第三章變量與函數

§3.1位置的確定與變量之間的關系

考點1平面直角坐標系內點的坐標特征

1.(2021廣西北部灣經濟區,7,3分)平面直角坐標系內與點氣3,4)關于原點對稱的點的坐標是()

A.(-3.4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

答案B旦3,4)關于原點對稱的點的坐標是(?3,~4),故選B.

2.(2021四川成都43分)在平面直角坐標系X。中，點M-4,2)關于x軸對稱的點的坐標是()

A.(-4,2)B.(4,2)

C.(-4,-2)D.(4,-2)

答案C點M-4,2)關于x軸對稱的點的坐標是(ZH).

方法總結點Hx,必關于x軸對稱的點的坐標為(x,%.

點HxM關于y軸對稱的點的坐標為(一,必

點關于原點對稱的點的坐標為(十,-必.

3.(2021海南,7,3分)如圖，點4B、C都在方格紙的格點上，若點2的坐標為(0,2),點8的坐標為(2,0),則點C

的坐標是()

A.(2,2)B.(1,2)C.(1,1)D.(2,1)

答案D根據/與8兩點的坐標確定坐標原點的位置,作平面直角坐標系如圖所示，從而確定。的坐標是

(2,1),故選D.

4.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐標系中，將點耳3,2)向下平移2個單位長度得到的點的坐標是

()

A.(3,0)B.(1,2)C.(5,2)D.(3,4)

答案A將點83,2)向下平移2個單位長度，橫坐標不變，縱坐標減2,.??平移點尸后得到的點的坐標為(3,0).

故選A.

方法指導將點向左平移〃個單位長度，縱坐標不變，橫坐標減已將點向右平移"個單位長度，縱坐標不變，橫

坐標加〃將點向上平移/7個單位長度，橫坐標不變，縱坐標加已將點向下平移〃個單位長度，橫坐標不變，縱坐

標減n.

5.(2020廣西北部灣經濟區,17,3分)以原點為中心，把點M3,4)逆時針旋轉90得到點N則點/V的坐標

為.

答案(-4,3)

解析如圖所示，連接OM、ON、作例軸于＞4,/V8LX軸于B,

由旋轉的性質可知且OM^ON、

故/1+/2=90：又3+/3=90：

所以/2=/3,所以△NBO、

所以BN=OA=3QB=AM=4,

故M43).

6.(2021貴陽,14,4分)如圖,在平面直角坐標系中，菱形/8CZ?對角線的交點坐標是0(0,0),點8的坐標是(0,1),

且80=正，則點A的坐標是.

答案(2.0)

解析在菱形488中,8084408。，

為直角三角形，

又.8點坐標是(0,1),反＞75,

..8O=1,8A=V5,

???根據勾股定理得OA=y/BA2-B02=J(V5)2-l2=2,

.??點2的坐標是(2,0).

解后反思本題涉及菱形的性質，平面直角坐標系點的坐標，勾股定理等知識，關鍵是利用菱形對角線的互相

垂直，再根據勾股定理求出相應線段的長.

7.(2021山西,12,3分)如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數突出的齒.將其放在平面直

角坐標系中，表示葉片“頂部”48兩點的坐標分別為(-2,2),(-3,0),則葉桿“底部’點。的坐標為

答案(2,?3)

解析根據點力和點5的坐標可作平面直角坐標系如圖,可知點。的坐標為（2,?3）.

8.（2021湖北宜昌,13,3分）如圖,在平面直角坐標系中，將點4?1,2）向右平移2個單位長度得到點8,則點B關

于x軸的對稱點。的坐標是

答案(1,-2)

解析?.將點4-1,2）向右平移2個單位長度得到點&?.點夕的坐標為（1,2）,則點8關于x軸的對稱點C的坐

標是(1-2).

考點2函數的概念及三種表示方法

1.（2019內蒙古包頭,5,3分）在函數片備WFTT中,自變量x的取值范圍是（）

A.A>-1B.A>-1

C.A>-1且A*2D.A>-1且A*2

答案D由題意可得產：：瀘'解得拾且有2.故選D.

2.（2020湖北武漢,8,3分）一個容器有進水管和出水管，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數.從某時刻開始4

min內只進水不出水，從第4min到第24min內既進水又出水，從第24min開始只出水不進水，容器內水量

乂單位:L）與時間必單位:min）之間的關系如圖所示，則圖中a的值是（）

A.32B.34C.36D.38

答案C由題圖可知每分鐘的進水量為弓=5L,設每分鐘的出水量為〃L,則（5-功（16~4尸35-20=15,解得

后半，第24min時，尸35+（24-16）x（5?日）=45,45+弓=12,，a=24+12=36.

思路分析由點（4,20）、（16,35）及題意可求每分鐘的進水量和出水量,再求第24min時容器內水量匕然后求

出第24min后容器內水流完所用的時間即可求出a.

