學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一求函數的定義域與正切函數有關的定義域問題通常先借助正切函數的圖象在一個周期內得出x的取值范圍，然后加上周期．【例1】求下列函數的定義域：(1）y＝；(2）y＝．分析:根據題意列出不等式，再根據圖象找出不等式的解集．解：（1)由tanx－≥0，得tanx≥，利用圖象（如圖所示）可知，所求定義域為（k∈Z）．(2）要使函數y＝有意義，則有即x≠kπ－，且x≠kπ＋（k∈Z）．所以函數的定義域為．規律總結利用正切函數的圖象,可解不等式tanx〉α,其解題步驟是:（1)作出正切曲線y＝tanx在上的圖象；（2）求出在內使tanx＝a成立的x的值；(3）利用圖象確定tanx〉a在內的解；(4）把解擴展到整個定義域內．同理，也可解形如tanx<a及a〈tanx<b的不等式．探究二正切函數的性質1．周期性y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解,y＝Atan（ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解．2．單調性求y＝Atan(ωx＋φ)的單調區間，只需令kπ－〈ωx＋φ〈kπ＋（k∈Z）解出x即可,但ω<0時，應用誘導公式化為正的,還要注意A的正負對單調性的影響．【例2】求下列函數的周期：(1）y＝3tan；(2）y＝｜tanx｜．解：(1)因為ω＝2，且T＝,所以函數的最小正周期T＝．（2）函數y＝|tanx|的圖象如圖所示，顯然為周期函數,且T＝π．【例3】求y＝3tan的圖象的對稱中心．解：由2x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．故所求函數的圖象的對稱中心為(k∈Z）．溫馨提示正切函數y＝tanx的圖象是中心對稱圖形，它的對稱中心有無數個，其坐標為(k∈Z)，但它不是軸對稱圖形．【例4】(1）求函數y＝tan的單調區間；（2）比較tan1，tan2，tan3的大小．分析:對于(1)，由于x的系數小于零，故應將其進行變形，化為系數為正，再根據正切函數單調性求解;對于(2)可利用正切函數單調性進行比較．解：(1）y＝tan＝－tan，則由kπ－<－〈kπ＋得2kπ－<x〈2kπ＋π（k∈Z)，所以函數y＝tan的單調遞減區間是(k∈Z）．(2)因為tan2＝tan（2－π），tan3＝tan(3－π），又因為〈2〈π,所以－<2－π〈0．因為<3<π，所以－〈3－π〈0,顯然－<2－π〈3－π〈1〈,且y＝tanx在內是增函數，所以tan（2－π）<tan(3－x）〈tan1，即tan2〈tan3〈tan1．探究三求函數的值域對于形如y＝Atan2x＋Btanx＋C型的函數,可以通過換元法將問題轉化為給定區間上的二次函數求值問題，需要注意的是換元后新元的范圍，一般可結合函數圖象或單調性確定．【例5】求函數y＝tan2x－2tanx的值域．分析：利用換元法，將原函數化為二次函數的形式來解決．解：令u＝tanx．因為|x｜≤，所以由正切函數的圖象知u∈[－,]．所以原函數可化為y＝u2－2u，u∈[－，］．因為二次函數的開口向上,對稱軸方程為u＝－＝1，所以當u＝1時，ymin＝12－2×1＝－1．當u＝－時，ymax＝3＋．所以f（x)的值域為［－1，3＋］．反思使用換元法求函數值域時，一定要注意換元后自變量的取值范圍．探究四易錯辨析易錯點：因作圖不準確而致錯【例6】當x∈時，確定方程tanx－sinx＝0根的個數．錯解：同一平面直角坐標系中作出y＝tanx與y＝sinx在上的圖象如圖所示，兩圖象有5個交點,所以方程tanx－sinx＝0有5個根．錯因分析：沒有比較x∈時,y＝tanx與y＝sinx的大小．正解：將方程變形為tanx＝sinx，作y＝tanx,y＝sinx在上的圖象，則兩圖象交點的個數就是原方程根的個數．在同一坐標系內畫出y＝tanx與y＝sinx的圖象，根據圖象判斷交點個數．在同一平面直角坐標系中，首先作出y＝sinx與y＝tanx在內的圖象，需明確x∈時，有sinx〈x〈tanx（利用單位圓中的正弦線、正切線就可證明)，然后利用對稱性作出x∈時的兩函數的圖象，如圖所示,由圖象可知它們有3個交點．所