2024-2025學年酒泉市高二數學上學期期中考試卷

考試時間120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知數列1,6,亞,S,3,…，1,…，則該數列的第25項是（）

A.7B.2遙C.5V2D.5

2.已知數列｛4｝的前〃項和5“=（〃+2『,則％+6+。7的值為（）

A.81B.36C.45D.33

3.在等差數列｛%｝中，tz6++tz8=21,則氏+。9的值為（）

A.7B.14C.21D.28

4.直線瓜—y+2=0的傾斜角為（）

兀712兀5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

a+a

5.設S’,為數列｛4｝的前〃項和，若-2%-1,則79的值為（)

ClyQ12

11

A.8B.4C.一D.-

48

6.若點在圓C：x?+y2+x+.y+掰=0的外部，則加的取值一定不是（）

A.-4B.-1C.0D.2

7.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，％〉0,且5=816,則下列說法正確的是（）

A.公差d〉0B.519>0

C.使Sn<0成立的n的最小值為20D.4]>0

8.已知45是圓=4上的兩個動點，且[48|=2后，點是線段48的中點，貝！1

|玉）+為一4的最大值為（）

A.12B.672C.6D.372

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知直線/過點（0,4）,且與直線底—y+4=0及X軸圍成等腰三角形，則直線/的方程可能為（）

A.^3%+y-4=0B.V3x-y+4=0

Cy[3x-y+3=0D.V3x-3_y+12=0

10.已知數列｛4｝的前〃項和為s“，則下列說法中正確的是（）

A.若S.=/,則｛%｝是等差數列

B.若S〃=2",則｛%｝是等比數列

C.若｛%｝是等差數列，則星025=2025aloi3

D.若｛%｝是等比數列，且%〉0,則S2”TS3>S；.

11.已知圓&:f+/-2x=0和圓Q：/+/+2x-4y=0,則下列結論中正確的是（）

A,圓與圓。2相交

B.圓與圓。2的公共弦所在的直線方程為x->=0

C.圓Q與圓a的公共弦AB的垂直平分線方程為x+y-l=0

D.若為圓&與圓Q的公共弦，尸為圓口上的一個動點，則△為臺面積的最大值為1+8

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/的方向向量為（1,2）,且直線/經過點（2,-3）,則直線/的一般式方程為.

13.圓C：x2+V2-6X+5=0,。（&,%）為圓。上任意一點，則叢的最大值為.

xo

14.已知等比數歹（]｛%｝的前〃項和S"=2"-a,?eN+,貝|。=；設數列｛log后4｝的前〃項和

為北，若7；〉5〃+2對〃eN+恒成立，則實數入的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知直線4：x+（2加一2）了=0,/2:2mx+y-2=0,且滿足/J4，垂足為C.

（1）求機的值及點C的坐標.

（2）設直線4與X軸交于點A,直線42與X軸交于點3,求V4BC的外接圓方程.

16.設｛%｝是等差數列，也｝是各項都為正數的等比數列，且％=4=1,%+&=21,%+4=13.

2

(1)求｛%｝,也｝的通項公式；

(2)求數列｛%+%｝的前〃項和Sn.

17已知圓C：》2+72—4》一4y一加一10=0,點P(1,O).

(1)若加=-17,過尸的直線/與C相切，求/的方程；

(2)若C上存在到尸的距離為1的點，求加的取值范圍.

18已知數列｛%｝滿足：—+-^|-H"—---1■詭),數列｛"｝滿足4=訶'.

,2222%+2

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)求4+6%的值;

(3)求3+8+&T---卜與9的值.

19.已知等差數列｛%｝的前〃項和為J,4=1,54=10,數列也｝滿足偽=3,bn+l=2b?-l.

(1)證明:數列也-1｝是等比數列；

(2)證明：S2n+cbn>2Sn-bn+l；

(3)若4=(j：；)2,求數列｛%｝的前"項和4

2024-2025學年酒泉市高二數學上學期期中考試卷

考試時間120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知數列1,班,石，幣,3,…，S〃-l,…，則該數列的第25項是()

A.7B.276C.572D.5

【答案】A

【解析】

【分析】根據數列的規律及通項可得數列的項.

