江蘇省南通市海安市2021-2022學年高二上學期數學期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知全集U=A∪B={0，1，2，3，4，5}，A∩(?UB)={1，2，4}A．{0} B．{3，5} C．{0，3，5} D．{1，2，4}2．已知i為虛數單位，復數z滿足iz?5為純虛數，則z的虛部為（）A．5 B．5i C．?5i D．?53．已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為3，則其漸近線方程為（）A．y=±2x B．y=±22x 4．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛星通訊等，具有結構簡單?方向性強?工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為θ.焦點F到頂點的距離f與口徑d的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角θ滿足tanθA．13 B．12 C．25．設m∈R，直線l1：(m+2)x+6y?2m?8=0，l2：x+2my+m+1=0，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖，是函數y=f(x)的部分圖象，且關于直線x=2對稱，則（）A．f'(1)<fC．f'(1)>f7．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1，F2，過F2且垂直于x軸的直線與C交于PA．22 B．33 C．128．在數列{4n?3}中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為{an}，再在數列{an}插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列{bn}A．30 B．91 C．273 D．820二、多選題9．方程x2+(cosA．兩條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線10．存在a，b∈R(a≠b)，使得f(a)=f(b)的是（）A．f(x)=x2+2C．f(x)=xex11．已知b∈R，圓C1：(x?2)A．當b=1時，兩圓相交 B．兩圓可能外離C．兩圓可能內含 D．圓C2可能平分圓C12．過x軸上一點作函數y=xA．0 B．1 C．2 D．3三、填空題13．經過點A(a，b+c)，B(b，a+c)(a≠b)的直線的傾斜角為.14．寫出一個同時具有性質①②的函數f(x)=.（f(x)不是常值函數），①f'(x)為偶函數；②15．過拋物線y2=4x的焦點的直線交拋物線于點A、B，且點A的橫坐標為4，過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點C，則△ABC的面積為16．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層（從上往下）球數構成一個數列{an}，則a5=四、解答題17．在①bsinA=asin2B，②S在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且___________.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）求角B的大?。唬?）已知AB=6，BC=4，點P在邊AC上，且BP=3PC，求線段BP的長.18．已知數列{an}是公差不為0的等差數列，數列{bn}是公比為2的等比數列，a2是a（1）求數列{an}（2）求數列{anbn}19．已知圓M：(x?2)2+（1）若t=1，半徑為1的圓N過點P，且與圓M相外切，求圓N的方程；（2）若過點P的兩條直線被圓M截得的弦長均為23，且與y軸分別交于點S、T，|ST|=3420．在平面直角坐標系xOy中，已知點B(4，2)，BC⊥y軸于點C，M是線段OB上的動點，MD⊥y軸于點D，ME⊥BC于點E，OE與MD相交于點P.（1）判斷點P(m，n)是否在拋物線y2（2）過點Q0(1，1)作拋物線y2=x的切線l1交y軸于點R1(0，y1)，過拋物線y2=x上的點Q1(x1，21．在平面直角坐標系xOy中，已知點F1(?5，0)，F2(5，0)，點M滿足|MF（1）求C的方程；（2）已知l1，l2是經過圓O：x2+y2=9上一點P且與C相切的兩條直線，斜率分別為k122．已知函數f(x)=(x?1)e（1）求函數f(x)的極值；（2）是否存在實數a，b，c，對任意的正數x，都有f(x)≥ax+b≥clnx成立？若存在，求出a，b，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因為A∩(?UB)={1，2，4}，所以1，2，4∈?又U=A∪B={0，1，2，3，4，5}，所以0，3，5∈B，即B={0，3，5}.故答案為：C

【分析】根據題意得到1，2，4∈?UB，再由U=A∪B={0，1，2，3，4，5}2．【答案】D【解析】【解答】設z=a+bi(a，b∈R)，所以iz?5=i(a+bi)?5=(?5?b)+ai，因為iz?5為純虛數，所以?5?b=0a≠0，解得b=?5所以z的虛部為：-5.故答案為：D.

【分析】化簡iz?5=(?5?b)+ai，結合iz?5為純虛數，列出方程求得b的值，即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】因為雙曲線焦點在x軸上，所以漸近線方程為：y=±b又因為雙曲線離心率為3，且a2所以e=c解得ba=2故答案為：A.

【分析】根據雙曲線離心率為3和a2+b4．【答案】B【解析】【解答】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為y2=2px（在Rt△AMF中|AM|=d2則|FM|=所以|AF|=則|AF|=所以xA=將A(5d(?16?(2f?d)(8f?d)=0所以2f=d或8f=d即fd=1當f=18故答案為：B

【分析】建立的平面直角坐標系，設拋物線的方程為y2=2px，在Rt△AMF中，求得|AF|=p2+xA5．【答案】A【解析】【解答】若l1//l2，則因此，“m=1”是“l1故答案為：A.

