七年級上冊數學《第2章有理數及其運算》2.4有理數的乘方知識點一知識點一有理數的乘方的意義★有理數乘方的定義：求n個相同因數積的運算，叫做乘方．一般地，n個相同的數a相乘，簡記為，即.乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數，n叫做指數．an讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪．（將an看作是a的n次方的結果時）【注意】（1）一個數可以看作這個數本身的一次方，例如，5就是51，指數1通常省略不寫.（2）指數是2時讀作平方（或二次方），指數是3時讀作立方（或三次方）.（3）指數n是正整數，底數a可以是任意有理數.知識點二知識點二有理數的乘方的運算★1、乘方運算的符號法則：（1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（2）正數的任何正整數次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0.★2、有理數的乘方運算計算一個有理數的乘方時，應將乘方運算轉化為乘法運算，先確定冪的符號，再計算冪的絕對值.有相反意義的量就可以用負數表示．★3、底數為互為相反數的兩個數（≠0）的冪的關系：(1)互為相反數的兩個非零數的同偶次冪相等，即若a+b=0，則a2n=b2n(n為正整數，a≠0，b≠0).(2)互為相反數的兩個非零數的同奇次冪仍然互為相反數，即若a+b=0，則a2n?1+b2n?1=0(n為正整數，a≠0，b≠0)（注：若n為正整數，則通常用2n表示整數，2n﹣1表示奇數）知識點三知識點三科學記數法★1、科學記數法—表示較大的數（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】（2）規律方法總結：①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．（3）小于?10的數也可以用科學記數法表示，只是多了一個負號：記作?a×10n,其中?10＜?a≤?1.★2、科學記數法—原數（1）科學記數法a×10n表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所得到的數．（2）把一個數表示成科學記數法的形式及把科學記數法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學記數法表示一個數是否正確的方法．題型一有理數乘方的概念解題技巧提煉有理數乘方的定義：求n個相同因數積的運算，叫做乘方．乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數，n叫做指數．an讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）1．（2024?河南）計算（a?a???a︸a個A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a2．（2024?叢臺區校級四模）計算3+3+3+?+3︸A．3m+4? B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n43．（2024春?肇源縣校級月考）﹣43的意義是（）A．3個﹣4相乘 B．3個﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反數4．（2023秋?膠州市校級月考）比較﹣33與（﹣3）3，下列說法正確的是（）A．它們的底數相同，指數也相同 B．它們所表示的意義相同，但運算結果不相同 C．它們底數相同，但指數不相同 D．雖然他們底數不同，但是運算結果相同5．（2023秋?長清區期中）下列說法正確的是（）A．23表示2×3 B．﹣22與（﹣2）2互為相反數 C．（﹣2）2中﹣2是底數，2是冪 D．a3＝（﹣a）36．（2024春?南崗區校級月考）有理數（﹣1）2、﹣24、-(12)3、0、﹣|A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．設n是一個正整數，則10n是（）A．10個n相乘所得的積 B．一個（n﹣1）位整數 C．一個n位整數 D．一個1后面有n個0的數8．（2023?許昌一模）計算2×2×?×2︷A．2m3n B．2m3n C．2m9．（2022秋?懷仁市校級期末）設a是任意有理數，下列說法正確的是（）A．（a+1）2的值總是正的 B．a2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負的 D．a2+1的值中，最大值是1題型二有理數的乘方運算解題技巧提煉1、有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；2、乘方的符號法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0．1．（2024?天長市三模）﹣12024等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．20242．（2024?九龍坡區自主招生）計算：-(-3A．92 B．-92 C．943．（2024春?浦東新區校級期中）下列各數中，數值相等的是（）A．23和32 B．（﹣3）4和﹣34 C．