【詳解】由已知數列1,6，亞,J7，3,…，，2〃-1，…，

即12義1一1,J2x2—1，J2x3-1，J2x4—1，，2x5-1，…，<2n—\，…，

3

則數列的第〃項為

第25項為12x25-1=7,

故選：A.

2.已知數列｛4｝的前〃項和5“=（〃+2『，貝!|生+4+%的值為（）

A.81B.36C.45D.33

【答案】C

【解析】

【分析】根據數列的前〃項和，可得數列的項，進而可得值.

【詳解】由已知數列｛%｝的前〃項和=（〃+2『，

則a5+a6+a-j=Sy—S4=（7+2）~_（4+2）-=45,

故選：C.

3.在等差數列｛4｝中，a6+a7+a&=21,則出+為的值為（）

A.7B,14C.21D.28

【答案】B

【解析】

【分析】由等差中項的性質計算即可；

【詳解】因為在等差數列｛4｝中，%+%+。8=21，

所以4+%+。8=3%=21n%=7,

所以生+為=2a7-14,

故選：B

4.直線瓜—y+2=0的傾斜角為（）

717T27r571

A.-B.一C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】先由直線方程得到斜率，進而可得其傾斜角.

4

【詳解】由題意可得直線的斜率為左=0,

設其傾斜角為a,則tana=也，

又ae[O,兀），所以（z=],

故選：B

5.設S,,為數列｛%｝的前〃項和，若邑=2%-1,則“7.'的值為（）

11

A.8B.4C.-D.-

48

【答案】D

【解析】

【分析】易知數列前〃和求出通項公式，再由等比數列的性質化簡求得結果.

【詳解】當”=1時，/=E=2?1-1,ax=\,

當"22時，則%=S“—S“T=2%-2%，

.?.%=2%T，即數列｛%｝是首項4=1,公比q=2的等比數列，

即an=2"T,

.%+。9_%（]+/）]]

,,須+須%o（i+“/8

故選：D.

6.若點P（—1,2）在圓。：1+/+1+了+加=o的外部，則加的取值一定不是（）

A.-4B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據點在圓外及方程表示圓求出加的范圍得解.

【詳解】因為點網―1,2）在圓C：》2+/+》+7+加=0的外部，

所以（—l『+22—l+2+加〉0,解得加＞—6,

又方程表示圓，則1+1-4加＞0,即加＜工，

2

5

所以-6<加<工，結合選項可知，加的取值一定不是2.

2

故選：D.

7.已知等差數列｛%｝的前〃項和為J,%>0,且&=岳6,則下列說法正確的是（）

A.公差d〉0B.Sl9>0

C.使Sn<0成立的〃的最小值為20D.%>0

【答案】c

【解析】

【分析】根據等差數列的通項公式，前〃項和公式，結合條件為〉0,逐項進行判斷即可求解.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為力由5;與，得3%+3d=16%+120d,

即13%+117d=0,即4]+9d=a1。=0,

又4>0,所以d<0,所以故AD錯，

19aa

S19=（i^i9）=19?10=0,故B錯

因為S19=0,d<0,所以S18〉0,$20<0,

所以<0成立的〃的最小值為20.故C正確.

故選：C

8.已知43是圓X2+J?=4上的兩個動點，且|AB|=2五，點兒”后,/）是線段A8的中點，貝U

K+%-4的最大值為（）

A.12B.6拒C.6D.3拒

【答案】C

【解析】

【分析】先根據題意求出M的軌跡方程為V+=2,設M（%,%）到直線x+>—4=0的距離為d,

由此可得,。+為-4|=岳，將問題轉化為求圓x2+/=2上的點到直線x+>—4=0距離的最大值,

先求圓心到直線的距離再加半徑即可求解.

