意自然數n,代數式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。

五、課堂小結：師生以談話交流的形式共同總結本節課所學知識：

1單項式乘以多項式的乘法法則及注意事項；

2.轉化的數學思想。

六、課后作業：習題1.9。

1.6整式的乘法(三)

教學目標門.經歷探索多項式與多項式乘法法則的過程，在具體情境中了解多項式乘法的意義，理解多

項式乘法法則。

2.會利用法則進行簡單的多項式乘法運算。

3.理解多項式與多項式相乘運算的算理，發展學生有條理的思考能力和語言表達能力。

4.體驗探求數學問題的過程，體驗乘法分配律的作用及“整體”、“轉化”的數學思想方法

在解決問題過程中的應用，獲得成功的體驗。

教學重點：多項式乘法法則及其應用。

教學難點：理解運算法則及其探索過程。

教學過程：

一、情境引入

活動內容：教師利用課前準備好的教具,讓學生進行拼圖游戲，通過對所拼圖形面積的比較，引出多

項式與多項式相乘的運算

拼圖游戲：以下不同形狀的長方形卡片各有若干張，請你選取其中的兩張，用它們拼成更大的長方形,

盡可能采用多種拼法。□q

b

小組合作完成，教師要進行

指導，小組成員分工合作，要求盡可能多地拼出不同大小的長方形，并畫出圖形記錄不同的拼圖方案。教

師注意收集整理學生所畫圖形，并選取以下四種典型圖形加以研究，進一步提出探究問題：

問題1:分別列

代數式表示所拼出

矩形的面積,你能發

現什么？說出包含tnb

什么運算？

學生活動獨立列式

圖2圖3圖4

圖(1)所示的矩形

面積為m(a+n)=ma+mn,所含有運算為單項式乘以多項式運算；

圖(2)所示的矩形面積為b(a+n)=ba+bn,所含運算為單項式乘以多項式運算；

圖(3)所示的矩形面積為n(m+b);mn+bn,所含運算為單項式乘以多項式運算。

圖(4)所示的矩形面積為a(m+b)=am+ab,所含運算為單項式乘以多項式運算。

列代數式表示四個圖形的面積時，既可以用大長方形的長乘以寬，也可以轉化為每一個小長方形面積

之和，因此得到以上四個等式，其中都包含單項式乘以多項式的運算，拼圖游戲

正是對單項式與多項式相乘的一個幾何解釋。

問題2：將圖1,2,3,4四個圖形進一步拼擺，會得到更大的長方形，做一

做，也許你會有新的發現。

學生拼出如圖所示大正方形后，發現其長為(m+b),寬為(a+n),要計算其面

積就是(m+b)(a+n),其中包含的運算為多項式與多項式相乘運算，從而引入新課。tnb

圖5

二、互動探究

活動內容：1.引導學生再次從代數運算的角度來研究所拼圖形，學生會發現圖5的面積既等于圖1、

圖2面積之和,也等于圖3、圖4面積之和,最終都可以轉化為四個小長方形面積之和。由此得到：(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)=ma+mn+ba+bn,引導學生利用乘法分配律進行解釋，現將其中的一個多項式看作一個

整體，再運用單項式與多項式相乘的方法進行計算c具體過程如下：

(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)(把a+n看作一個整體)

=ma+mn+ba+bn(轉化為單二頁式乘以單項式)

2.教師啟發學生用數學式子或用自己的語言歸納、描述多項式乘以多項式的運算法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把

所得的積相加。

3.在進行多項式乘法運算的過程中運用了哪些數學思想方法？與同伴交流。

教師幫助學生反思探究過程，體會出在以上過程中較好地運用了整體、轉化和數形結合的數學思想。

三、例題解析

活動內容：通過一組例題，讓學生先獨立思考嘗試完成，在應用法則解決問題的過程中，獲得解題體

驗，發現問題，學會方法，教師針對學生遇到的困難進行有針對性地講解，進一步明確算理。

例1計算：⑴(1一幻(0.6-%),(2)(2x+y)(x—y)

(3Xx-2y)2(4)(-2x+5)2

例2計算：(l)a+2)(y+3)—(x+l)(y—2)

(2).2(.+1)2-2(〃一1)(。+2)

師生點評：(1)用一個多項式的每一項依次去乘另一個多項式的每一項，不要漏乘，在沒有合并同類項之

前，兩個多項式相乘展開后的項數應是原來兩個多項式項數之積。

(2)多項式里的每一項都包含前面的符號，兩項相乘時先判斷積的符號，再寫成代數和形式。

(3)展開后若有同類項要合并，化成最簡形式。

四、及時鞏固

活動內容：隨堂練習：

1.計算：

①(相+2〃)(“一2〃)，②(2〃+5)(〃-3),③(x+2y)2,

⑤(x+a)(x+?,⑥(ar+力)3+")。

2.計算:-3xy(x2-2x-1)+(2x-3j)(3x-4y)

五、拓展應用

活動內容：本節課是整式乘法單元的最后一節課，應該進一步加強對學生應用知識解決問題能力的訓

練，因此為學生提供一組拓展題，鼓勵學有余力的學生探究完成。

1.若(mr+y)(x-y)=2f+叼-V，求門n的值.

