XXXXXX微積分學習體會XXXXXXXXXXXXX班目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"對微積分的認識 2\o"CurrentDocument"初識微積分 2\o"CurrentDocument"我眼中的微積分 3\o"CurrentDocument"微積分的發(fā)展 4\o"CurrentDocument"萌芽初顯 4\o"CurrentDocument"初步成型 4\o"CurrentDocument"理論一統(tǒng) 5\o"CurrentDocument"逐步完善 6\o"CurrentDocument"微積分在現(xiàn)實中的應用 6\o"CurrentDocument"為什么計算機要采用二進制 6\o"CurrentDocument"利用微積分做變力計算 810小結(jié)10對微積分的認識初識微積分對大多數(shù)人來說,微積分的認識學習都始于高二時期。老師以求函數(shù)圖像面積的方式告訴我們微積分的概念,意味著我們開始邁入這一神奇的領(lǐng)域。但實際上，早在更久之前，我們便已接觸過微積分的思想。在我們還在上初中或小學之時，老師就開始教導我們學習圓的有關(guān)知識，尤其是圓的面積的求法。很多人都只記得S二兀r2的公式，卻忘記了這一公式的根本來源。大多數(shù)老師在講解這一公式時，都采用如下兩種思路：.將一個圓平均分割成數(shù)個等大的扇形，然后將其以一定的規(guī)律拼成近似的長方形，其長邊邊長可視為圓的周長的1/2兀r，窄邊邊長為R，利用長方形的面積公式可得S=a*b=Kr2。.將一個圓平均分割成n個等大的扇形,將其面積s相加即可得到圓的面積。每個扇形可以近似為三角形來計算：s=1?2土-r=吧，則圓的面積2nnS=ns=Rr2。從中不難看出，對圓的面積的推導過程中也存在著一定的微積分思想，特別是第二種方法，和分割-取點求積-近似求和一取極限的微積分的過程基本一致。其實，人類最早對微積分思想的認知就來源于圓面積的計算。我們初識微積分其實也由此開始。我眼中的微積分在系統(tǒng)地學習一段時間微積分后，我對微積分也有了一定體會。在我看來，函數(shù)描繪的是一種規(guī)律性的變化，而微積分則是對這一變化的變化率和變化累加量進行的轉(zhuǎn)換和運算。微分是將函數(shù)代表的變化分割成微小的量，作為其微小變化量的線性主部，積分則是微分的逆運算，是對微小量的累加和。在微分和積分中，極限思想是都非常重要的。在取極限的情況下，一些有限的量往往對結(jié)果沒有意義，因此在極限思想下，我們可以用一元函數(shù)y=f(x)的微分dy來近似替代其函數(shù)變化量從而進行近似計算，也可以通過黎曼和作為函數(shù)在區(qū)間上的圖形面積計算.我們前四章的學習，正是沿著極限—微分—積分的路線逐步前進的。微積分的發(fā)展在系統(tǒng)地學習微積分之前，我一直只知道微積分是由牛頓和萊布尼茲發(fā)明的。在我的心目中，微積分只不過是這兩個人天才思想的表現(xiàn)。但在學習后我才發(fā)現(xiàn)，微積分實質(zhì)上來源已久，并非只是一兩個人的思想，而是幾個時代數(shù)學家的智慧結(jié)晶,既有先賢們的探索,也有近現(xiàn)代數(shù)學家的閃光.萌芽初顯微積分的思想萌芽,部分可以追溯到兩千多年前。在希臘、中國和印度數(shù)學家的著作中，已不乏用樸素的極限思想，即無窮小過程計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。比如，希臘數(shù)學家用方砌圓，莊子的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。魏晉時劉徽的“割圓術(shù)”和祖氏父子的割圓法則是將其應用于解決實際問題的典范。古希臘時期的安提芬提出了窮竭法，其由歐多克斯和阿基米德發(fā)展。芝諾的一系列關(guān)于分割的悖論一直困擾數(shù)學家們多年.此外，阿基米德、阿波羅尼奧斯以及中國部分數(shù)學家也曾嘗試求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。初步成型伴隨著社會發(fā)展，16世紀以后的數(shù)學家們需要解決更多的現(xiàn)實問題，自然科學開始迎來新的突破.