6

【詳解】根據已知有，圓心。（0,0）,半徑尸=2,因為弦|48|=2&,

所以圓心到48所在直線的距離［=（、歷『=j-=也，

又因為又為48的中點，所以有（W=J5，

所以/的軌跡為圓心為。（0,0）,半徑為八=&的圓,

/的軌跡方程為/+/=2；

令直線為》+y一4=0,則到直線x+y-4=0的距離為d,

則即鬲+為-4卜"7,所以當d最大時,

|x0+_y0—4|=>[2d也取得最大值,

由此可將問題轉化為求圓/+j?=2上的點到直線x+y-4=0距離的最大值的四倍,

設圓心0（0,0）到直線的距離為d。,則d0=，所以dmax=d0+-x/2=3^/2，

所以寓+比-4|的最大值為6.

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知直線/過點（0,4）,且與直線J，x—y+4=0及x軸圍成等腰三角形，則直線/的方程可能為（）

A.y/3x+v—4=0B.>/3x-j+4=0

C.y[3x_+3=0D.V3x-3J+12=0

【答案】AD

【解析】

【分析】由題意知直線/過點（0,4）,所以根據直線/是否存在斜率進行分類討論，結合等腰三角形等知

識，即可求解.

【詳解】設（0,4）為點A,易知點/（0,4）在直線氐—y+4=0上，

7

直線gx—y+4=0與x軸的交點8,0,

當直線/的斜率不存在時，因為直線/過點（0,4）,所以直線/的方程為x=0,與工軸的交點為。（0,0）；

此時|。4|=4,|0同=殍，［48|=容，

所以VNOB不是等腰三角形，故直線/存在斜率；

設2關于夕軸的對稱點為,o］,

當直線/過A,C兩點時，［45|=|/C|,V4BC是等腰三角形，

—TT

同時直線48的斜率為6,傾斜角為w，所以V4BC是等邊三角形，

2L+Z=i

所以|/。|=忸。|,此時直線/的方程為且4，化簡得瓜+y—4=0，

所以直線/￡?,即直線/的斜率為走,

3

止匕時方程為y=—^―x+4，整理得6x-3y+12=0；

所以直線/的方程可能為：瓜+y-4=0或氐-3y+12=0

故選：AD.

10.已知數列｛%｝的前〃項和為s“，則下列說法中正確的是（）

A.若S）,=/,則｛4｝是等差數列

8

B.若S〃=2",則｛%｝是等比數列

C.若｛%｝是等差數列，則星025=2025?1013

D.若｛%｝是等比數列，且%〉0,則邑小邑一>S；"

【答案】AC

【解析】

【分析】利用S0和%的關系即可判斷A,B選項；利用等差數列的求和公式即可判斷C選項；通過舉例

即可判斷D選項.

【詳解】對于A,若Sa="2,則當"〉1時，an=Sn-Sn_t=2n-],

當〃=1時，ax=Sx=\,符合an=2n-1,故=2〃-1,

則｛%｝是等差數列，故A正確；

對于B,若S"=2〃，則％H=2,a2=S2—Sx=2,tz3=53—52=4,

故”豐巴，｛%｝不是等比數列，故B錯誤；

a｛a2

對于C,若｛%｝是等差數列，則$2025=2025（1+4025）=202%⑼3，故c正確；

對于D,若%=1,符合｛%｝是等比數列，且%〉0,

22

此時SzS2n+i=（2n-l）（2n+l）=4n-l,S；“=4n,

不滿足?$20+1>S；“，故D錯誤.

故選：AC

11.已知圓2x=0和圓Q：/+/+2x—4y=0,則下列結論中正確的是（）

A,圓已與圓Q相交

B.圓01與圓。2的公共弦所在的直線方程為X一了=0

C.圓與圓Q的公共弦AB的垂直平分線方程為X+V-1=O

D.若為圓&與圓&的公共弦，尸為圓a上的一個動點，則△刃8面積的最大值為1+8

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據圓的一般方程確定圓心、半徑，判斷IQQI，？々的關系判斷A,兩圓方程相減求相交線方

程判斷B；應用點斜式寫出公共弦的垂直平分線方程判斷C；數形結合判斷使△RB面積最大時P點

的位置，進而求最大面積判斷D.

