PAGE1-§4數據的數字特征4．1平均數、中位數、眾數、極差、方差4．2標準差學習目標核心素養1.會求一組數據的平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差．(重點)2．方差、標準差在實際問題中的應用．(難點)1.通過求一組數據的平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差，培育數學運算素養．2．通過方差、標準差在實際問題中的應用，提升數據分析素養.一、平均數、中位數、眾數1．眾數的定義一組數據中出現次數最多的數稱為這組數據的眾數，一組數據的眾數可以是一個，也可以是多個．2．中位數的定義及求法把一組數據按從小到大(或從大到小)的依次排列，把處于最中間位置的那個數(或中間兩數的平均數)稱為這組數據的中位數．3．平均數的定義假如有n個數x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)，叫作這n個數的平均數．二、極差、方差、標準差1．標準差、方差(1)標準差的求法：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示．s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差的求法：標準差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]其中，xn是樣本數據，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本均值．(3)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2.2．極差一組數據的最大值與最小值的差稱為這組數據的極差．3．數字特征的意義平均數、中位數和眾數刻畫了一組數據的集中趨勢，極差、方差刻畫了一組數據的離散程度．思索：一組數據的眾數可以有多個嗎？中位數是否也有相同的結論？[提示]一組數據的眾數可能有一個，也可能有多個，但中位數有且只有一個．1．已知一組數據為20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數，中位數和眾數的大小關系是()A．平均數＞中位數＞眾數B．平均數＜中位數＜眾數C．中位數＜眾數＜平均數D．眾數＝中位數＝平均數D[可得該組數據的平均數、中位數和眾數均為50.]2．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數為1，則樣本方差為()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2D[∵樣本的平均數為1，即eq\f(1,5)×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.]3．一次選拔運動員的測試中，測得7名選手中的身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示．記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清晰，其末位數記為x，則x等于()18011703x89A.5 B．6C．7 D．8D[由題意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.]4．某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環數如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則：(1)平均命中環數為________；(2)命中環數的標準差為________．(1)7(2)2[(1)eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]平均數、中位數、眾數的計算【例1】在一次中學生田徑運動會上，參與男子跳高的17名運動員的成果如表所示：成果(單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數23234111分別求這些運動員成果的眾數、中位數與平均數．[解]在17個數據中，1.75出現了4次，出現的次數最多，即這組數據的眾數是1.75.題表里的17個數據可看成是按從小到大的依次排列的，其中第9個數據1.70是最中間的一個數據，即這組數據的中位數是1.70.這組數據的平均數是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69.所以這17名運動員成果的眾數、中位數、平均數依次為1.75,1.70,1.69.中位數、眾數、平均數的應用要點中位數、眾數反映了一組數據的“中等水平”“多數水平”，平均數反映了數據的平均水平，我們需依據實際須要選擇運用．(1)求中位數的關鍵是將數據排序，一般依據從小到大的依次排列．中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的變動對中位數沒有影響．中位數可能在所給數據中，也可能不在所給數據中．當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數描述數據的集中趨勢．(2)確定眾數的關鍵是統計各數據出現的頻數，頻數最大的數據就是眾數．當一組數據中有不少數據多次重復出現時，眾數往往更能反映數據的集中趨勢．(3)平均數與每一個樣本數據都有關，受個別極端數據(比其他數據大許多或小許多的數據)的影響較大，因此若在數據中存在少量極端數據，平均數對總體估計的牢靠性較差，這時往往用眾數或中位數去估計總體．有時也采納剔除最大值與最小值后所得的平均數去估計總體．eq\O([跟進訓練])1．(1)16位參與百米半決賽同學的成果各不相同，按成果取前8位進入決賽．假如小劉知道了自己的成果后，要推斷能否進入決賽，則其他15位同學成果的下列數據中，能使他得出結論的是()A．平均數B．極差C．中位數D．方差(2)已知一組數據按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數據的中位數是5，那么該組數據的眾數是________，平均數是________．(1)C(2)65[推斷是不是能進入決賽，只要推斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學的成果中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學的成果排列后看第8位的成果即可，小劉的成果高于這個成果就能進入決賽，低于這個成果就不能進入決賽，這個第8位的成果就是這15位同學成果的中位數．(2)因為中位數為5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.所以該組數據的眾數為6，平均數為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.故填6和5.]