3.（2021黑龍江齊齊哈爾,6,3分）某人駕車勻速從甲地前往乙地，中途停車休息了一段時間，出發時油箱中有

40升油，到乙地后發現油箱中還剩4升油,則油箱中所剩油乂升）與時間4小時）之間函數圖象大致是

答案C駕車勻速從甲地前往乙地，單位時間內油箱中油的減少量是不變的，中途停車休息時油箱內剩余油

量不變，選項C中的函數圖象符合.故選C.

4.（2021新疆,9,5分）

如圖,在矩形48。中，力氏8cm,40=6cm.點尸從點力出發，以2cm/s的速度在矩形的邊上沿力一%d。

運動，當點尸與點。重合時停止運動.設運動的時間為《單位:s）,△/尸。的面積為w單位:cm2）,則S隨f變化的

函數圖象大致為（）

答案D當0</<4時，點尸在力8邊上，后x6x2V6￡當4VM7時，點尸在5c邊上，總'6x8=24;當7</<11

時，點尸在CZ?上,后、6*[8-2佯7）]:666.符合條件的函數圖象只有D.

思路分析由點尸的速度可知，點尸到8點需4s,至ijC點需7s,到。點需11s,所以分三段:0W￡4,4vM7,7q

<11分別求函數解析式即可判斷.

5.（2021甘肅武威,10,3分）如圖1,在“8C中,2S=8C,血力C于點.動點例從4點出發，沿折線

為外8c方向運動，運動到點。停止.設點例的運動路程為尤心力例。的面積為yj與x的函數圖象如圖2,則

/C的長為（）

B

圖I圖2

A.3B.6C.8D.9

答案B由題圖2得點例運動的總路程為2舊,

"AB+B82底,

又:AB=BC,

:.AB=\[13.

由題圖2得△/A/D的面積的最大值為3,

又.,當點例運動到點8時例。的面積最大,

?'/最大

AD

在RM/48。中,2。2+改了二川岳,

“f13,

.?.GC）2-13/a+36=0,

解得AD^=4或/。=9,

:.AD=2或3,

當AD=2時，皿*=3（舍去）;

當AD=3時,8。=捻=2.

AD

:AB=BC,BDiAC,

.Q為4C中點,./。=24>6.

6.（2021湖北黃岡,8,3分）如圖,/C為矩形48C。的對角線，已知47=3。。=4,點尸沿折線C-e。以每秒1

個單位長度的速度運動（運動到。點停止），過點尸作PEiBC千點、￡則在的面積y與點尸運動的路程x

間的函數圖象大致是（）

答案D.?四邊形28。。是矩形

22

:.zD=^B=90°t:.AO>jAD+CD=5.

當尸在C4上，即O0K5時.

?.?-8=90o,zPCE=zACB,

RPC-ACB,

.PC_CE_PE

■'AC~CB~AB'

即I喈哼尸畛.

.?看護￡存■**^??函數圖象為開口向上的拋物線，故排除選項A、C.

當尸在47上，即5<A<8時.易知PE=CD=4,

CE=PD=3-x,:.y=^PE-C^X4(8-A)=16-2^,

.?函數圖象為直線，故排除選項B.故選D.

方法指導判斷動點問題的函數圖象時，可先根據題目中的已知條件,確定自變量與因變量對應的幾何量，再

利用幾何圖形的性質，把兩個變量聯系起來,通常借助三角形面積公式或相似三角形的性質來得到自變量與

因變量之間的函數關系式，從而判斷它是哪種類型的函數.

7.(2020重慶A卷,17,4分)48兩地相距240km,甲貨車從/地以40km/h的速度勻速前往8地，到達8地

后停止.在甲出發的同時，乙貨車從8地沿同一公路勻速前往A地，到達/地后停止.兩車之間的路程Rkm)與

甲貨車出發時間*h)之間的函數關系如圖中的折線CDD6E尸所示.其中點C的坐標是(0,240),點。的坐標

是(2.4,0),則點E的坐標是.

答案(4,160)

解析因為點。的坐標是(2.4,0),所以出發2.4小時后兩車相遇，所以乙車的速度P乙=240-宗40=60km/h,因

為E為轉折點，說明這時乙到達了/地,用時答=4h,此時甲所走的路程為40x4=160km,所以￡(4,160).

思路分析本題主要是理解兩個轉折點的意義.點。說明出發2.4小時后兩車相遇,從而可求得乙的速度.點E

說明此時乙到達了/地，從而通過乙車行駛時間，確定了甲車的行駛時間和路程,從而可求得點E的坐標.

8.(2021重慶A卷,22,10分)在初中階段的函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合圖象

研究函數性質及其應用的過程.以下是我們研究函數片言的性質及其應用的部分過程，清按要求完成下列

各小題.

⑴請把下表補充完整，并在給出的圖中補全該函數的大致圖象;

x...-5-4-3-2-1012345

2

4-x21121八3，

0

/x2+l261722

(2)請根據這個函數的圖象，寫出該函數的一條性質;

(3)已知函數尸部3的圖象如圖所示.根據函數圖象，直接寫出不等式令+3>笫的解集.(近似值保留一位小

數，誤差不超過0.2)

解析⑴表格中的數據，從左到右,依次為用，措.

