上海市崇明區2021-2022學年高二上學期數學期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、填空題1．已知球的半徑等于1，則該球的體積等于.2．計算：i(1+i)=（i為虛數單）.3．某藥物公司實驗一種降低膽固醇的新藥，在500個病人中進行實驗，結果如下表所示.膽固醇降低的人數沒有起作用的人數膽固醇升高的人數30712073則使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于.4．已知復數z=|1+2i|+3i，則z的共軛復數z=5．已知點A(2，4)和點B，若向量AB對應的復數是?3?i，則點B對應的復數z=6．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若?m，n?=2π3，則7．已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以AB為旋轉軸，將矩形ABCD旋轉一周所形成的空間封閉幾何體的表面積等于.8．同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點數相等的概率為．9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出2粒都是黑子的概率是17，從中取出2粒都是白子的概率是16，則從中任意取出2粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是10．已知四面體ABCD中，AB=CD=2，E，F分別為BC，AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為π3，則EF=11．如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，A，B是底面圓周上兩點，PB=6，OA=4，∠AOB=90°，C為線段PB的中點.一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是.12．有兩個相同的直三棱柱，高為2a，底面三角形的三邊長分別為3a?，?4a?，?5a（a>0）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是二、單選題13．若1+2i是關于x的實系數方程A．b=2，c=3 B．b=2，c=?1C．b=?2，c=?1 D．b=?2，c=314．將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲100次，第99次拋擲出現反面的概率是（）A．1100 B．99100 C．19915．在棱長為10的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為左側面ADD1AA．ABCD B．BB1C1C 16．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長A．[?12，0] B．[?34三、解答題17．求實數m的值或取值范圍，使得復數z=m（1）z是實數；（2）z是純虛數；（3）z是復平面中對應的點位于第二象限.18．在直三棱柱ABC?A1B1C（1）求四棱錐A?BCC（2）求直線AB1與平面（3）求異面直線AB1與19．如表，求：命中環數10987概率0.320.280.180.12（1）該選手射擊一次，命中不足9環的概率；（2）該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環的概率；（3）該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），兩次命中之和不低于18環的概率.20．如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A（1）求證：A1（2）點F、G分別是BC、CD的中點，求二面角B?B21．如圖，已知△ABC是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且CD∥AE，∠ACD=π2，AE=AB=2，（1）求證：DF//平面ABC；（2）求證：平面ABE⊥平面BDE.

答案解析部分1．【答案】4【解析】【解答】由球的體積公式V=4π故答案為：4π

【分析】由球的體積公式可得答案.2．【答案】?1+i【解析】【解答】由題意得i(故答案為：?1+i

【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，可得答案.3．【答案】307【解析】【解答】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數為307，又試驗總次數為500，所以使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于307500故答案為：307

【分析】根據古典概型的概率公式可求出答案.4．【答案】5【解析】【解答】z=|1+2i|+3i=5+3i，所以故答案為：5?3i

【分析】根據復數模的定義結合共軛復數的定義，可求出答案.5．【答案】?1+3i【解析】【解答】由題知，OA=(2所以OB=所以點B對應的復數z=?1+3i.故答案為：?1+3i.

【分析】根據向量加法的三角形法則的坐標表示求出OB→的坐標，進而可得點B6．【答案】π【解析】【解答】設直線l與平面α所成角為θ（θ∈[0，則直線l的方向向量m與平面α的法向量n的夾角為π2?θ或由題意，∵?m，n∴?m∴θ=2π∴l與α所成角的大小是π6故答案為：π6

【分析】由向量的夾角的范圍，再由直線與平面所成角的定義，即可求出答案.7．【答案】12π【解析】【解答】由旋轉體定義可知：所形成的空間封閉幾何體為底面半徑r=2，母線長l=1的圓柱，∴該幾何體的表面積S=2πr故答案為：12π.

【分析】由旋轉體定義可知：所形成的空間封閉幾何體為底面半徑r=2，母線長l=1的圓柱，利用圓柱的表面積公式可求出答案.8．【答案】1【解析】【解答】同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點數組合如下表：1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)由上表知：所有可能組合有36種，其中點數相等有6種，所以所得點數相等的概率為16故答案為：1

【分析】同時投擲兩顆均勻的骰子，基本事件總數n=36種，所得點數相等的基本事件有6種，再利用古典概型的概率公式求解即可得答案.9．【答案】29【解析】【解答】由題意，任意取出2粒棋子，不考慮先后順序，一共有2粒都是黑子、2粒都是白子和一粒黑子一粒白子3種可能，設事件A：取出2粒都是黑子，事件B：取出2粒都是白子，事件C：取出2粒恰好是一粒黑子一粒白子，則A，B，C兩兩互斥，由已知有P(A)=17，∵P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1，∴P(C)=1?P(A)?P(B)=1?1∴從中任意取出2粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是2942故答案為：2942

【分析】任意取出2粒棋子，一共有2粒都是黑子、2粒都是白子和一粒黑子一粒白子3種可能，其概率之和為1，由此求解出答案.10．【答案】1或3【解析】【解答】取BD中點O，連結EO、FO，∵四面體ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分別為BC、AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為π3∴EO∥CD，且EO=12CD=1∴∠EOF是異面直線AB與CD所成的角或其補角，∴∠EOF=π3，或當∠EOF=π3時，△EOF是等邊三角形，當∠EOF=2π3時，EF故答案為1或3．

