第9章機械優化設計9.1優化設計的發展和應用9.2優化設計的基本概念9.3機械優化設計方法9.4優化設計中相關問題的確定9.5最優化方法的選擇和評價9.6計算結果的分析與處理9.7最優化方法在機械設計中的應用

9.1優化設計的發展和應用

9.1.1優化設計概述

在人類活動中，要辦好一件事(指規劃、設計等)，都期望得到最滿意、最好的結果或效果。為了實現這種期望，必須有好的預測和決策方法。方法得當，事半功倍；反之，則事倍功半。優化方法就是各類決策方法中普遍采用的一種方法。

優化設計的一般過程可以用圖9-1來表示。圖9-1優化設計的一般過程9.1.2優化問題的分類

在工程優化原理和方法的應用領域中，優化主要包括優化設計、優化試驗和優化控制三個方面。9.1.3優化設計的發展

根據優化設計的特點和其應用的發展概況，優化設計可歸納為如下幾個方面來考慮：

1.優化設計方法的發展

2.建立數學模型

3.?CAD/CAM資源庫9.1.4優化技術在工程中的應用

工程技術的優化問題可分為靜態與動態兩類。

最優化技術在工程中的應用主要有四個方面：

(1)工程部件、單元設備或全系統的最優設計；

(2)現有操作的分析和計劃制定；

(3)工程分析和數據處理；

(4)研究過程動態特性和設計最優控制方案。

9.2優化設計的基本概念

9.2.1設計變量

1.設計變量的定義

為了進行產品設計，需要尋找并確定最佳的結構參數。這些參數中，有的可根據標準、規定等選定，在優化設計中可認為是設計常量，例如靜摩擦系數、系列化齒輪傳動的中心距等；有的必須通過設計確定，這些參數稱為設計變量，即通過設計確定的最佳結構參數，例如齒數、模數、齒寬等。設x1，x2，…，xn為最優化問題中的n個變量，我們可以用一個n維向量X表示，記為

2.設計變量的選定

任何一項產品，都是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，越能完整地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優化規模過大。9.2.2目標函數

為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數，它便是優化的目標，稱為目標函數，以F(?X?)表示。

9.2.3約束條件

任何設計都有各種各樣的限制條件，例如強度、剛度等。每個限制條件都可寫成包含設計變量的函數，稱為約束條件。

9.2.4全局最優解和局部最優解

不論是無約束或有約束的優化問題，由于目標函數和約束條件的函數形態不同，可能有多個局部極值點(即局部最優解)。而全局最優解是指這些局部最優解中目標函數值最好的一個解，往往只有一個。

9.3機械優化設計方法

按不同的方法來確定搜索方向和步長，就形成了不同的優化方法。機械優化設計中的問題大多是多維優化問題，但由于多維問題都可以化為一維問題處理，所以一維尋優方法是優化設計中最基本的方法。

1.?0.618法(黃金分割法)

它的基本思想是通過對黃金分割點函數值的計算和比較，將搜索區間逐次縮短，其縮短系數為λ?=?0.618，當區間縮短到預定精度范圍時，即可獲得近似最優解。

2.插值法

插值法是利用搜索區間內的若干個點的信息(包括函數值、導數值等)，構造一個低次插值多項式，近似地代替原目標函數，然后求此多項式的極小點，以它作為原目標函數的插值點，通過迭代計算逐步縮短搜索區間，使插值函數的極小點逐步逼近目標函數的極小點。

3.坐標輪換法

坐標輪換法是輪流沿坐標方向進行一維搜索，即先固定n-1維的坐標，沿未固定的坐標方向e1進行一維搜索，找到此方向上函數的極小點；然后以此點作為初始點沿另一坐標方向e2進行一維搜索，得到在此坐標方向的極小點；依次沿坐標方向e3，e4，…，en進行一維搜索，這樣就完成了第一輪搜索，求得第一輪的極小點。

4.梯度法

梯度方向是函數值增加最快的方向，負梯度方向是函數值下降最快的方向。利用這一特性，把負梯度方向作為搜索方向，這就是梯度法，也稱最速下降法。然而，梯度法的收斂速度并不快，這是因為梯度只反映函數的局部性質。

5.共軛方向法

共軛方向的概念在優化方法中起著重要的作用。一般二元二次函數的等值線是一個同心橢圓族，其中心就是函數的極小點X*。同心橢圓族的特性為過任意兩點沿S1方向作兩條平行線，它們與同心橢圓族中兩橢圓切點的連線必定通過橢圓族的中心，如圖9-2所示。切線方向S1與兩切點連線方向S2是共軛的矢量。