4L1//O

函數圖象如圖所示.(5分)

(2)①該函數的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸;

②該函數在自變量的取值范圍內，有最大值，當A=0時，函數取得最大值4;

③當那0時7隨x的增大而增大;當A>0時/隨x的增大而減小.(以上三條性質寫出一條即可)(7分)

⑶A<?0.3或1<A<2.

注:當不等式解集端點值誤差在±0.2范圍內，均給相應分值.（10分）

考點3與函數有關的應用型問題

1.（2021海南,12,3分）李叔叔開車上班，最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘,為了按時到單

位，李叔叔在不違反交通規則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛，則汽車行駛的路程乂千米）與行駛的時間

4小時）的函數關系的大致圖象是（

A

B

C

D

答案B由選項中的圖象可知，橫軸表示行駛的時間4小時）,縱軸表示汽車行駛的路程乂千米），因為李叔叔

先勻速行駛，中途停了幾分鐘，再加快速度保持勻速行駛，所以選項B中的圖象符合題意，故選B.

解題關鍵解決本題的關鍵是要看清楚橫軸、縱軸表示的意義，再根據題目的描述進行判斷.

2.(2021重慶A卷,8,4分)甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛，兩架無人機同時與

速上升10s.甲、乙兩架無人機所在位置距離地面的高度K單位:m)與無人機上升的時間M單位:s)之間的關

系如圖所示.下列說法正確的是()

A.5s時,兩架無人機都上升了40m

B.10s時，兩架無人機的高度差為20m

C.乙無人機上升的速度為8m/s

D.10s時,甲無人機距離地面的高度是60m

答案B由題圖可知,5s時，乙無人機上升的高度為40?20=20(m),故A說法錯誤.

設甲的函數解析式為片例依0),將(5,40)代入得40=5&所以攵=8,故甲的函數解析式為片8%當；r=10時/甲

=80m,故D說法錯誤.

設乙的函數解析式為片/77盧20(/77*:0),將(5,40)代入得40=5辦20,所以777=4,故乙的函數解析式為尸4m20,

當A=10時yz；=60m.

由y甲二80m,y乙二60m,可知10s時，兩架無人機的高度差為20m,故B說法正確.

乙無人機從0STs上升的高度為40-20=20(m),

所以-乙=?=4m/s,故C說法錯誤.故選B.

3.(2019新建,21,10分)某水果店以每千克8元的價格購進蘋果若干千克，銷售了部分蘋果后，余下的蘋果每千

克降價4元銷售，全部售完.銷售金額乂元)與銷售量*千克)之間的關系如圖所示.請根據圖象提供的信息完成

下列問題：

(1)降價前蘋果的銷售單價是元月克；

（2）求降價后銷售金額乂元）與銷售量M千克）之間的函數解析式,并寫出自變量的取值范圍;

（3）該水果店這次銷售蘋果盈利了多少元？

解析(1)16.(2分)

⑵由題意得片640+(16~4)(*40)=12m160.(6分)

當片760時,A=50.

???自變量的取值范圍是400/50.（8分）

(3)760-50x8=360(元),

???該水果店這次銷售蘋果盈利了360元.（10分）

4.（2021江蘇南京,24,8分）甲、乙兩人沿同一直道從力地去8地.甲比乙早1min出發，乙的速度是甲的2倍.

在整個行程中，甲離力地的距離%（單位:m）與時間*單位:min）之間的函數關系如圖所示.

（1）在圖中畫出乙離力地的距離及（單位:m）與時間x之間的函數圖象;

（2）若甲比乙晚5min到達8地,求甲整個行程所用的時間.

解析（1）如圖:

（2）設甲的速度是vm/fnin,乙整個行程所用的時間為/min,

由題意得2>々(什1+5)匕

解得/=6,

6+1+5=12(min).

答:甲整個行程所用的時間為12min.

5.(2021湖北宜昌,20,8分)甲超市在端午節這天進行蘋果優惠促銷活動,蘋果的標價為10元/kg,如果一次購

買4kg以上的蘋果，超過4kg的部分按標價6折售賣.

*單位:kg)表示購買蘋果的質量從單位:元)表示付款金額.

(1)文文購買3kg蘋果需付款元購買5kg蘋果需付款元；

(2)求付款金額y關于購買蘋果的質量x的函數解析式；

(3)當天,隔壁的乙超市也在進行蘋果優惠促銷活動，同樣的蘋果的標價也為10元/kg,且全部按標價的8折售

賣.文文如果要購買10kg蘋果，請問她在哪個超市購買更劃算？

解析(1)30;46,

⑵當00烈4時，片10x,

當A>4時，*40+10X60%X(*4尸6x+16,

.(10x(0<x<4),

?,茨人+16(*>4).

(3)當A=10時,y甲=6x10+16=76,y乙=10x10x80%=80,

???76<80,.??她在甲超市購買更劃算.