2.已知(/+如+〃)(工+1)的結果中不含一項和x項，求口n的值.

3.計算(a+b+c)(c+d+e),你有什么發現？

六、課堂小結：

本節課通過拼圖游戲，直觀地認識了多項式與多項式的乘法，又從代數運算的角度將多項式與多項式

相乘轉化為單項式與多項式相乘，歸納出了多項式相乘的法則，重點是明確算理，靈活應用法則計算。提

出兩個問題，幫助學生形成完整的知識結構，達到對本單元知識的總體認識：

(1)關于整式的乘法，我們共學習了哪幾種運算？

(2)在探究的過程中，用到了哪些數學思想方法？

七、課后作業：習題1.10,問題解決，聯系拓展。

1.7平方差公式(一)

教學目標：1.經歷探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號感和推理能力；

2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的計算；

3.了解平方差公式的幾何背景.

教學重點：1.弄清平方差公式的來源及其結構特點，能用自己的語言說明公式及其特點；

2.會用平方差公式進行運算.

教學難點：會用平方差公式進行運算

教學方法：探索討論、歸納總結。

教學過程：

一、發現特征、探索規律

活動內容我們已經學過了多項式的乘法，出示題目，看誰算得快：

(1)(x+2)(x-2)(2)(l+3a)(l-3a)(3)(x+5y)(x-5y)(4)(-m+n)(-m-n)

提出問題：你們能發現什么規律？

在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類

似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算。以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把

(a+b)(a-b)=a?-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。

在此基礎上，讓學生用語言敘述公式，總結公式結構特征：(1)公式左邊兩個二項式必須是相同兩數

的和與差相乘；且左邊兩括號內的第一項相等、第二項符號相反［互為相反數(式)］；(2)公式右邊是這兩個

數的平方差；即右邊是左邊括號內的第一項的平方減去第二項的平方。(3)公式中的。和力可以代表數,

也可以是代數式.

二、運用知識，解決問題

活動內容；(1)直接運用新知，解次第一層次問題。

例1計算：①(2x+3)(2x-3)②(2a+3b)(2a-3b)③(-l+2a)(-1-2a)

(2)間接運用新知，解決第二層次問題。

例2計算:①(-2x+3)(3+2x)②(3b+2a)(2a-3b)

例3計算：(-4a-l)(-4a+l)

例4計算：(l)(x+y-z)(x+y+z)；(2)(a-b+c)(a+b+c).

三、鞏固練習、體驗成功

活動內容：

1、下列各式中哪些可以運用平方差公式計算

⑴(a+bj^-c)⑵(x+)，X-y+x)

(3)(ab-3x)(-3x-ah)(4)(-wt-n^m+n)

2、判斷:

(1)(2a+b\2b-a)=4a2-b2()⑵

(3)(3x-y\-3x+y)=9x2-y2()(4)(-2x-y\-2x+y)

(5)(a+2\a-3)=a2-6()⑹(x+3Xy-3)二孫-9

3、計算下列各式：

(1)(4a-7b)^a+7b)(2)(-2m-n^2m-n)

(4)-(5+2或5-2工)

(6)匕2)&q(3.

4、填空：

(1)(2工+3”2工-3)，)=

(2)(4?-1)()=16?2-1

⑶([J""-3)=2〃62_9

(4)(2x+\-3y)=4x2-9y2

提高練習：

1、求(工+丫)(工一)0(/+丁)的值，其中x=5,y=2

2、計算：⑴(a-b^-c\a-b-c)

(2)x4-(2x2+1吐-])-(x-2Xx+2^x2+4)

3、若f一9=12,工+y=6,求x,y的值。

五、歸納總結，形成知識網絡

活動內容：

小結：1.敘述公式

2.公式中的字母可以代表什么？(數字、單項式、多項式)

只要習題符合平方差公式的結溝，都可應用其計算。

1.7平方差公式(二)

教學目標：1.在進一步體會平方差公式的意義時，發展學生的符號感、推理能力和有條理的表達能力。

2.通過拼圖游戲，了解平方差公式的幾何背景。

教學重點：公式的應用及推廣

教學方法：引導探索研究發現法、主動探索研究發現法

教學過程：

一、復習回顧

活動內容：1.提問平方差公式的內容

2.判斷正誤：

(1)(a+5)@5)=。2-5(2)(3x+2)(3x-2)=

(3)(a-2b)(-a-2b)=/-4b2(4)(100+2)(100-2)=1002-22=9996

(5)(2a+b)(2a-b)=4a2"

