課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題函數的零點與方程的解教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：了解函數零點與方程解的關系，了解函數零點存在定理，會判斷函數零點個數.通過利用函數的性質來研究方程的解，來培養學生的數形結合思想，數學轉化思想.在利用函數的性質來研究方程的解的過程中，發展學生的直觀想象，數學運算等核心素養.教學重點：對函數零點概念的理解.教學難點：零點存在定理.教學過程時間教學環節主要師生活動引入方程的根與函數的零點提問：求方程的根，并畫出函數的圖象，并思考這二者之間什么關系？學生活動：二次函數與橫軸的交點橫坐標為方程的根；設計意圖：用函數的觀點看待方程,把方程的解理解為"使函數值為0的自變量",建立了二者之間的內在聯系.進一步引出函數零點的概念.零點定義與例題函數零點的概念：對于函數,我們把使的實數x叫做函數的零點.：求下列方程的解并進一步說明相應函數的零點（1）（2）（3）（4）解：（1）由于方程的判別式小于零，從而此方程沒有解，也說明函數沒有零點.（2）為求方程的根，可以通過適當地變形轉化為二次方程求根，可得方程的解為，從而也可以說明函數有零點，且零點為1.（3）和（4）沒有求根公式可以應用，引導學生思考如何借助函數來研究相應方程的解。設計意圖：通過上面具體的例子讓學生體會方程的解與函數的零點，前兩個例子可以通過代數運算求得方程的解，但對于較復雜的方程，我們又要怎樣研究它的解呢？三、零點存在定理提問：判斷函數有沒有零點.設計意圖：通過上面的例子，已經知道方程的解目前沒有好的辦法進行處理，對于比較復雜的方程，引導學生思考如何借助函數來研究它的解.這里主要應用兩個辦法，第一是借助函數圖象，進行直觀的觀察函數的零點；第二是借助函數的零點存在定理.為了得到零點存在定理，先讓學生完成下面的問題.請同學們再畫出一些有零點的函數圖象和一些沒有零點的函數圖象.并思考函數在什么條件下有零點，什么條件下無零點.學生活動：無零點：圖象在x軸上方或下方，函數值恒正或恒負.有零點穿過x軸.簡化為只研究圖象連續不間斷的情況進一步提問：如果函數在區間[a,b]上的圖像是連續不間斷的一條曲線，你認為函數在什么條件下有零點？學生活動：圖象在x軸上方、下方都存在，函數值有正或有負.設計意圖：引出零點存在定理零點存在定理：如果函數在區間[a,b]上的圖像是連續不間斷的一條曲線，并且有,那么，函數在區間（a,b）內有零點.例2：函數在以下那個區間一定存在零點？為什么？解：由于，且函數在定義域內連續，利用零點存在定理可得：函數在(1,e)內有零點.四、零點個數上面問題利用零點存在定理解決了函數零點存在的問題，當然也就解決了相應方程解的問題，那么要如何解決函數零點個數問題？對例2繼續追問：函數有幾個零點？為什么？學生活動：加入單調性的條件.至此，我們解決了函數零點的存在性與唯一性的問題.分析：判斷函數單調性，易見這個函數在其定義域內為遞增函數，從而此函數在定義域內有唯一零點.推論：如果函數在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，在區間[a,b]上具有單調性，且，那么函數在區間[a,b]上有唯一零點.提問：如何解決一般函數的零點個數問題.學生活動：討論得出結果.（分段單調）總結：以上過程對零點的定義，零點的存在性，零點的個數，尋找零點的位置作了系統的介紹.四、小結函數零點定