A組基礎題組

一、選擇題(每小題3分，共12分)

1.(2021遼寧沈陽沈河一模,6)在平面直角坐標系X。中，點4-1,四)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B點4?1,a）在第二象限.故選B.

2.（2021天津濱海一模,10）如圖，平行四邊形O/8C的頂點Q4C的坐標分別是。0）,（4,0）,（1,2）,則頂點8的

坐標是（）

A.(4,2)B.(5,2)C.(4,3)D.(5,3)

答案B.在。048。中,QO,0),Z(4Q),

:.OA=BC=4,

:BQiAO,

.二點8的縱坐標與點。的縱坐標相等，

.5(5,2),

故選B.

3.（2021四川成都都江堰二診,5）在平面直角坐標系中，已知點力（石力）在第二象限，則點風a,?功在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C,?點4&功在第二象限,..小。,60,???-"0,即點鳳a,-①在第三象限.故選C.

4.（2021遼寧大連甘井子一模,5）在平面直角坐標系中，點■4,2）關于y軸對稱的點的坐標是（）

A.(4,2)B.(4,-2)

C.(-4,2)D.(-4,-2)

答案C點H4,2）關于y軸對稱的點的坐標為（-4,2）,故選C.

二、填空題（每小題3分，共12分）

5.（2021遼寧沈陽大東二模,13）平面直角坐標系中，點4力在第二象限，則m的取值范圍

是

答案m<-3

解析??點4m<3,1-2。）在第二象限,

Jm+3<0,

1(l-2)n>0,

解得fTK-3.

6.（2020四川成都青白江一診,12）如圖，等邊△048的邊長為2,則點8的坐標為

答案(1.V3)

解析過點8作于點2則/8O090：

“048是等邊三角形,

:.OD=AD=^OA=^.

在RM8。。中,由勾股定理得SZ>VOF2-OD2=V2M2=V3,

.?點8的坐標為（1,6）.

7.（2021黑龍江哈爾濱道里一模,12）在函數片器中，自變量x的取值范圍是.

答案"-2

解析由題意得,產2豐0,解得A*-2.

8.（2021上海嘉定二模⑼如果點83,功在函數片擊的圖象上，那么8的值為

答案:

解析將H3,b）代入片擊，得6壯『；.

三、解答題（共26分）

9.（2020上海青浦二模,22）某湖邊健身步道全長1500米，甲、乙兩人同時從同一起點勻速向終點步行.甲先到

達終點后立刻返回，在整個步行過程中，甲、乙兩人間的距留乂米）與出發的時間M分）之間的關系如圖中折線

04-28所示.

（1）用文字語言描述點A的實際意義；

（2）求甲、乙兩人的速度及兩人相遇時x的值.

解析（1）點力的實際意義為出發20分鐘時，甲到達終點，此時甲、乙兩人相距500米.

（2）根據題意得，/甲=詈=75（米發）〃乙-1545。。=50（米發）.

依題意，可列方程得75（*20）+50（*20）=500,

解這個方程，得A=24.

答:甲的速度是75米冷，乙的速度是50米/分，兩人相遇時x的值為24.

10.(2019新疆烏魯木齊高新區一模,21)“低碳生活，綠色出行”的理念已深入人心，現在越來越多的人選擇騎自

行車上下班或外出旅游.周末，小紅與同學相約到郊外游玩，她從家出發0.5小時后到達甲地，玩一段時間后按

原速前往乙地，網到達乙地，接到媽媽電話,快速返回家中.小紅從家出發到返回家中，行進路程Mkm)隨時間

Mh)變化的函數圖象大致如圖所示.

(1)小紅從甲地到乙地騎車的速度為km/h;

(2)當1.5W/2.5時，求出路程Rkm)關于時間*h)的函數解析式，并求乙地離小紅家多少千米.

y/km「

解析⑴在OA段,小紅騎車的速度為旨20km/h,故答案為20.

⑵當1.5VK2.5時，設片20沖6,把(1.5,10)代入得,10=20x1.5+。,解得H?20,??片20*20,

當后2.5時，片20x2.5-20=30,

..乙地離小紅家30千米.

11.(2021河北承德一模,24)某學習小組在學習了函數及函數圖象的知識后,想利用此知識來探究周長一定時,

矩形的面積與邊長函數關系式的圖象.請將他們的探究過程補充完整.

(1)列函數表達式:若矩形的周長為8,設矩形的一邊長為“面積為乂則有片「

(2)上述函數表達式中,自變量x的取值范圍是;

⑶列表：

...0.511.522.533.5

...1.7533.7543.753m

寫出；

(4)畫圖:在平面直角坐標系中已描出了以上表中部分對應值為坐標的點，請你畫出該函數的圖象.

yl

解析⑴由題意得片44-M=-*+4x.

故答案為尸?*+4x.

（2）上述函數表達式中,自變量x的取值范圍是0<A<4.

故答案為0<A<4.

⑶當后3.5時，片1.75,

.1./TT=1.75.