【詳解】由題設a：o—i）2+>2=i,則a（i,o）,半徑外=1,

。2：（》+1）2+0—2）2=5,則a（T，2），半徑々=病，

所以|0021=20e（布—1,6+1）,兩圓相交，A對；

兩圓方程相減，得公共弦48所在直線為x-y=0,B對；

2-0

公共弦45的垂直平分線方程為y=------a—1）=—a—1）,即x+y—l=0,C對；

-1-1

如下圖，若。與8重合，而到X—了=0的距離d=W，且|4B|=2x1」=逝，

1

要使△融8面積最大，只需尸到AB的距離最遠為d+4=+1，

所以最大面積為Lx亞x（3+1）=±2,D錯.

2V22

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/的方向向量為（1,2）,且直線/經過點（2,-3）,則直線/的一般式方程為.

【答案】2x-y-7=0

【解析】

【分析】根據點斜式求得直線方程，并化為一般式.

10

【詳解】直線/的方向向量為（1,2）,

所以直線/的斜率為2,

所以直線方程為>+3=2（x—2）=2x—4,2x—7―7=0.

故答案為：2x-j-7=0

13.圓C：x2+v2-6x+5=0,P（x（）,yo）為圓C上任意一點，則％■的最大值為.

［答案］冬5##2石

55

【解析】

【分析】設&=左，則直線為=依。與圓有公共點，聯立方程消元后，利用判別式即可得解.

xo

【詳解】設取=左，則%=也，

xo

聯立'廠2°_,消元得（1+公房—6%+5=0,

由A=36—2O（1+F）?o,解得—巫《kg空,

所以為的最大值為境.

/5

故答案為：正

5

14.已知等比數歹U｛%｝的前〃項和S“=2"-a,〃eN+，貝ij。=；設數列｛log后％｝的前〃項和

為北，若7；〉5〃+/1對〃eN+恒成立，則實數入的取值范圍為.

【答案】①.12<-9

【解析】

【分析】根據等比數列的性質,結合Sn=2"-a,有（2-a）（2f=2"-a,即可求a值,進而有an=2"二

即logg%=2（〃-1）,

11

結合7；〉5〃+2對〃eN+恒成立求X的范圍即可.

【詳解】由等比數列｛%｝的前〃項和S“=2〃-。知，#1,

所以王=41匕心=2〃一。，所以q=2,

i-q

而q=工=2-a,q-2,

???(2—Q)(2〃—1)=2〃—a,即a=l,

由上知：an=2"T,則log挺4=2(〃—1),

...%=[0+2(7)=n2_n>5n+A>

即X</-6〃=(〃-3)2-9,〃eN+,

當〃=3時，(〃—3>—9,〃eN+的最小值為—9,

所以X<—9.

故答案為：1；2<-9

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知直線4:x+(2加一2)y=0,Z2:2mx+y-2=0,且滿足/i，/2，垂足為C.

(1)求加的值及點C的坐標.

(2)設直線/1與x軸交于點A,直線42與x軸交于點3,求V48C的外接圓方程.

【答案】(1)m=1;

(2)(x-l)2+y2=l

【解析】

【分析】(1)根據題意，求得兩直線的斜率，結合片=-1,求得加=,，得出直線的方程，聯立方

2

程組，求得交點坐標.

(2)由(1)中的直線方程，求得4(0,0),5(2,0),得到V48C的外接圓是以48為直徑的圓，求得

圓心坐標和半徑，即可求解.

【小問1詳解】

解：顯然加wl,可得左=-----—,k,=-2m,

2m-2

12

由可得/》2=T，即（_二彳）（_2加）=T，解得加=；，

所以直線4：x-y=Of直線，2：x+y-2=0f

x-y=O[x=l/、

聯立方程組<-c八，解得<,，所以點c。/）.

x+y-2=0[y=l

【小問2詳解】

解：由直線/1：x—>=0,直線/x+v-2=0,可得/（0,0）,8（2,0）,

所以V48c的外接圓是以4B為直徑的圓，可得圓心（1,0）,半徑r=g|4B|=l,

所以V4BC的外接圓方程是（x—if+j?=L

16.設｛4｝是等差數列，也｝是各項都為正數的等比數列，且4=4=1,a3+b5=21,%+4=13.

（1）求｛4｝,也｝的通項公式；

（2）求數列｛%+4｝的前〃項和J.