方差、標準差的計算【例2】甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數據為：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)依據計算結果推斷哪臺機床加工零件的質量更穩定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質量更穩定．1．計算標準差的五個步驟(1)算出樣本數據的平均數eq\x\to(x).(2)算出每個樣本數據與樣本數據平均數的差：xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)．(3)算出(2)中xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)的平方．(4)算出(3)中n個平方數的平均數，即為樣本方差．(5)算出(4)中方差的算術平方根，即為樣本標準差．2．標準差(方差)的兩個作用(1)標準差(方差)越大，數據的離散程度越大；標準差(方差)越小，數據的離散程度越?。?2)在實際應用中，經常把平均數與標準差結合起來進行決策．在平均值相等的狀況下，比較方差或標準差以確定穩定性．eq\O([跟進訓練])2．(1)在某項體育競賽中，七位裁判為一選手打出的分數為：90,89,90,95,93,94,93，去掉一個最高分和一個最低分后，剩下數據的平均值和方差分別為()A．92,2 B．92,2.8C．93,2 D．93,2.8(2)已知樣本9,10,11，x，y的平均數是10，標準差是eq\r(2)，則xy＝________.(1)B(2)96[去掉最高分95和最低分89后，剩余數據的平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92，方差為s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝eq\f(1,5)(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.(2)由平均數得9＋10＋11＋x＋y＝50，所以x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.故填96.]數據的數字特征的綜合應用[探究問題]1．在一次人才聘請會上，有一家公司的聘請員告知你“我們公司的收入水平很高”“去年，在50名員工中，最高收入達到了100萬，他們年收入的平均數是5.5萬”．假如你希望獲得年薪4.5萬元，你是否能夠推斷自己可以成為此公司的一名高收入者？提示：這里的“收入水平”是指員工收入數據的某種中心點，即可以是中位數、平均數或眾數，若是平均數，則需進一步了解企業各類崗位收入的離散狀況．2．極差與方差是怎樣刻畫數據離散程度的？提示：方差與極差越大，數據的離散程度就越大，也越不穩定，數值越小，離散程度就越小，越穩定．【例3】在一次科技學問競賽中，兩組學生的成果如下表：分數5060708090100人數甲組251013146乙組441621212已經算得兩個組的平均分都是80分．請依據你所學過的統計學問，進一步推斷這兩個組在這次競賽中的成果誰優誰劣，并說明理由．[思路探究]解答本題可從眾數、平均數、方差等幾方面綜合分析．[解](1)甲組成果的眾數為90分，乙組成果的眾數為70分，從成果的眾數比較看，甲組成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲組成果比乙組成果穩定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成果的中位數、平均數都是80分．其中甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成果較好．(4)從成果統計表看，甲組成果大于等于90分的有20人，乙組成果大于等于90分的有24人，∴乙組成果集中在高分段的人數多．同時，乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人數多6人．從這一角度看，乙組的成果較好．要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關鍵詞語，全方位地進行必要的計算、分析，而不能習慣性地僅從樣本方差的大小去確定哪一組的成果好.像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本例的“滿分人數”；其次要在恰當地評估后，組織好正確的語言做出結論.eq\O([跟進訓練])3．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成果狀況如圖所示：(1)分別求甲、乙兩人打靶成果的平均數、中位數及命中9環以上的次數(含9環)；(2)從下列三個不同角度對這次測試結果進行分析：①從平均數和中位數相結合看，誰的成果好些？②從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，誰的成果好些？③從折線圖中兩人射擊命中環數的走勢看，誰更有潛力？[解](1)由圖可知，甲打靶的成果為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成果為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均數是7，中位數是7.5，命中9環及9環以上的次數是3；乙的平均數是7，中位數是7，命中9環及9環以上的次數是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均數相同．①甲、乙的平均數相同，甲的中位數比乙的中位數大，所以甲成果較好．②甲、乙的平均數相同，甲命中9環及9環以上的次數比乙多，所以甲成果較好．③從折線圖中看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，故甲更有潛力．1．一組數據中的眾數可能不止一個，中位數是唯一的，求中位數時，必需先排序．2．標準差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數據的離散程度．方差與標準差的測量效果是一樣的，在實際應用中一般多采納標準差.1．思索辨析(1)當樣本中的數據都增加相同的量時，平均數不變． ()(2)一組樣本數據的眾數只有一個． ()(3)樣本的中位數可以有兩個值． ()(4)數據極差越小，樣本數據分布越集中、穩定． ()(5)數據平均數越小，樣本數據分布越集中、穩定． ()(6)樣本的標準差和方差都是正數． ()[解析](1)×，依據平均數的定義可知錯誤．(2)×，依據眾數定義知眾數可以一個，也可以多個．(3)×，由中位數的定義可知錯誤．(4)√，極差與標準差都反映了樣本數據的波動性和離散程度．(5)×，平均數與數據的波動性無關．(6)√，依據標準差與方差的公式可知．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2.若某校高一年級8個班參與合唱競賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A[將這組數據