故答案為1.75.

（4）函數圖象如圖所示：

一、選擇題（每小題3分，共12分）

1.（2020天津河西3月模擬,10）在平面直角坐標系中，將點力向上平移2個單位長度，再向左平移3個單

位長度，得到點4則點力的坐標是（）

A.（a3,2-川B.（A+3,-六2）

C.（*3,2-力D.（*3,-六2）

答案C將點向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到點力的坐標為（*3,-六2）.故選

2.（2021天津河東一模,8）如圖,四邊形048。是正方形，若點8的坐標為（0,a）,則點2的坐標是（

A(f1T)B.俘1)

答案A連接/C交08于點。如圖.

??四邊形O48C是正方形,

:.zADO=9Q0,CD=AD=^AODB=OD=\OB,

.優0,夜）,.?.出夜,

:.AD=OD=^,

H轉），

故選A.

3.（2021遼寧本溪二模,10）如圖，菱形/8C0的對角線ZC與8。相交于點O,/U4,80=8,點/V在80上運動.

過點"作印0。交A8于點E交8C于點月將尸沿&翻折得到AGEE若O/V=x，△&'G與A/18。重疊

部分的面積為乂下列圖象能正確反映y與x的函數關系的是（）

A

答案A分情況討論：

①當翻折后點G在點。的左側時（如圖①

-EF\\AC,

」BEF=ABAC/BF曰，BCA、

:?BEiBAC,

，等嘮二1,即BN^EF=4-x,

crAC

??四邊形4BCD是菱形,

.BDLAC,

又???&PG

..EF1.BD,

翻折后，尸SAHG=S8￡/W（4-M2W*-4A+8（2〈脛4）.

②當翻折后點G在點O處或點。的右側時（如圖②）,0$內2,

記EG與小。的交點為H,FG與/C的交點為/,

圖②

翻折后，片S梯形H/FE,

:ON=x,BN=EF=4-x,GN=BN=4-x,

:.OG=4-2x,

又?.印|/G

同理可得&GW&G&；

..”。扶4?2%

片;[(4?M+(4-2A)]A=4*|*(0WA^2%

4x-1x2(0<x<2),

綜上所述,片

1X2-4X+8(2<X<4).

故選A.

4.（2021重慶潼南一模⑼甲、乙兩人在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行1200米，先到終點

的人原地休息.已知甲先出發3分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離乂米）與甲出發的時間4分）之間的

關系如圖所示，下列結論:①甲步行的速度為40米9;②乙用9分鐘追上甲;③整個過程中，有4個時刻甲、乙

兩人的距離為90米;④乙到達終點時,甲離終點還有280米.其中正確的結論有（）

A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④

答案C由題意可得甲步行的速度為詈40（米今）,

故結論①正確;

由函數圖象可得,甲出發9分鐘時，乙追上甲,故乙用6分鐘追上甲，

故結論②錯誤；

當片90時，在圖象上可找到4個對應的x值，故有4個時刻甲、乙兩人的距離為90米,

故結論③正確；

設乙的速度為x米9，

由題意可得9x40=（9-3）x,

解得產60,

，乙的速度為60米笈

..乙走完全程的時間=翳二20（分），

乙到達終點時，甲離終點距離是1200?（3+20〉40:280（米），

故結論④正確.

故正確的結論有①③④.故選C.

二、填空題（每小題3分，共12分）

5.（2021遼寧沈陽鐵西一模,14）星期天小明步行從家去圖書館，中間要路過超市,小明以3米9的速度勻速到

達超市，再以白米冷的速度勻速到達圖書館，圖中的折線048反映了小明從家步行到圖書館所走的路程s（米）

答案y

解析由函數圖象得小960+8=120,

d=(1800-960)-(20-8)=70,

.a_120_12

"b~'7Q"""7"

6.(2021吉林長春綠園一模,13)如圖,在平面直角坐標系中，點尸是正比例函數片x圖象上的一點，點A的坐標

為(0,1),點8的坐標為(4,1),當尸8+閂4取最小值時,點尸的坐標為.

答案(1,1)

解析法&PAB中,PA+PB>AB,

..當點尸在線段上時,Q4+尸8取得最小值，此時PA+PMAB.

??點/的坐標為(0,1),點8的坐標為(4,1),

「?直線為8的解析式為片1.

將片1代入y=x中，得A=1,

..當戶8+84取最小值時，點尸的坐標為(1,1).

7.(2021江蘇揚州二模,15)如果點耳其力的坐標滿足/看可那么稱點尸為“和諧點”，若某個“和諧點”尸到x軸

的距離為2,則尸點的坐標為.

答案(2,2)或住,.2)

解析設尸點的坐標為(用必，

?.?“和詣點”尸到x軸的距離為2,

:.\y\=2,:.y=±2.

將y=2代入心片",得代2二2%解得A=2,

..此時尸點的坐標為(2,2);

將y=-2代入2得*2=-2x,解得A=|,

此時尸點的坐標為6,-2).