【答案】⑴an=2n-\,b“=2"T；

（2）S0=/+2"—1.

【解析】

【分析】（1）設公差為d,公比為4（q>0）,根據已知列出方程可求出d=2,q=2,代入通項公式,

即可求出結果；

（2）分組求和，分別求出｛4｝和｛〃｝的前〃項和，加起來即可求出結果.

【小問1詳解】

設｛%｝公差為d,也｝公比為q（g>o）,因為q=4=1,

貝!]由生+4=21可得，l+2d+q4=21,即q4=20—2d,

由%+a=13可得，1+44+/=13,解得/=12—4d,貝Ud<3.

所以有/=20—24=（12—4d『，整理可得8/—474+62=0，

31

解得4=2或1=一〉3（舍去）.

13

所以d=2,貝Uq2=i2—4x2=4,解得q=±2(舍去負值)，所以q=2.

所以有4=1+2(〃—1)=2〃—1,〃=1X2"T=2。

【小問2詳解】

由(1)知，an=2n-l,b“=2"T,則%+b“=2〃一1+2~.

S"=(%+2)+(4+&)+L+(%+b")=°i+a2+---+an+b[+4+…+b“

1x(1—2")

…2n

=77X1+=n+2-l.

-1^2-

17.已知圓C：x?+「一4x—4y-加一10=0,點P（1,O）.

（1）若掰=-17,過尸的直線/與C相切，求/的方程；

（2）若。上存在到尸的距離為1的點，求機的取值范圍.

【答案】⑴x=l或3x-4y-3=0

（2）[-12-275,-12+2^5]

【解析】

【分析】（1）對直線/的斜率是否存在討論，根據直線與圓的位置關系列式運算;

r-\<d<r+1

（2）要使圓C上存在到點P的距離為1的點，則圓心C到P（l,0）的距離d滿足,

m+18>0

運算得解.

【小問1詳解】

因為機=—17,所以圓。的方程為（-2）2+（y-2）2=1

①當/的斜率不存在時，/的方程為x=l,與圓C相切，符合題意；

②當/的斜率存在時，設/的方程為y=k（x—1）,即日―y—左=0,

圓心C到/的距離4=匕^^=*^=1,解得左=：,

yjk~+\yjk2+l4

3

則/的方程為y=W（xT），即3x—4y—3=0,

綜上可得，/的方程為x=l或3x—4y—3=0.

【小問2詳解】

14

由題意可得圓c：（x-2）2+（y-2）2=m+18,圓心C（2,2）,半徑廠=標下，

則圓心C到P（1,O）的距離d=J（2—if+（2—0）2=小，

要使C上存在到P的距離為1的點，

,r-\<d<r+lU/n+18-1<V5<Vm+18+1

則<八，即《，

\m+18>0Im+18>0

解得—12—2指W加W—12+26，

所以加的取值范圍為[—12—2君12+2jf].

18.已知數列｛%｝滿足：?+*+*■+…+*=N*）,數列也｝滿足6=〃/0.

2222“〃十/

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）求”+4oo.“的值；

（3）求4+4+■1---H699的值.

【答案】（1）%=2〃

1

⑵源

⑶胃

251

【解析】

【分析】（1）根據題意，當〃22時，可得幺+與+*+…+智=”—1,兩式相減，求得見=2",

2222

再由"=1,得到q=2,即可求得數列｛冊｝的通項公式.

（2）由（1）得或=2允125。，結合指數幕的運算法則，即可求得d+Aoo-"的值；.

（3）由（2）知〃+Ao（）_“=5、，結合倒序相加法，即可求解.

【小問1詳解】

由數列｛an｝滿足：?+:■+寸---）,

當〃22時，可得&+與+…+%=〃—1,

222232"i

兩式相減，可得務=1，所以%=2”,

15

當〃=1,可得今■=：1,所以q=2,適合上式,

所以數列｛%｝的通項公式為%=2".

【小問2詳解】

,11

由數列｛%｝滿足〃=50=°050，

+22+2

則

1112"

w5o+1

bn+4oof222'

+00-w+2502"+2‘°2100+250-Z

2"+2501

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