（﹣4）3和﹣43 D．|﹣2|7和（﹣2）74．（2024?邯鄲三模）若34×34×34＝3m，43+43+43+43＝4n，則m﹣n的值為（）A．﹣5 B．0 C．3 D．85．（2024春?香坊區校級月考）下列計算正確的是（）A．(-23)2=43 B．33C．﹣22＝﹣2×（﹣2）＝4 D．﹣13＝﹣16．若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．（2024春?姜堰區期中）若(-4)a=-164，則8．（2024?岳陽樓區開學）（﹣2）4的相反數是．9．（2023秋?碑林區校級期末）計算：（1）（﹣5）4；（2）-2（3）﹣（﹣0.3）3．題型三非負數的性質：偶次方解題技巧提煉偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．1．（2024?德宏州模擬）若|m+3|+（n﹣2）2＝0，則m+n的值為（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣52．（2023秋?隆陽區期末）如果實數a，b滿足（a-2）2+|b﹣3|＝0，那么ba等于（）A．19 B．-19 C．﹣9 3．（2024?雨花臺區模擬）已知a，b都是實數，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，則（a+b）2024的值是（）A．﹣2024 B．0 C．1 D．20244．（2024春?道里區校級月考）|y﹣2|+（x+3）2＝0，則xy的值為（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣55．（2024春?東坡區期末）若|m|＝3，n2＝4，且|m﹣n|＝n﹣m，則m+n的值為（）A．﹣1 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣56．（2024春?從江縣校級月考）若a2＝16，|b|＝5有意義，則a+b所有的可能值是（）A．﹣1 B．﹣1或﹣9 C．1或9 D．±1或±97．（2023秋?瑤海區期中）若|a|＝7，b2＝4，且|a﹣b|＝|a|+|b|，則a+b的值為．8．（2022秋?梁平區期中）若有理數x，y滿足x2＝64，|y|＝2．（1）求x、y的值；（2）若x＞y，求x+y的值．9．（2023秋?贛州期末）請根據圖示的對話解答下列問題．（1）a＝，b＝．（2）已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求mn的值．10．如果有理數a、b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求1ab題型四乘方與相反數、倒數、絕對值等的綜合解題技巧提煉1、互為相反數的兩個數的偶次冪相等、奇次冪仍互為相反數；2、相反數是它本身的數是0；3、倒數等于它本身的數是1和﹣1；4、絕對值和偶次方都具有非負性.1．下列各數中，互為相反數的是（）A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和12．已知a、b互為相反數，e的絕對值為3，m與n互為倒數，則a+b3A．1 B．3 C．0 D．無法確定3．（2023春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值. 4．已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．5．（2023秋?東西湖區期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．6．已知a是絕對值最小的有理數，b是倒數等于本身的數，c的平方等于4，求a+b+c的值．7．已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數，z是絕對值最小的有理數，求（x+y）y+xyz的值．8．（2023秋?井研縣期末）已知|a|＝5，b2＝9，解答下列問題：（1）由|a|＝5，b2＝9，可得a＝，b＝．（2）若ab＜0，求|a+b|的值．9．（2023秋?雙遼市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．題型五利用有理數的乘方解決實際問題解題技巧提煉用有理數的乘方運算解決實際問題時，關鍵是審清題意，把實際問題轉化成數學問題，常見的問題有拉面的條數、折紙的張數、繩子的長度、細胞分裂的個數等都利用2n或.1．（2023?館陶縣校級模擬）《孫子算經》卷上說：“十圭為抄，十抄為撮，十撮為勺，十勺為合．”說明“抄、撮、勺、合”均為十進制．則十合等于（）A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭2．手工拉面是我國的傳統面食．制作時，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細細的面條，如下圖所示．請問這樣第次捏合后可拉出128根面條．3．（2023春?東臺市月考）某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規律，8小時后細胞存活的個數是（）A．253 B．255 C．257 D．2594．《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完．