綜上所述尸點的坐標為(2,2)或(|,?2).

8.(2021天津南開一模,17)如圖①.在正方形為8C。的邊8c上有一點E連接點尸從正方形的頂點為出

發，沿ATO-C以1cm/s的速度勻速運動到點C圖②是點尸運動時,△力尸￡的面積Mcm2)隨時間*s)變化的

函數圖象.當片7時/的值為

圖①

答案y

解析設正方形的邊長為a

①由題圖可知當點尸在點。時，尸/所加呼/5=8,解得華4;

②當點尸在點。時，用ER434x&M=6,解得EQ=3,即EC=3,BE=V,

③當好7時，如圖所示:

此時尸。=14。=71=3,

y=S正方形48czz(S58￡+SK￡CKSSQZ?)=4X4T(4X1+1x3+4x3)=y.

三、解答題(共16分)

9.(2021陜西寶雞一模,21)某工廠每天生產48兩種款式的布制環保購物袋共5000個,已知4種購物袋成本

為2元外,售價為2.4元6;8種購物袋成本為2.8元外,售價為3.4元分.設該工廠每天生產/種購物袋x

個，每天共投入成本y元,共獲利w元.

(1)求y與x之間的函數表達式；

(2)求w與x之間的函數表達式；

(3)如果該工廠每天最多投入成本12000元,那么每天最多獲利多少元？

解析(1)由題意可得，

片2x+2.8x(5000-A)=-0.8X+14000,

即y與x的函數關系式為尸-0.8心14000.

(2)由題意可得，

”(2.4-2)A+(3.4-2.8)X(5000?加0.2m3000,

即w關于x的函數關系式為w<=-0.2x+3000.

(3)?.該廠每天最多投入成本12000元，

.-0.8戶1400052000,

解得啟2500,

?.I^=-0.2A+3000,-0.2<0,

二.w隨x的增大而減小，

???當x=2500時,“取得最大值，此時版2500,

即每天最多獲利2500元.

10.(2021江西南昌一模,21)在初中階段的函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合圖象

研究函數性質的過程.若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段

函數.下面我們參照函數學習的過程與方法,探究分段函數尸--2，的圖象與性質，探究過程如下，請

l|x+l\,x>-2

補充完整.

(1)列表：

x...-6-5-4-3-2-10123...

122

y???~—m1/71234...

353

其中尸,n=;

(2)描點:在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數值y為縱坐標，描出相應的點,如圖所

示,請畫出函數的圖象；

(3)研究函數并結合圖象與表格，回答下列問題：

①點力(?3,%)直［,乃)，［與，)，4%9在函數圖象上，則/^，必&(填“>”"二”或“<”)

②直線片f與圖象相交,交點從左到右依次為例NK三點，如果MN=NK、求f的值.

解析(1)/A=-4<-2,

.,.把x=-4代入片中，得月，即m=\-

..把A=-1代入片|/1|中，得尸0,即77=0.

(2)函數的圖象如圖所示:

（3）①把A=-3代入片中，得yi=1,

把六一代入片|沖1|中，得以二；.

易知當月時,必=微或必=|或xi=-4,

當尸：時，熱=".

②根據題意令~|二f,得x后彳

令M1曰得-x-1士或川■仁f,

得W=-M,>*A=A1.

/V/（=M-（-M）=24

:MN=NK,

解得卜|或々-1（不合題意，舍去），

■讓

,3,

§3.2一次函數

考點1一次函數的圖象與性質

1.（2019陜西,4,3分）若正比例函數片-2x的圖象經過點（a1,4）,則a的值為（）

A.-1B.OC.1D.2

答案A把（今1,4）代入尸-2x得-2（a1）=4,解得故選A.

2.（2021廣西北部灣經濟區,9,3分）函數片2/1的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D當片0時，片1,圖象與y軸的交點是（0,1）;當片0時，解2/1=0得六斗，圖象與“軸的交點是6，°），

可知一次函數圖象不經過第四象限.故選D.

3.（2021陜西,6,3分）在平面直角坐標系中若將一次函數尸2心”1的圖象向左平移3個單位后，得到一個正

比例函數的圖象，則6的值為（）

A.-5B.5C.-6D.6

答案A將一次函數片2心的圖象向左平移3個單位后，得到的圖象對應的函數為

尸2（A+3）+/T>1=2X+卅5,因為平移后的圖象經過原點，所以e5=0,即/?7=-5.故選A.

4.（2021天津,16,3分）將直線差?6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為.

答案片-6*2

解析將直線片-6x向下平移2個單位長度,得到直線的解析式為片-6*2.

5.（2021四川成都,21,4分）在正比例函數戶依中小的值隨著x值的增大而增大，則點耳3㈤在第象限.

答案

解析?.在正比例函數片依中/的值隨著x值的增大而增大,「.QO,

「83,k）在第一象限.

6.（2020四川成都,12,4分）一次函數片（261）m2的值隨x值的增大而增大,則常數m的取值范圍

為.