【分析】根據l1//l2，列出方程組求得6．【答案】C【解析】【解答】根據題意得，x=2為函數y=f(x)部分函數的極大值點，所以f'又因為函數f(x)在[1，2]單調遞增，由圖像可知x=1處切線斜率為銳角，根據導數的幾何意義，所以f'又因為函數f(x)在[2，3]單調遞增，由圖像可知x=3處切線斜率為鈍角，根據導數的幾何意義所以f'即f'故答案為：C.

【分析】根據題意，結合導數的幾何意義，得到f'(2)=0，f'7．【答案】B【解析】【解答】如圖，由題意PQ⊥x軸，OR⊥x軸，則OR//Q又O為F1F2的中點，則R為F則△PF1Q為等腰三角形，且將x=c代入橢圓方程得，c2a所以|PF2由橢圓的定義可得|PF1則橢圓C的離心率e=故答案為：B

【分析】根據題意得到OR//QF2，且△PF1Q為等腰三角形，得到|PF1|=2|PF8．【答案】C【解析】【解答】因為{b所以bn=3n?1，則由即數列{b其中1、9、81是數列{4n?3}的項，3、27、243不是數列{4n?3}的項，且3+27+243=273，所以數列{bn}中第7項前（不含729故答案為：C.

【分析】根據題意求得bn=3n?1，由bk=3k?1=7299．【答案】A,C,D【解析】【解答】因為θ∈(0，π)，所以cosθ∈(?1，1)所以當cosθ∈(?1，0)時，方程x所以當cosθ=0時，方程x2+(所以當cosθ∈(0，1)時，方程x2+(因為1cosθ>1故答案為：ACD.

【分析】根據直線、橢圓和雙曲線的標準方程的形式，逐項判定，即可求解.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】根據題意，存在a，b∈R(a≠b)，使得f(a)=f(b)等價于函數f(x)在定義域內存在極值點即可；對于A選項：f(x)=x2+2故f(x)在定義域內單調遞增，無極值點，A不符合題意；對于B選項：f(x)=x+ln(1?x)(x<1)，所以令f'(x)>0，解得x<0，令f'所以f(x)在(?∞，0)單調遞增，在(0，1)單調遞減，所以x=0為極大值點，B符合題意；對于C選項：f(x)=xex令f'(x)>0，解得0≤x<12，令所以f(x)在[0，12)所以x=1對于D選項：f(x)=x?2x(x∈R)令f'(x)>0，解得x>?11n2，令所以f(x)在(?1ln2，所以x=?1故答案為：BCD.

【分析】根據題意，轉化為函數f(x)在定義域內存在極值點，由f'(x)=2x+2x>0恒成立，可判定A不符合題意；由f11．【答案】A,B【解析】【解答】圓C1的圓心為(2，b)，半徑為r1=4，圓C2的圓心為所以|C1C當b=1時，|C因為|C圓C1的一般方程為x所以兩圓的公共弦所在直線方程為4x+2by?b若圓C2平分圓C1的周長，則直線4x+2by?b所以8+2b2?b2故答案為：AB

【分析】根據兩圓的位置關系的判定方法，結合圓心距和兩半徑和與差的關系，結合一元二次方程的解法，逐項判定，即可求解.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由題意知，y'設切點為(x則切線方程為y?(x設x軸上一點A(t，0)，代入切線方程，得0?(x03該方程有可能有一個，兩個或三個零點，所以可作切線的條數為1，2或3條，故答案為：BCD.

【分析】求得y'=3x2?113．【答案】3π【解析】【解答】根據兩點間斜率公式得：kAB所以直線的傾斜角為：3π4故答案為：3π

【分析】利用直線的斜率公式，求得kAB14．【答案】12【解析】【解答】由f'(x+π)=f'(x)知函數f同時滿足f'(x)為偶函數，所以故答案為：12

【分析】由f'(x+π)=f'(x)15．【答案】25【解析】【解答】不妨設點A為第一象限內的點，設點A(4，n)，其中n>0，則n2=4×4=16，可得即點A(4，4)，拋物線y2=4x的焦點為F(1，0)，所以，直線AB的方程為y=4聯立y=43(x?1)y2=4x，解得所以，|AB|=4+1直線AC的方程為y=x，拋物線的準線方程為x=?1，聯立y=xx=?1，可得點C(?1，?1)點C到直線AB：4x?3y?4=0的距離為d=|?4+3?4|因此，S△ABC故答案為：258