這一時期，幾乎所有的科學大師都致力于解決速率、極值、切線、面積問題，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時間內(nèi)取得了極大的發(fā)展。開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動三大定律,并利用無窮小求和的思想，求得曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。意大利數(shù)學家卡瓦列利與同時期發(fā)現(xiàn)卡瓦列利原理（祖暅原理）,利用不可分量方法冪函數(shù)定積分公式，此外，卡瓦列利還證明了吉爾丁定理。同一時期笛卡爾的代數(shù)方法對于微積分的發(fā)展起了極大的推動.費馬在求曲線的切線及函數(shù)的極值方面貢獻巨大.他們?yōu)槲⒎e分的正式創(chuàng)立做出了不可磨滅的貢獻。理論一統(tǒng)1664年,牛頓開始研究微積分問題，并在1666年發(fā)表《流數(shù)簡論》,發(fā)明出正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分），并論述了微積分基本定理。此后多年，他一直還在致力于改進自己的理論.先后完成三篇微積分論文:《運用無窮多項方程的分析學》，《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，《曲線求積術(shù)》。與牛頓的切入點不同，萊布尼茲創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年,萊布尼茲整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，發(fā)表了第一篇微分學論文它包含了微分記號以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學等方面的廣泛應用。1686年，萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號，并給出了擺線方程.牛頓和萊布尼茲的發(fā)現(xiàn)將前人的成果有機地結(jié)合成一個整體，使微積分開始變得系統(tǒng)化然而，瑞士科學家丟德勒的一篇文章卻引起了”科學史上最不幸的一章“，微積分發(fā)明權(quán)之爭，他認為萊布尼茲的借鑒了牛頓,由此，支持牛頓和萊布尼茲的科學家們?yōu)榇藸巿?zhí)不休多年，停止了相互的意見交換，甚至在很長一段時間內(nèi)影響到了英國數(shù)學的發(fā)展。此后多年，學術(shù)界終于達成共識：微積分由兩人共同獨立發(fā)明。此時，兩人均已過世，其中萊布尼茲晚景頗為凄涼。逐步完善微積分學在牛頓與萊布尼茨的時代逐漸建立成型，但是任何新的數(shù)學理論的建立，在起初都是會引起一部分人的極力質(zhì)疑，微積分學同樣也是.由于早期微積分學的建立的不嚴謹性，許多不安分子就找漏洞攻擊微積分學，其中最著名的是英國主教貝克萊針對求導過程中的無窮小展開對微積分學的進攻.第二次數(shù)學危機便拉開了序幕。危機出現(xiàn)之后，許多數(shù)學家開始對微積分學的理論嚴謹性進行完善。捷克數(shù)學家布爾查諾對于函數(shù)性質(zhì)作了細致研究，首次給出了連續(xù)性和導數(shù)的恰當?shù)亩x，對序列和級數(shù)的收斂性提出了正確的概念；柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無窮小定義為趨近于0的變量,并定義了函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級數(shù)的收斂性;數(shù)學家魏爾斯特拉斯提出了病態(tài)函數(shù)（處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)）,后續(xù)又有人發(fā)現(xiàn)了處處不連續(xù)但處處可積的函數(shù)，使人們重新認識了連續(xù)與可微可積的關(guān)系，他提出了致密性定理，并引進了極限的￡-6定義。繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼與1854年和達布于1875年對有界函數(shù)建立了嚴密的積分理論，19世紀后半葉，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學分析終于建立在實數(shù)理論的嚴格基礎(chǔ)之上了.至此，微積分才算是成為了一門較為獨立、嚴謹?shù)目茖W。微積分在現(xiàn)實中的應用為什么計算機要采用二進制眾所周知，我們一般在生活中使用的是十進制，進位基數(shù)為十,用0到9十個基本數(shù)字來表示數(shù)據(jù)。但對于廣大的數(shù)字電子設(shè)備，尤其是計算機而言，其使用的卻是以二為基數(shù)的二進制。那么,為什么這些設(shè)備不使用成熟

