5.3.1函數的單調性（3）復習引入1.一般地，函數f(x)的單調性與導函數f'(x)的正負之間具有如下的關系:（1）在某個區間(a,b)上,如果

,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;在某個區間(a,b)上,如果

,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.如果在某個區間上恒有

，那么函數y=f(x)在這個區間上是常數函數.（2）如果f(x)在(a,b)內單調遞增，則

在(a,b)內恒成立；如果f(x)在(a,b)內為單調遞減，則

在(a,b)內恒成立.2.判斷函數y=f(x)的單調性的步驟：第1步，確定函數的定義域；第2步，求出導數f′(x)的零點；第3步，用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f'(x)在各區間上的正負，由此得出函數y=f(x)在定義域內的單調性.例題反思歸納證明：xyO1π練習課本P97例題例2：已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(2)＝0，若當x>0時，xf′(x)＋f(x)>0，則不等式xf(x)>0的解集是________________________.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析:由題意設g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x).∵當x>0時，xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增.∵f(x)是定義在R上的奇函數，∴g(x)是定義在R上的偶函數.又f(2)＝0，則g(2)＝2f(2)＝0，∴不等式xf(x)>0等價于g(x)>0＝g(2)，∴|x|>2，解得x<－2或x>2，∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).求解此類題目的關鍵是構造新函數，研究新函數的單調性及其導函數的結構形狀，因此熟悉以下結論可以達到事半功倍的效果.①對于f′(x)>g′(x)，構造h(x)＝f(x)－g(x)，一般地，遇到f′(x)>a(a≠0)，即導函數大于某個非零常數a(若a＝0，則無需構造)，則可構造h(x)＝f(x)－ax.②對于f′(x)＋g′(x)>0，構造h(x)＝f(x)＋g(x).③對于f′(x)＋f(x)>0，構造h(x)＝exf(x).反思歸納練習解：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數.例題由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數.綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0，1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數.利用導數研究含參函數f(x)的單調區間的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)分析參數對區間端點、最高次項的系數的影響，以及不等式解集的端點與定義域的關系，恰當確定參數的不同范圍，并進行分類討論；(4)在不同的參數范圍內，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，確定函數f(x)的單調區間.反思歸納練習①當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.隨堂檢測4.當x≥1時，證明≤1.證明：要證≤1,因為x≥1.故只需證明lnx+1≤x,令h(x)=x-lnx-1,則h′(x)=1-,∵x≥1,∴h′(x)≥0,∴h(x)在［1，+∞)單調遞增，∴x≥1時，h(x)≥h(1)=0.即lnx+1≤x成立，∴當x≥1時,≤1.課堂小結1.利用函數單調性證明不等式.

2. 對于解有關函數的不等式