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文檔簡介
浙江溫州市2025屆高三最后一模數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.2.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關系為()A. B.C. D.3.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.4.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發現落在正方形花紋上的米共有51粒,據此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1475.在中,角的對邊分別為,,若,,且,則的面積為()A. B. C. D.6.蒙特卡洛算法是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種計算方法,將所求解的問題同一定的概率模型相聯系;用均勻投點實現統計模擬和抽樣,以獲得問題的近似解,故又稱統計模擬法或統計實驗法.現向一邊長為的正方形模型內均勻投點,落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.7.已知集合,,則的真子集個數為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.是定義在上的增函數,且滿足:的導函數存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.若函數滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.10.已知銳角滿足則()A. B. C. D.11.已知復數,若,則的值為()A.1 B. C. D.12.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側棱垂直底面,.若分別是棱上的點,且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過且斜率為的直線交拋物線于兩點,為的焦點若的面積等于的面積的2倍,則的值為___________.14.已知是等比數列,且,,則__________,的最大值為__________.15.若關于的不等式在上恒成立,則的最大值為__________.16.若點在直線上,則的值等于______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著科技的發展,網絡已逐漸融入了人們的生活.網購是非常方便的購物方式,為了了解網購在我市的普及情況,某調查機構進行了有關網購的調查問卷,并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)經常網購偶爾或不用網購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表,并根據以上數據判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關?(2)①現從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優惠券,求選取的3人中至少有2人經常網購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經常網購的人數為,求隨機變量的數學期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)設函數.(1)若,求函數的值域;(2)設為的三個內角,若,求的值;19.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,三棱柱的側棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.22.(10分)已知函數.(1)求不等式的解集;(2)若關于的不等式在上恒成立,求實數的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.2、A【解析】
設橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設,在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、B【解析】
根據菱形中的邊角關系,利用余弦定理和數量積公式,即可求出結果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題,屬于基礎題..4、B【解析】
結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎題5、C【解析】
由,可得,化簡利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面積.【詳解】解:,,且,,化為:.,解得..故選:.【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.6、A【解析】
計算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【詳解】由,∴.故選:A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算,屬于基礎題.7、C【解析】
求出的元素,再確定其真子集個數.【詳解】由,解得或,∴中有兩個元素,因此它的真子集有3個.故選:C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題,解題時可先確定交集中集合的元素個數,解題關鍵是對集合元素的認識,本題中集合都是曲線上的點集.8、D【解析】
根據是定義在上的增函數及有意義可得,構建新函數,利用導數可得為上的增函數,從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數,故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數,所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導數在函數單調性中的應用,一般地,數的大小比較,可根據數的特點和題設中給出的原函數與導數的關系構建新函數,本題屬于中檔題.9、A【解析】
由推導出,且,將所求代數式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數的單調性可得出其最小值.【詳解】函數滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當且僅當時,等號成立.,由于函數在區間上為增函數,所以,當時,取得最小值.故選:A.【點睛】本題考查代數式最值的計算,涉及對數運算性質、基本不等式以及函數單調性的應用,考查計算能力,屬于中等題.10、C【解析】
利用代入計算即可.【詳解】由已知,,因為銳角,所以,,即.故選:C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用,考查學生的運算能力,是一道基礎題.11、D【解析】由復數模的定義可得:,求解關于實數的方程可得:.本題選擇D選項.12、B【解析】
建立空間直角坐標系,利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為,建立空間直角坐標系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
聯立直線與拋物線的方程,根據一元二次方程的根與系數的關系以及面積關系求解即可.【詳解】如圖,設,由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2【點睛】此題考查了拋物線的性質,屬于中檔題.14、5【解析】,即的最大值為15、【解析】
分類討論,時不合題意;時求導,求出函數的單調區間,得到在上的最小值,利用不等式恒成立轉化為函數最小值,化簡得,構造放縮函數對自變量再研究,可解,【詳解】令;當時,,不合題意;當時,,令,得或,所以在區間和上單調遞減.因為,且在區間上單調遞增,所以在處取極小值,即最小值為.若,,則,即.當時,,當時,則.設,則.當時,;當時,,所以在上單調遞增;在上單調遞減,所以,即,所以的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路:已知不等式(為實參數)對任意的恒成立,求參數的取值范圍.利用導數解決此類問題可以運用分離參數法;如果無法分離參數,可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問題,可以考慮二次項系數與判別式的方法(,或,)求解.16、【解析】
根據題意可得,再由,即可得到結論.【詳解】由題意,得,又,解得,當時,則,此時;當時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數的關系,考查計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)①;②數學期望為6,方差為2.4.【解析】
(1)完成列聯表,由列聯表,得,由此能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關.(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經常網購的有人,偶爾或不用網購的有人,由此能選取的3人中至少有2人經常網購的概率.②由列聯表可知,抽到經常網購的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機變量的數學期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯表(單位:人):經常網購偶爾或不用網購合計男性5050100女性7030100合計12080200由列聯表,得:,∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關.(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經常網購的有人,偶爾或不用網購的有人,∴選取的3人中至少有2人經常網購的概率為:.②由列聯表可知,抽到經常網購的市民的頻率為:,將頻率視為概率,∴從我市市民中任意抽取一人,恰好抽到經常網購市民的概率為0.6,由題意,∴隨機變量的數學期望,方差D(X)=.【點睛】本題考查獨立檢驗的應用,考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法,考查古典概型、二項分布等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉化為:,,再根據正弦函數的性質求解,(2)根據,得,又為的內角,得到,再根據,利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的性質,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,19、(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結論.(2)過作交于,由為的中點,結合已知有平面.則,可求得.建立坐標系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點,.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過作交于,如圖為的中點,,.又平面,平面.,.所以,又、、兩兩互相垂直,以、、為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.,,,設平面的法向量,則,即.令,則,..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關系,考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.20、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)根據平面,四邊形是矩形,由為中點,且,利用平面幾何知識,可得,又平面,所以,根據線面垂直的判定定理可有平面,從而得證.(2)分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,得到,,,,分別求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【詳解】(1)證明:∵平面,∴四邊形是矩形,∵為中點,且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴與相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如圖,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則,,,設平面的法向量為,則,,解得:,同理,平面的法向量,設二面角的大小為,則.即二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉化以及二面角的求法,還考查了轉化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)根據拋物線的焦點求得橢圓的焦點,由此求得,結合橢圓離心率求得,進而求得,從而求得橢圓的標準方程,求得橢圓上頂點的坐標,由此求得直線的方程.聯立直線的方程和橢圓方程,求得兩點的縱坐標,由此求得的面積.(2)求得兩點的坐標,設出直線的方程,聯立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,由此求得的值,根據在橢圓上求得的值,由此求得的值.【詳解】(1)因為拋物線的焦點坐標為,所以橢圓的右焦點的坐標為,所以,因為橢圓的離心率為,所以,解得,所以,故橢圓的標準方程為.其上頂點為,所以直線:,聯立,消去整理得,解得,,所以的面積.(2)由題知,,,設,.由題還可知,直線的斜率不為0,故可設:.由,消去,得,所以所以
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