答案rrp\

解析??茨（2什1）/2的值隨x值的增大而增大，

，2辦1>0,解得m>^.

7.（2019江西,17,6分）如圖,在平面直角坐標系中，點48的坐標分別為（-苧,0）管,1）,連接明以45為邊向

上作等邊三角形為8c.

（1）求點。的坐標;

（2）求線段8c所在直線的解析式.

止

解析⑴過點8作血x軸于點。則“密90。.

-IOD\

F瞪。）若，1）|

J

:.DA=\/3tDB=\.:.AB=2.

:.sinzBAD=^:.zBAD=3Q

?.,“8。為等邊三角形，.工O/4S=2,N64G60：

??./C4D=90。二點C的坐標為（?苧,2）.

(2)設線段8C所在直線的解析式為受k2b,QO.

將俘」M室)代入得信+7；

[--k+b=2.

f,_V3

解得J]'

.?線段8c所在直線的解析式為片苧吟

考點2一次函數與方程、不等式之間的聯系

1.(2021福建,8,4分)如圖，一次函數片始名外0)的圖象過點(-1,0)廁不等式M*1)+d>0的解集是()

/)-kx+b

A.A>-2B.A>-1C.A>0D.A>1

答案C將片依功的圖象向右平移1個單位，得片4*1)+6的圖象，.片妨Z?的圖象過點(-1,0),

..尸刈片1)+/?的圖象過點(0,0),

「?不等式?Xi)+eo的解集是A>O.故選c.

一題多解,.產依+&Q0)的圖象過點(-1t0)t:.-k+b=0,:.b=k.

又“片1)+加>0,.?.奴A+A0,即4%>0,.將0.故選C.

2.(2020陜西,7,3分)在平面直角坐標系中，。為坐標原點.若直線片x+3分別與x軸、直線片?2x交于點4

8,則△408的面積為(

A.2B.3C.4D.6

答案B在尸肚3中，令尸0,可得六?3,則4?3,0）.

聯咪二2:可得仁3"）.

「.SA/iC'fi=Qx2x3=3.故選B.

3.（2020江蘇蘇州,12,3分）若一次函數片3x?6的圖象與x軸交于點（6,0）,則m=

答案2

解析由題意得,3力6=0,解得777=2.

4.（2019貴州貴陽,12,4分）在平面直角坐標系內，一次函數片與片的刈■龍的圖象如圖所示，則關于XJ

的方程組"6=+'的解是

ky-k2x=b2-----

答案（JZ1

解析由題圖知一次函數片用/+。與六柱壯⑦的圖象的交點坐標為（2,1）,

關于孫的方程叱然二:;'的解是忱3

考點3一次函數的應用問題

1.（2020吉林,23,8分）某種機器工作前先將空油箱加滿,然后停止加油立即開始工作.當停止工作時，油箱中油

量為5L.在整個過程中，油箱里的油量K單位:L）與時間M單位:min）之間的關系如圖所示.

（1）機器每分鐘加油量為L,機器工作的過程中每分鐘耗油量為L;

（2）求機器工作時y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）直接寫出油箱中油量為油箱容積的一半時x的值.

30

60r/min

解析(1)3;0.5.(2分)

詳解:機器每分鐘加油量為*=3(L),

機器工作的過程中每分鐘耗油量為標=0.5(L).

(2)設機器工作時y關于x的函數解析式為片依+/X依0).

解得卜=吃(4分)

3=35.

廠?機器工作時y關于x的函數解析式為片TX+35(10&K60).(6分)

(3)5或40.(8分)

詳解:設機器加油過程中/關于X的函數解析式為片6Mg0),

將(10,30)代入得10/77=30,解得m=3.

則機器加油過程中,y關于x的函數解析式為片3*04Z10).

油箱中油量為油箱容積的一半時，有以下兩種情況：

①在機器加油過程中，當片泊15時,3x15,

解得尸5;

②在機器工作過程中，當片與二15時《心35=15,

解得六40.

解后反思本題考查了一次函數圖象的運用，求解時需要善于從抽象的函數圖象中找出實際的量，然后根據

實際需要計算出相應的結果洞時還應明確每條線段所代表的實際含義.

2.(2021內蒙古呼和浩特,21,7分)下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3.

◎探究3

電話計費問監

卜表中"兩種移動電話計費方式.

月使川

主叫限定叫超時被叫

費玩BtHAnin請/(元/min)

方式?5RISO0.25免費

方式--883300.19免費

J1使用費固定收;

主叫不超限定時間不再

收費，主叫超時部分加

收超時費；被叫免費.

考慮下列問題：

①設一個月內用移動電話主叫為fmin(f是正整數).根據上表,列表說明:當f在不同時間范圍內取值時,按方式

一和方式二如何計費.

②觀察你的列表，你能從中發現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法.

小明升入初三再看這個問題，發現兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫

時間視為在正實數范圍內變化，決定用函數來解決這個問題.