【分析】設點A(4，n)，求得n=4，得到點A(4，4)，進而求得AB的方程為y=43(x?1)，聯立方程組求得B(14，?1)，得到|AB|=254，又由AC的方程為16．【答案】15；n【解析】【解答】因為a1=1，a2?a1=2以上n個式子累加，得an則a5因為1a所以1=1?1故答案為：15，nn+1

【分析】由an?an?1=n，累加法求得a17．【答案】（1）解：若選①bsin則根據正弦定理可得：sinB由于0<A，B<π，sinA≠0，sinB≠0則B=π若選②S△ABC則12acsinB=3而0<B<π，故B=π若選③tanB=2?cos即sin2B=2cos而0<B<π，故B=π（2）解：如圖示：AC2=A故cosC=在△PBC中，設PC=x，則BP=3x，則cosC=即14x2+7x?28=0故BP=3【解析】【分析】（1）若選①：根據正弦定理化簡得到cosB=12，即可求得B的值；若選②：根據三角形的面積公式，化簡得到sinB=3cosB，得到tanB=3，即可求得B的值；若選③：利用三角函數的基本關系式，化簡得到sinBcosB=2?cosBsinB，求得18．【答案】（1）解：因為a2是a1，a5的等比中項，且b所以(a解得a1=1，d=2，所以an（2）解：由（1）得an所以Sn則2S兩式相減得?S=2+2[2=(3?2n)2所以Sn【解析】【分析】（1）根據題意得到(a1+d)2=a1?(a1+4d)，819．【答案】（1）解：設圓心N(a，b)，圓M的圓心為M(2，0)，由題意可得(a?2)2+b2=9因此，圓N的方程為(x+1)2+y（2）解：若過點P的直線斜率不存在，則該直線的方程為x=?1，圓心M到直線x=?1的距離為3，不合乎題意.設過點P且斜率存在的直線的方程為y?t=k(x+1)，即kx?y+k+t=0，由題意可得|3k+t|k2+1設直線PS、PT的斜率分別為k1、k則k1、k2為關于k的二次方程Δ=36t由韋達定理可得k1+k在直線PS的方程k1x?y+k1+t=0中，令在直線PT的方程k2x?y+k2+t=0中，令x=0所以，|ST|=|k1?【解析】【分析】（1）設圓心N(a，b)，根據題意列出方程組，求得a，b的值，即可求得圓N的方程；

（2）若過點P的直線斜率不存在，則該直線的方程為x=?1，不合乎題意.設過點P且斜率存在的直線的方程為y?t=k(x+1)，得到方程|3k+t|k2+1=22?3=1，得到8k2+6kt+t220．【答案】（1）解：由已知條件得直線OB的方程為y=1設點M(x0，由直線OE的方程為y=2x0x可得點點P(14x02，1（2）解：設l1的直線方程為x=m(y?1)+1將直線l1與拋物線y2=xΔ=m2?4(m?1)=0l1的直線方程為x?2y+1=0，則R1(0，由此可知Q1(14，將直線l2與拋物線y2=xΔ=16n2?16(2n?1)=0l2的直線方程為4x?4y+1=0，則R2(0，由此可知設點Qn(xn，將直線ln+1與拋物線y2=xΔ=q2?4(m即q2?4qyn+4直線ln+1的方程為x?2yn令y=0得x=?yn2，即直線l則直線ln+1的斜率為12yn，直線即y=x2yn+yn則yn+1yn=12，即數列故yn【解析】【分析】（1）設點M(x0，12x0)，則E(x0，2)，進而求得點P的坐標為P(14x02，12x0)，根據點P(14x02，12x0)滿足拋物線上，即可求解；

（2）設l1的直線方程為x=m(y?1)+1，聯立方程組求得m=2，得到l1方程為x?2y+1=021．【答案】（1）解：因為|MF1|?|MF2所以|MF1|?|MF2所以C的方程為x（2）證明：設P(x0，設過點P的C的切線方程為y?y聯立x29由Δ=(18(x0所以k【解析】【分析】（1）根據雙曲線的定義，得到點M的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線的右支，進而求得曲線C的方程；

（2）設P(x0，y0)，過點P的22．【答案】（1）解：由題意知：f'(x)=xex，令f'解得x<0，所以函數f(x)在(0，+∞)單調遞增，f(x)在(?∞，0)單調遞減，所以x=0為函數f(x)的極小值點，即極小值為：f(0)=?1，無極大值.（2）解：設g(x)=clnx，易知所以點(1，0)是f(x)=(x?1)ex和要使f(x)≥ax+b≥cln只需要y=ax+b為函數f(x)和g(x)的公切線即可，由（1）知，f'(x)=xe