第五章

平面向量、復數1考情分析考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養平面向量的線性運算掌握2023年全國甲卷（理）

2023年天津卷

2022年新高考Ⅰ卷

2020年新高考Ⅱ卷

★★☆數學運算直觀想象共線向量定理及其應用理解2021年全國乙卷（文）

★★☆數學運算直觀想象命題分析預測從近幾年高考的情況來看，平面向量的概念及其線性運算一般以選擇題或填空題的形式出現，常與其他知識交匯考查，試題較為簡單.5.1平面向量的概念和線性運算1.向量的有關概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____(或稱

).(2)零向量：長度為

的向量，記作

.(3)單位向量：長度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量

.(5)相等向量：長度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長度相等且方向

的向量.方向長度模001個單位長度相反平行相同相反2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________.(2)結合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數乘規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa(1)|λa|＝________；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使__________.b＝λa4.對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.題型一平面向量的基本概念例1

(1)(多選)下列說法正確的是√√√√題型二平面向量的線性運算角度1平面向量的加、減運算的幾何意義例2

(1)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結論正確的是(

) A.a∥b

B.a⊥b C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b√

題型二平面向量的線性運算A.3m－2n

B.－2m＋3nC.3m＋2n

D.2m＋3n角度2向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型二平面向量的線性運算√題型三

共線定理及其應用例5

(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________.

3

爪型問題爪型問題ABCGDE爪型問題爪型問題爪型問題爪型問題5.2平面向量基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的任一向量a，

一對實數λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個

.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e23.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則

坐標即為向量的坐標.終點(x2－x1，y2－y1)4.平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝01.若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.5.2坐標表示1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一個基底.(

)(2)基底中可以含有零向量.(

)(4)平面向量不論經過怎樣的平移變換，其坐標不變.(

)×××√5.2坐標表示題型一：基底判斷2.若e1，e2是平面內一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能構成平面內所有向量的一個基底的是A.e1與e1＋e2

B.e1－2e2與2e1＋e2C.e1－2e2與e1＋2e2

D.e1－e2與e2－e1例1

(1)設{e1，e2}為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是√√題型二：坐標運算√題型二：坐標運算√√題型二：向量共線的坐標表示例3

(1)(2023·濟寧模擬)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b與a共線，則m＝______.(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分別為AB，BC中點，則AF與CE的交點坐標為________.

題型二：向量共線的坐標表示跟蹤訓練3

(1)(2024·景德鎮模擬)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為______.2（2，4）5.3平面向量的數量積1.向量的夾角∠AOB2.平面向量的數量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量

叫做向量a與b的數量積，記作

.|a||b|cosθa·b5.3數量積3.平面向量數量積的幾何意義投影投影向量|a|cosθ

e4.向量數量積的運算律(1)a·b＝

.(2)(λa)·b＝

＝

.(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)a·c＋b·cλ(a·b)5.平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.

幾何表示坐標表示數量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_____|a|＝________x1x2＋y1y2

幾何表示坐標表示夾角cosθ＝_____cosθ＝________________a⊥b的充要條件a·b＝0______________|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x1x2＋y1y2＝01.平面向量數量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是

.(

)(2)若a，b共線，則a·b＝|a|·|b|.(

)(3)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的結果是向量.(

)(4)若a·b＝a·c，則b＝c.(

)×××√題型一：平面向量數量積的基本運算題型一：平面向量數量積的基本運算以B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則C(2,0)，D(1,2)，題型二：平面向量數量積的應用命題點1向量的模②幾何法：利用向量的幾何意義.題型二：平面向量數量積的應用命題點2向量的夾角例3

(2023·深圳模擬)已知a，b為單位向量，且|3a－5b|＝7，則a與a－b的夾角為題型二：平面向量數量積的應用命題點3向量的垂直例4

(2023·新高考全國Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1題型二：平面向量數量積的應用命題點4向量的投影題型二：平面向量數量積的應用命題點4向量的投影例6

(多選)(2023·東莞模擬)在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況.假設行李包所受的重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F2，若|