九年級下1.5三角函數的應用課題1.5三角函數的應用單元第一單元學科數學年級九年級學習目標1.通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解決問題過程中的作用；2.能夠建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．重點靈活運用銳角三角函數解決實際問題.難點靈活運用銳角三角函數解決實際問題.教學過程教學環節教師活動學生活動設計意圖回顧知識導入新課知識探究直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關系后，接著又為我們展現了在它的世界中的邊角關系，它使我們現實生活中不可能實現的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個問題(多媒體演示泰坦尼克號).【思考問題】與方向角有關的實際問題 如圖，海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達該島的南偏西25°的C處.之后，貨輪繼續向東航行. 你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎? 請與同伴交流你是怎么想的?怎么去做? 解：要知道貨輪繼續向東航行途中有無觸礁的危險，只要過點A作AD⊥BC的延長線于點D，如果AD>10海里，則無觸礁的危險. 根據題意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.設AD=x海里.∵tan55°=BDX，tan25°=∴BD=xtan55°，CD=xtan25°∴xtan55°-xtan55°=20∴x=20tan答：貨輪繼續向東航行途中沒有觸礁的危險.學生思考并回答問題.并跟著教師的講解思路思考問題，并探究知識.導入新課，利用導入的例子引起學生的注意力.講授新課例題講解從剛剛思考問題探究中，我們可以發現：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；（2）根據條件的特點，適當選用銳角三角形函數等去解直角三角形；（3）得到數學問題的答案；（4）得到實際問題的答案．【思考問題】與仰角、俯角相關的測量與計算 如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為300,再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為600，那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計,結果精確到1m).現在你能完成這個任務嗎?要解決這問題，我們仍需將其數學化.請與同伴交流你是怎么想的?準備怎么去做?解:如圖，根據題意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,則∠ADC=60°,∠BDC=30°,設CD=xm.∵tan∠ADC=ACX，tan∠BDC=∴AC=xtan60°，BC=xtan30°∴xtan60°-xtan30°=50∴x=20tan60°-tan答:該塔約有43m高.【思考問題】利用傾斜角解決實際問題 某商場準備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來的40°減至35°,已知原樓梯的長度為4m,調整后的樓梯會加長多少?樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.01m). 1.現在你能完成這個任務嗎? 2.請與同伴交流你是怎么想的?準備怎么去做?可以將實際問題轉化成數學問題，再解決.轉化后的問題：如圖，根據題意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的長.(2)AD的長.解：（1）∵sin40°=BCBD，∴BC=BD∵sin35°=BC∴AB=BCsin60°∴AB-BD≈4.48-4=0.48（m）答:調整后的樓梯會加長約0.48m.（2）∵tan40°=BCDC，∴DC=∵tan35°=BCAC，∴AC=∴AD=AC-DC=BC（1tan35°-=BDsin40°（1tan35°-1tan答:樓梯多占約0.61m長的一段地面.【小結】用三角函數知識解決問題的一般步驟：（1）通過讀題把已知轉化為數學圖形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）選擇合適的銳角三角函數求未知數；（4）解題.結合導入的思考和老師的講解，利用探究學會用銳角三角函數解決實際問題.老師在例題講解的時候，自己先思考，然后再聽老師講解.講授知識，讓學生熟練利用探究會用銳角三角函數解決實際問題.鞏固加深對知識的理解與應用，也讓學生知道本節課的學習內容和重點.隨堂練習隨堂練習隨堂練習1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別記作a，b，c.(1)直角三角形的三邊之間的關系為a2+b2=c2(勾股定理)_；(2)直角三角形的兩個銳角之間的關系為_∠A+∠B=90°；(3)直角三角形的邊和銳角之間的關系為sinA＝__ac__，cosA＝__bc__，tanA＝__ab__，tanB＝__2．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為(c) A．402海里 B．403海里 C．80海里 D．406海里 3.如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B，C兩地之間的距離為(A) A．1003m B．502m C．503m D.100334.某中學初三年級學生開展測量物體高度實踐活動，要測量一幢建筑物AB高度．如圖，他們先在點C處測得建筑物AB頂點A的仰角為30°，然后向建筑物AB前進20m到達點D處，又測得點A的仰角為60°，則建筑物AB的高度是多少m？（結果用根式表示）解：設DB=xm，則在Rt△ADB中，AB=xtan60°=3xm，在Rt△ACB中，3xx+10=tan30°，即3x整理得，3x=x+10，解得，x=5，則AB=53m．故，建筑物AB的高度是53m 5.某日，一架直升飛機前往救援一艘剛在南海巡航的漁政船．當飛機到達距離海面3000米的高空C處，測得A處漁政船的俯角為60°，測得B處發生險情漁船的俯角為30°， 請問：此時漁政船和漁船相距多遠？(結果保留根號)解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CDtan∠ACD＝10003

(米)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CDtan∠BCD＝30003

(米)∴AB＝BD－AD＝20003

(米)答：此時漁政船和漁船相距20003米. 6.如圖4-21，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東30°方向上.已知在燈塔C的四周30km內有暗礁．問這艘船繼續向東航行是否安全？解：作CD⊥AB，交AB延長線于點D．設CD=x.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan同理，在Rt△BCD中，AD=CDtan∵AB=AD-BD，∴xtan30°-xtan又203≈34.64>30.因此，該船能繼續安全地向東航行．學生自主完課堂練習中的練習，然后在做完之后根據老師的講解進一步鞏固知識.學生自主完課堂練習中的練習，然后在做完之后根據老師的講解進一步鞏固知識.借助練習，檢測學生的知識掌握程度，同時便于學生鞏固知識.借助練習，檢測學生的知識掌握程度，同時便于學生鞏固知識.中考鏈接 1.某小區為了安全起見，決定將小區內的滑滑板的傾斜角由45°調為30°，如圖，已知原滑滑板AB的長為4米，點D，B，C在同一水平地面上，調整后滑滑板會加長多少米？（結果精確到0.01米，參考數據：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449） 解：在Rt△ABC中，AC＝AB?sin45°＝4×22=2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝22，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝42，AD﹣AB＝42-4≈1.66．答：改善后滑板會加長1.66米． 2.如圖，億隆小區內有一條南北方向的小路MN，某快遞員從小路旁的A處出發沿南偏東53°方向行走258m將快遞送至B樓，又繼續從B樓沿南偏西30°方向行走172m將快遞送至C樓，求此時快遞員到小路MN的距離．（計算結果精確到1m．參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73） 解：過B作BD⊥MN于D，過C作CE⊥MN于E，過B作BF⊥EC于F， 則四邊形DEFB是矩形，∴BD＝EF，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m， ∴BD＝AB?sin53°＝258×0.8＝206.4，在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172， ∴CF=12BC＝86 ∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4m，答：快遞員到小路MN的距離是120.4m．學生自主完課堂練習中的練習，然后在做完之后根據老師的講解進一步鞏固知識.借助練習，檢測學生的知識掌握程度，同時便于學生鞏固知識.課堂小結在課堂的最后，我們一起來回憶總結我們這節課所學的知識點：1.用三角函數知識解決實際問題的一般步驟：（1）通過讀題把已知轉化為數學圖形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）選擇合適的銳角三角函數求未知數；（4）解題.2.三角函數的應用：（1）與方向角有關的實際問題；（2）與仰角、俯角相關的測量與計算；（3）利用坡角解決實際問題.跟著老師回憶知識，并