【分析】取BD中點O，連結EO、FO，推導出EO=FO=1，∠EOF=π3，或11．【答案】3【解析】【解答】將圓錐的側面沿母線PA展開成扇形APA所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是線段AC.則弧長為2π×4=8π，所以∠APA'=8π6所以在扇形APA'中，∠APB=π所以在△APC中，∠APC=π3，PC=3，PA=6，由余弦定理得：所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是33故答案為：3

【分析】將圓錐的側面沿母線PA展開成扇形APA12．【答案】0<a<【解析】【解答】①拼成一個三棱柱時，有三種情況：將上下底面對接，其全面積為：S三棱柱表面積3a邊可以合在一起時，S三棱柱表面積4a邊合在一起時，S三棱柱表面積②拼成一個四棱柱，有三種情況：就是分別讓邊長為3a，4a，5a所在的側面重合，其上下底面積之和都是2×2×12×3a×4a=24a2，但側面積分別為：2(4a+5a)×顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：S四棱柱表面積由題意得：24a2+28<12故答案為：0<a<

【分析】由題意拼成一個三棱柱，求出表面積，拼成一個四棱柱，3種情況分別求出表面積，然后求出a的取值范圍.13．【答案】D【解析】【解答】解：由題意知1+2i是關于x的實系數方程x2+bx+c=0的一個復數根

∴1+2i2+b1+2i+c=0，即-1+b+c+14．【答案】D【解析】【解答】將一枚質地均勻的硬幣拋擲一次，出現正面，還是反面，是隨機事件，且是等可能的，∴無論拋多少次，每一次拋擲出現反面的概率都為12∴第99次拋擲出現反面的概率是12故答案為：D.

【分析】根據隨機事件的概率可求出答案.15．【答案】A【解析】【解答】如圖，由點P到A1D1的距離為3，P到AA1過P作EF∥A1D，且EF∩A又A1D?平面A1DC，EF?平面A1在平面ABCD中，過F作FG∥CD，FG∩BC=G，又CD?平面A1DC，FG?平面A1DC，所以因為EF∩FG=F，EF、FG?平面EFG，則平面EFG∥平面A1連接AC，交FG于M，連接EM，則由平面EFG∥平面A1平面A1AC∩平面A1DC=A1C在△EFM中，過P作PQ∥EM，且PQ∩FM=Q，則PQ∥A∵線段FM在四邊形ABCD內，Q在線段FM上，∴Q在四邊形ABCD內．所以過點P且與A1C平行的直線相交的面是平面故答案為：A．

【分析】連接A1P并延長，使其交AD于M，確定P點在AD上，再過P點作A1C平行線，與平面ABCD內線段MC交于Q點，進而得答案.16．【答案】B【解析】【解答】取AC1中點則PA?∵當P為側面ABB1A1中點時，|PO又|OA|=1即PA?PC故答案為：B.

【分析】取AC1中點O，利用向量數量積的運算可得PA→?PC1→=PO→17．【答案】（1）解：由題意得m2?1=0，所以（2）解：由題意得m2+m?2=0m（3）解：由題意得m2+m?2<0m【解析】【分析】（1）根據復數為實數得m2?1=0，求出m的值；

（2）根據復數為純虛數得m2+m?2=0m18．【答案】（1）解：因為ABC?A1B1C又AC?平面ABC，得CC又因為AC⊥BC，CC1∩BC=C，且CC1，BC?所以三棱錐A?BCC1B得V=1（2）解：因為AC⊥BC，所以B1因為ABC?A1B1C又B1C1?平面A1B1所以∠B1AC1在Rt△B1AC1所以tan∠所以直線AB?1與平面ACC（3）解：因為AC∥A所以∠B1AC就是異面直線A在△B1AC中，AB1所以cos所以異面直線AB?1與A?1【解析】【分析】(1)根據題意得AC⊥平面CC1B1，進而根據體積公式計算可得四棱錐A?BCC1B1的體積V；

(2)由題意可證得B1C1⊥平面ACC1A1，進而∠B1AC1即為直線A19．【答案】（1）解：用P(i)表示該選手射擊一次命中環數為i則該選手射擊一次，命中不足9環的概率為：P(（2）解：該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環，分為兩種情形：“第一次命中10環，第二次命中8環”，或者“第一次命中8環，第二次命中10環”，將上述事件分別記作事件A和事件B，則A、B互斥，又事件A中“第一次命中10環”與“第二次命中8環”相互獨立，所以P(A)所以該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環的概率是P(（3）解：該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），兩次命中之和不低于18環的概率P=P(【解析】【分析】（1）用P(i)表示該選手射擊一次命中環數為i的概率（0≤i≤10，i∈N20．【答案】（1）證明：如圖，以D為坐標原點，以射線DA、DC、DD1分別為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.則A1(2，0設E(2，∴DA1=∴DA∴A（2）解：易得F(1，GF=(1設平面GB1F∴n?GF取w=?1，解得u=2，從而平面GB1F平面BB1F從而cos<經觀察，二面角B?B所以二面角B?B?1F?G【解析】【分析】（1）以D為坐標原點，以射線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用向量數量積的計算公式可得DA1→?D1E→=021．【答案】（1）證明：取AB中點G，連接FG，則FG//AE且FG=1因為CD∥AE，所以FG//CD，又DC=1=FG，所以四邊形CDFG是平行四邊形，于是DF//CG.因為CG?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF//平面ABC.（2）證明：因為直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，∠ACD=π所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，因為CD∥AE，