通用的二進制，而去使用二進制呢？常見的一種解釋是：計算機使用二進制是因為電路的結(jié)構(gòu)決定了0和1容易用電路開關(guān)來實現(xiàn)，而且運算簡單,存儲方便.但如果從用不同數(shù)制表示數(shù)據(jù)能力的強弱來看，計算機使用二進制顯然還有其它原因。在這里，我們引入“設(shè)備狀態(tài)”這一概念,我們知道，為了表示0—99這一百個數(shù)字，需要兩位十進制數(shù)字，每位數(shù)字有10種狀態(tài)。這樣，表示0-99就需要2*10=20種設(shè)備狀態(tài)。一般來說，n位十進制數(shù)字，可表示0?18-1這10n個數(shù)，需要10n個設(shè)備狀態(tài)。類似地考慮二進制，當其擁有20種設(shè)備狀態(tài)時，共有20/2=10位，能夠表示0~21。-1這210=1024個數(shù)字，可見，在這一狀況下二進制比十進制能夠表示更多的數(shù)。將條件一般化，那么就成了以下兩個問題：（一）對確定的設(shè)備狀態(tài)N,用幾進制能夠表示最多的數(shù)字？（二）對于一個確定的數(shù)M,用幾進制能以最少的設(shè)備狀態(tài)表示它？問題（一）的解答如下：N已知設(shè)備狀態(tài)N,設(shè)使用x進制，則有“二三位，能夠表達的數(shù)字為x0~xn0~xn-1,則M=M(x)=xXxGG,+s)對等式兩端同時取自然對數(shù)得lnM=Nlnx對等式兩端同時求導M，_N(1-Inx)MT X2NNG-Inx)M，=xT X2令M，=0,得x=e,即M(x)在定義域上有唯一駐點x=e易知當x<e時，M，>0,M單調(diào)遞增當x>e時，M，<0，M單調(diào)遞減則M在x=e上取得最大值問題(二)的解答如下：lnM已知確定的數(shù)M，設(shè)使用x進制，則n=而XN=N(x)=nx=:1nM1nx對其求導得N，_1nM(1nx-1)1n2x令N，=0，得乂=6，即N(x)在定義域上有唯一駐點x=e易知當x>e時，N，>0，M單調(diào)遞增當x<e時，N，<0,M單調(diào)遞減則N在x=e上取得最小值

綜上可知，當X二e時表示數(shù)字的能力最佳，但X不能取一個非正整數(shù),因此對e兩側(cè)的2和3進行比較可知，M（3）＞M（2）,N（3）＜N（2）,也就是說，從數(shù)據(jù)表達角度，三進制最為優(yōu)秀。但限于底層電路原因，二進制在易實現(xiàn)程度上要遠高于三進制，因此最終三進制計算機沒能真正發(fā)展起來，而是二進制成為了時代的寵兒。利用微積分做變力計算對于大小和方向都在時刻變化的情況下，直接使用高中物理知識并不適用.在這種情況下，用微積分進行計算無疑更為好用。例子如下：質(zhì)量為m的小球最初位于半徑為R的光滑圓弧面的頂端A點，然后小球沿光滑圓弧面從靜止開始下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用力。解：受力如圖所示對小球做受力分析，并列方程得mgcosmgcosa=mdv"dTF一m?ina=mN對方程的變量進行變換dv、dvda dvvdvt. =? =一而2^a三瑜sindarda分離變量vdv=Rgcosada2RgsinaTOC\o"1-5"\h\z對其積分,F=mgsina+m 得N R/vdv=ERgDoada0 0v=j2Rgsina此時壓力=3mgsina小結(jié)在學習微積分之前,我總是簡單地將它當作一本數(shù)學教材，一種數(shù)學方法，或是一類數(shù)學難題.對于微積分，我總是對其懷著一種敬畏的心情。然而在逐漸接觸學習之后，我發(fā)現(xiàn)微積分遠遠不止如此，它更是一種數(shù)學的思想和整體觀念。放眼大學其它學科，凡是涉及到數(shù)學運算的內(nèi)容，幾乎無一避得開微積分，它也遠遠不只是停留在紙面上，