專題09解三角形【考點專題】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．3．測量中的有關幾個術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ方法技巧圖形關系式a<bsinAbsinA<a<ba＝bsinA或a≥b解的個數無解兩解一解【核心題型】題型一：正余弦定理1．（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．22．（2023·四川內江·統考一模）SKIPIF1<0的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·內蒙古赤峰·統考模擬預測）已知SKIPIF1<0的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為D，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：邊角互化4．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校聯考階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<05．（2022·全國·高三專題練習）秦九韶是我國南宋數學家，其著作《數書九章》中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻．秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·山西呂梁·統考二模）銳角SKIPIF1<0是單位圓的內接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：三角形面積公式巧用7．（2023·廣西柳州·二模）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．38．（2023·廣西柳州·統考模擬預測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，若角A的內角平分線SKIPIF1<0的長為3，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．21 B．24 C．27 D．369．（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：解三角形的實際應用10．（2023·四川涼山·統考一模）我國古代數學家劉徽在其撰寫的《海島算經》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領先印度500多年，領先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島SKIPIF1<0的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，均垂直于地面），使目測點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，目測點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，測出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出島高SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離（如圖）．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則海島的高SKIPIF1<0（

）A．18 B．16 C．12 D．2111．（2022·四川南充·統考一模）某工廠的煙囪如圖所示，底部為SKIPIF1<0，頂部為SKIPIF1<0，相距為SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在同一水平線上，用高為SKIPIF1<0的測角工具在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位置測得煙囪頂部SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0處的仰角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在同一條水平線上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則煙囪的高SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·江西·江西師大附中校考三模）地處贛江東岸的騰王閣與岳陽樓?黃鶴樓并稱為“江南三大名樓”，是中國古代四大名樓之一?“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“西江第一樓”.“云銷雨霽，彩徹區明.落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色.漁舟唱晚，響窮彭蠡之濱；雁陣驚寒，聲斷衡陽之浦”是唐代文學家王勃對騰王閣的生動描寫.某位游客（身高忽略不計）從地面D點看樓頂點A的仰角為30°，沿直線前進72米到達E點，此時看點C的仰角為45°，若SKIPIF1<0，則樓高AB約為（

）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米題型五：解三角形的綜合應用13．（2023·全國·校聯考模擬預測）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.14．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）在銳角三角形SKIPIF1<0中,角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0,向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小;(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范圍.15．（2023·全國·高三專題練習）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內的一點，SKIPIF1<0記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0記為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中的對邊分別記為m，n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長和SKIPIF1<0面積的最大值.【高考必刷】一、單選題16．（2023·四川內江·統考一模）SKIPIF1<0的內角A、B、C所對的邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·安徽黃山·統考一模）在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,O是SKIPIF1<0的外心,則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<018．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據某地的地理位置設計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2022·浙江杭州·模擬預測）在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0外接圓的周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．20 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<021．（2022秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考期末）在SKIPIF1<0中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段CD長度的最小值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<022．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0）的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上一點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的內切圓的半徑SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的離心率）的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題24．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）在SKIPIF1<0中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則B的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2022·湖北·荊門市龍泉中學校聯考一模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，BC邊上的中線SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（

）A．SKIPIF1<0為定值 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為30°26．（2022·全國·模擬預測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以下四個命題中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的取值范圍為SKIPIF1<0C．已知M是邊BC的中點，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<027．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0邊上的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列選項正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．角SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0三、填空題28．（2023·內蒙古赤峰·統考模擬預測）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0的對邊長分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則b的值為______．29．（2023·浙江·永嘉中學校聯考模擬預測）我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式.在SKIPIF1<0中，設SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0的對邊，S表示SKIPIF1<0的面積，其公式為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.30．（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為______.31．（2023·安徽·校聯考模擬預測）雙紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段AB長度為2a，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的軌跡稱為雙紐線．已知曲線SKIPIF1<0為雙紐線，若S