圖9-2同心橢圓族平行切線的特性

6.復合形法

復合形法是求解約束優化問題的一種重要直接方

法。它是指在n維設計空間的可行域內，先取P個點(n?+?1≤P≤2n)作為初始復合形的頂點，比較這些頂點

的目標函數值，去掉函數值最大的最壞點，而代之以壞

點的反射點(以復合形中壞點之外的各點的中心為映射中

心所得的映射點)形成新的復合形，按照這種步驟重復多次，使復合形逐步縮小并逼近最優點，達到精度要求時，取最后一個復合形中的最小點作為最優點。

7.罰函數法

罰函數法是一種將約束優化問題轉化為一個等價的無約束優化問題，并利用無約束優化方法求解的間接求優方法。其基本思想是：以原目標函數為基礎，將約束函數考慮進去，構成一個沒有約束條件的新目標函數，在此新目標函數中，給予一個或幾個可調整的稱為懲罰因子的參數，在求優過程中，不斷調整這些參數，使新的目標函數的最優解最后收斂于原目標函數的最優解。

8.遺傳算法

遺傳算法是模擬生物在自然環境中的遺傳和進化過程而形成的一種自適應全局優化概率搜索算法。它使用群體搜索技術，通過對當前群體施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，從而產生出新一代的群體，并按優勝劣汰的機制逐步使群體進化到包含或接近最優解的狀態。

9.人工神經網絡方法

人工神經網絡是由大量具有存儲能力的處理單元按一定方式連接而成的高度復雜的非線性動力學系統，是對人腦的微觀結構及其智能行為的簡化和模擬。它通過反復訓練和學習以及自身的適應能力來完成對信息的處理，具有很強的自適應性、自組織性、自學習能力和容錯性。

9.4優化設計中相關問題的確定

9.4.1設計變量的選取

設計變量是在設計過程中需要進行選擇且最終必須確定的各項獨立參數。雖然凡能影響設計質量或結果的可變參數均可作為設計變量，但設計變量太多會增加計算的難度和工作量，且會由于問題過分復雜而失去實際意義；設計變量太少則減小了設計自由度，難以甚至無法得到較佳的優化結果。9.4.2目標函數的建立

目標函數是以設計變量表示設計所要追求的某種性能指標的解析表達式，用來評價設計方案的優劣程度。9.4.3約束條件的確定

設計約束是考慮邊界和性能對設計變量取值的限制

條件。

9.5最優化方法的選擇和評價

1.最優化方法的選擇

機械優化設計中常用的一些優化方法前面已作介紹，各種方法都有其特點和一定的適用范圍。選擇優化方法應綜合考慮：

(1)設計變量是連續的還是離散的，以及維數的多少。維數較低可選用結構簡單易于編程的方法，維數高的則應選擇收斂速度較快的方法。

(2)目標函數是單目標還是多目標，目標函數的連續性及其一階、二階偏導數是否存在以及是否易于求得，對于求導困難或導數不存在的應避免求導而采用直接法。

(3)有無約束，約束條件是不等式約束還是等式約束，還是兩者同時兼有。如具有等式約束，顯然不能直接采用復合形法、內點罰函數法。

2.最優化方法的評價

評價優化程序的準則主要有：

(1)通用性，指在合理的精度要求下，在一定的計算時間內，能求解出各種不同類型的優化問題的成功率。

(2)有效性，指對同一問題在同一精度、同一初始條件下，求解優化問題所用計算時間的多少。

(3)簡便性，指人們所需要準備的工作量大小，包括學習使用程序，編制針對具體優化問題的輔助子程序，程序中所需調用參數的多少，調試操作復雜程度，輸入、輸出控制方式等。

9.6計算結果的分析與處理

由于機械設計問題的復雜性，以及建模中可能的失誤，因此對優化計算得到的結果要進行仔細的分析，有時還需要進行適當的處理，以保證設計的合理性。

9.7最優化方法在機械設計中的應用

在機構設計、機械零部件設計以至機械系統設計中，應用最優化技術已日益廣泛。

機構的優化設計是在解析法的基礎上確定機構的最佳參數和尺寸。它是機械優化設計中發展比較早的一個領域，如今已成為機構學重要的研究方向之一。機構的優化設計一般有兩類基本問題：

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