提問：⑴兩個二項式相乘，因式要具備什么特征時，積才會是二項式？

(當因式是兩個數的和與這兩個數的差相乘時，積是二項式。)

⑵為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？而它們的積又有什么特征？

(這是因為具備這樣特征的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結

果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于因式中這兩個數的平方差。)

二、拼圖游戲，驗證公式

活動內容：如左圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。

I.請表示圖中陰影(紫色)部分的面積。

2.小穎將陰影部分拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

圖1a2-b2圖2(a+b)(a-b)

3.比較L2的結果，你能驗證平方差公式嗎？

a2-b2=(a+b)(a-b)

4.(1)敘述平方差公式的數學表達式及文字表達式；

(2)試比較公式的兩種表達式在應用上的差異.

三、鞏固深化，拓展思維

活動內容：例1運用平方差公式計算

(1)(>+2)(>-2)(y2-4)(2)(x-l)(x3+」)(x+l)

242

例2運用平方差公式計算

(1)(200+1)(200-1)(2)102x98(3)203x197(4)20-X19-

77

四、感受問題，體驗成功

活動內容：

?計算.⑴。~—6)+。~力~(2)(2%-5)(2%+5)-2x(2x-3)

2.填空：(1)a2-4=(a+2)()(2)25-x2=(5-x)()(3)m2-n2=()()

思考題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數和與這兩數的差的積？

(某兩數平方差的二項式可逆用平方差公式寫成兩數和與這兩數的差的積)

3.判斷

(1)(a+b)(-a-b)=a2-b2

la+lblb.la

⑵計算：2332

4.觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-1

(x-\)(x2+x+\)=x3

(x-1)(/+X2+x+l)=x4

根據前面的規律可得：

d)(x“+…+x+l)=

五、課堂小結

六、布置作業：習題1.12

1.8完全平方公式(一)

教學目標：1.經歷探索完全平方公式的過程，并從完全平方公式的推導過程中，培養學生觀察、發現、

歸納、概括、猜想等探究創新能力，發展邏輯推理能力和有條理的表達能力。

2.體會公式的發現和推導過程，理解公式的本質，從不同的層次上理解完全平方公式，并

會運用公式進行簡單的計算。

3.了解完全平方公式的幾何背景，培養學生的數形結合意識。

4.在學習中使學生體會學習數學的樂趣，培養學習數學的信心，感愛數學的內在美。

教學重點：1?弄清完全平方公式的來源及其結構特點，用自己的語言說明公式及其特點；

2.會用完全平方公式進行運算。

教學難點：會用完全平方公式進行運算

教學方法：探索討論、歸納總結。

教學過程：

一、回顧與思考

活動內容：復習已學過的平方差公式

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2~b2;

公式的結構特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數和與這兩數差的積。

右邊是兩數的平方差。

2.應用平方差公式的注意事項：弄清在什么情況下才能使用平方差公式。

二、情境引入

活動內容：提出問題：

一塊邊長為a米的正方形實驗田，由于效益比較高，所以要擴大農田，將其邊長增加b米，形成四塊

實驗田，以種植不同的新品種(如圖)。

用不同的形式表示實驗田的總面積，并進行比較。

三、初識完全平方公式

活動內容：1.通過多項式的乘法法則來驗證(a+b)2=a2+2ab+b2的正確性。并利用兩數和的完全平方公

222

式推導出兩數差的完全平方公式:(a-b)=a-2ab+bo

2.引導學生利用幾何圖形來驗證兩數差的完全平方公式。

3.分析完全平方公式的結構特點，并用語言來描述完全平方公式。

結構特點：左邊是二項式(兩數和(差))的平方；

右邊是兩數的平方和加上(減去)這兩數乘積的兩倍。

語言描述：兩數和(或差)的平方，等于這兩數的平方和加上(或減去)這兩數積的兩倍。

四、再識完全平方公式

活動內容：例1用完全平方公式計算：

(1)(2x-3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2(4)(-l-2x)2(5)(~2x+l)2

2.總結口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。

五、鞏固練習：

】、下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算.

⑴(a+Z?Xa+c)⑵(1+或_'+工)

(3)(ab-3x)(-3x+ab)(4)(-m-n^m+n)

2、計算下列各式：

(1)(4a+7〃)(4a+7/?⑵(-2m一〃)(2m+n)

11,-(5+2x，5+2x)

⑶—a+—b⑷

3232

(6)(3*+2)(3+2)+(一3一或-*-3|

3、填空：

(1)(2x+3y)(2x+3y)=(2)(4?-1)()=16^2+8tz+l

⑶(--------183)力“2----------19

4、求(x+yXx+y)-(x-y)2的值，其中x=5,y=2

5、若(工一)，)2=12,&+〉)2=16,求不，的值。

六、課堂小結

活動內容：L完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同.

結果不同：完全平方公式的結果是三項，即