(1)根據函數的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數乂請你幫小明寫出：

x表示問題中的/表示問題中的，并寫出計費方式一和二分別對應的函數解析式；

(2)在給出的正方形網格紙上畫出(1)中兩個函數的大致圖象，并依據圖象直接寫出如何根據主叫時間選擇省

錢的計費方式.(注:坐標軸單位長度可根據需要自己確定)

解析(1)主叫時間;計費.

58,0<x<150,

方式一:片

584-0.25(x-150),x>150.

88,0<x<350,

方式二:尸

88+0.19(x-350),x>350.

(2)大致圖象如下:

o150270350

由圖可知,當主叫時間在270分鐘以內選方式一,270分鐘時兩種方式所需費用相同，超過270分鐘時選方式

3.（2021吉林,23,8分）疫苗接種，利國利民.甲、乙兩地分別對本地各40萬人接種新冠疫苗.甲地在前期完成5

萬人接種后，甲、乙兩地同時以相同速度接種.甲地經過a天后接種人數達到25萬人,由于情況變化，接種速度

放緩，結果100天完成接種任務.乙地80天完成接種任務.在某段時間內，甲、乙兩地的接種人數乂萬人）與各

自接種時間M天）之間的關系如圖所示.

（1）直接寫出乙地每天接種的人數及a的值；

（2）當甲地接種速度放緩后，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當乙地完成接種任務時,求甲地未接種疫苗的人數.

解析（1）乙地每天接種的人數為0.5萬，斤40.（2分）

詳解油題圖可得乙地80天接種了40萬人，

?.每天接種上0.5萬人.

??甲地在接種5萬人后，以與乙地相同的速度接種a天,接種人數達到25萬人,25-5=20萬人,

二?甲地a天接種了20萬人，每天接種0.5萬人，

???F20404c.

（2）設當甲地接種速度放緩后,y關于x的函數解析式為片依依0）.（3分）

??產片對?以姓0）的圖象經過（40,25）與（100,40）,

J4Uk+b=25,小外、

-1100^+^=40,（4分）

解得卜二彳，（5分）

lb=15.

???當甲地接種速度放緩后/關于x的函數解析式為尸%d5（404烈100）.（6分）

（3）由題圖，得當A=80時,乙地完成接種任務.

把A=80代入*%+15,得片380+15=35.（7分）

40-35=5.

」?當乙地完成接種任務時，甲地未接種疫苗的人數為5萬.（8分）

4.（2021黑龍江齊齊哈爾,22,10分）在一條筆直的公路上依次有4C、8三地，甲、乙兩人同時出發,甲從力

地騎自行車勻速去8地，途經C地時因事停留1分鐘.繼續按原速騎行至8地,甲到達8地后，立即按原路原速

返回A地;乙步行與速從8地至工地.甲、乙兩人距/地的距離K米）與時間M分）之間的函數關系如圖所示,

請結合圖象解答下列問題：

（1）甲的騎行速度為米9，點用的坐標為；

（2）求甲返回時距A地的距離M米）與時間M分）之間的函數解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；

（3）請直接寫出兩人出發后，在甲返回到2地之前,分鐘時兩人距C地的距離相等.

解析(1)240;(6,1200).(4分)

詳解:甲途經C地時停留1分鐘,

??甲的騎行速度為粵二240（米分）.

-1

，用點橫坐標為11-詈=6,縱坐標為240x1^1=1200,

..點朋的坐標為（6,1200）.

（2）設所求函數解析式為修叱久依0）,

將M6,1200）和M11Q）代入，

嘴抬冷（5分）

解得憶蹄）.仁分）

與x之間的函數解析式為片-240戶2640.（7分）

（3）4或6或8（只要有一個正確答案得1分;只要有兩個正確答案得2分;只有三個正確答案得3分;除三個正

確答案外,還有其他錯誤答案得2分）.（10分）

提示:易得當0W/學時j甲=240x,線段OE的解析式為y乙=-60盧1200,由⑵得線段例/V的解析式為y甲

=-240x+2640,.??在兩人出發后，甲返回到A地之前兩人距C地的距離相等時有:①240A=-60x+1200,解得

A=4;②-240A+2640-1020=1020-（-60心1200）,解得片6;③-240心2640=-60A+1200,解得A=8.綜上,4或6

或8分鐘時兩人距。地的距離相等.

A組基礎題組

一、選擇題（每小題3分，共12分）

1.（2020甘肅蘭州一診,8）一次函數片3x-2的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B?.一次函數片3*2中/3>0斤-2<0,.?.該函數的圖象經過第一、三、四象限，不經過第二象限.故選

B.

2.（2021陜西寶雞高新區一模,4）若正比例函數片4x的圖象經過點42,3?初,則m的值為)

A.6B.-6C.5D.-5

答案D?.正比例函數尸4x的圖象經過點42,3"）,

.1.3-777=4x2,

解得m=-5,

故選D.

3.（2021遼寧沈陽鐵西二模,7）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，若直線j力心5與x軸、y軸分別交于

點48,則的面