若按此方式截一根長為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是（）A．1-125 B．1-124 C5．拉面是把一根較粗的面條先對折成2根再拉開，然后將兩端捏緊，再對折成4根再拉開，…，一直重復這個流程，面條的數量會不斷增多，也會不斷變細．（1）將這個流程重復7次后，面條的數量會變成多少根？（2）若剛開始時的面條的橫截面積為8cm2，則將這個流程重復8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開的長度都與第一根面條的長度相同且粗細均勻）6．（2023秋?埇橋區期中）水葫蘆是一種水生漂浮植物，有著驚人的繁殖能力．據研究表明：適量的水葫蘆生長對水質的凈化是有利的，關鍵是科學管理和轉化利用，若在適宜的條件下，1株水葫蘆每5天就能繁殖1株．（不考慮死亡、被打撈等其他因素）（1）假設湖面上現有1株水葫蘆，填寫下表：天數51015…25…5n總株數24……（2）假定某個水域的水葫蘆維持在1280株以內對水質凈化有益．若現有10株水葫蘆，請你計算，按照上述生長速度，多少天時有1280株水葫蘆？7．如圖，當你把一張紙對折1次時可以得到2層，對折2次時可以得到4層，對折3次時可以得到8層，繼續對折下去（最多折7次）．（1）你能發現層數與折紙次數之間的關系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對折7次時紙的總厚度．8．（2023秋?建鄴區期中）某公司培養綠藻細胞制作綠藻粉，該公司制作1克的綠藻粉需要60億個綠藻細胞．（1）在光照充沛的環境下，1個綠藻細胞每20小時可分裂成4個綠藻細胞，且分裂后的細胞繼續分裂．現從1個綠藻細胞開始培養，經過15天后，共分裂成4k個綠藻細胞，求k的值．（2）已知210＝1024，請判斷（1）問中的4k個綠藻細胞是否足夠制作10克的綠藻粉，并說明理由．題型六科學記數法表示較大的數解題技巧提煉科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．10的指數比原來的整數位數少1．1．（2024春?江南區期末）2024年“廣西三月三?八桂嘉年華”文化旅游品牌活動在南寧青秀山風景區拉開帷幕．主會場活動以“新民歌+非遺”為重點，將傳統文化與民族文化魅力完美融合，呈現了一場極具特色的文旅盛宴．青秀山風景區假日共接待游客約390000人次．數據“390000”用科學記數法表示為（）A．0.39×106 B．3.9×105 C．39×104 D．3.9×1062．（2024?甘孜州）祖國江山美麗如畫，川西風光多姿多彩．據四川省某州相關部門通報，“五一”期間，全國各地眾多游客前往旅游，共接待游客約1665000人次．將1665000用科學記數法表示應為（）A．0.1665×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×1043．（2024春?蓮湖區期末）2024年5月3日，中國探月工程“嫦娥六號”成功發射，向距離地球約384400km的月球出發，并于5月8號成功實施近月制動．數據384400用科學記數法表示為（）A．3.844×104 B．3.844×105 C．0.3844×106 D．38.44×1044．（2024?陸良縣二模）“有一種叫云南的生活”的核心體驗地昆明，帶給游客的會是什么感受？據報道，今年“五一”假期，昆明共接待國內游客約11760000人次，同比增長6.13%．數據“11760000”用科學記數法表示為（）A．1.176×107 B．1.176×106 C．11.76×106 D．0.1176×1075．（2024?南關區校級一模）哈爾濱冰雪大世界2024年春節期間晉升為網紅打卡地，迎來各地游客，為了給2025年的建造計劃做準備，今年計劃冰儲存量達到去年的2到3倍，接近20萬立方米，數據“20萬”用科學記數法表示為（）A．2×10 B．2×104 C．2×105 D．0.2×1056．（2024春?沙坪壩區校級期末）2005年6月18日，重慶軌道交通第一條線路——2號線開通初期運營，使重慶成為西部地區第一座開通城市軌道交通的城市．目前，重慶軌道交通現已開通運營13條線路，運營里程538公里，最高日客運量516.2萬人次．其中，516.2萬用科學記數法表示為．7．（2024?海陵區一模）國家統計局2024年1月17日公布數據：2023年全年國內生產總值（GDP）1260582億元．將數字1260582用科學記數法表示為1.260582×10n，則n為．8．（2024?梁溪區二模）無錫博物院位于太湖廣場中央，博物院內擁有文物近40000件，以古代書畫、歷代紫砂、惠山泥人和無錫近現代革命文物和民族工商業文物為主要收藏文物．數據40000用科學記數法可表示為．9．（2024?長汀縣二模）“一帶一路”是國家的發展戰略，計劃用10年左右的時間，使中國同沿線國家的年貿易額突破25000億美元．把25000用科學記數法表示為．題型七科學記數法---原數解題技巧提煉科學記數法a×10n表示的數，“還原”成通常表示的數，就是把a的小數點向右移動n位所得到的數．1．（2024?廣東一模）國家統計局公布了2023年社會消費品零售情況，市場銷售較快恢復，服務消費快速增長，社會消費品零售總額比上年增長7.2%，約為4.7×105億元.4.7×105的原數為（）A．470 B．47000 C．470000 D．4