專題3-1三角函數圖像與性質目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01三角函數單調性 1題型02求周期 3題型03非同名函數平移 6題型04對稱軸最值應用 8題型05對稱中心最值應用 11題型06輔助角最值 14題型07正余弦換元型最值 17題型08一元二次型換元最值 20題型09分式型最值 21題型10最值型綜合 23題型11恒等變形：求角 25題型12恒等變形：拆角求值（分式型） 27題型13恒等變形：拆角求值（復合型） 29題型14恒等變形：拆角求值（正切型對偶） 31高考練場 33題型01三角函數單調性【解題攻略】A，ω，φ對函數y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響（1）函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中參數A．φ、ω的作用參數作用AA決定了函數的值域以及函數的最大值和最小值，通常稱A為振幅.φφ決定了x=0時的函數值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位.ωω決定了函數的周期T＝SKIPIF1<0.（2）圖象的變換（1）振幅變換要得到函數y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）即可得到．（2）平移變換要得到函數y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點向左（當φ＞0時）或向右（當φ＜0時）平行移動|φ|個單位長度即可得到．（3）周期變換要得到函數y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數y＝sinx上所有點的橫坐標縮短（當ω＞1時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的SKIPIF1<0_倍（縱坐標不變）即可得到．【典例1-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都單調遞增的一個區間是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用復合函數的單調性，判斷各選項是否正確.【詳解】當SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從0遞減到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞增到1，所以SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，A錯誤；當SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從1遞減到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，B錯誤；當SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到SKIPIF1<0，C錯誤；當SKIPIF1<0從SKIPIF1<0增加到SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從-1遞增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞減到0，所以SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞增到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從SKIPIF1<0遞增到SKIPIF1<0，D正確；故選：D【典例1-2】已知函數SKIPIF1<0，則f（x）（

）A．在（0，SKIPIF1<0）單調遞減 B．在（0，π）單調遞增C．在（—SKIPIF1<0，0）單調遞減 D．在（—SKIPIF1<0，0）單調遞增【答案】D【分析】先用誘導公式化簡得到SKIPIF1<0，再將選項代入檢驗，求出正確答案.【詳解】SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不單調，AB錯誤；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故D正確故選：D【變式1-1】（2022上·福建莆田·高三?？迹┖瘮礢KIPIF1<0的單調遞增區間為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先換元,求定義域再結合復合函數的單調性,最后根據正弦函數的單調性求解即可.【詳解】設SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，取SKIPIF1<0單調增的部分，所以可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0答案：A.【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）函數SKIPIF1<0在下列某個區間上單調遞增，這個區間是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由二倍角公式結合輔助角公式化簡可得SKIPIF1<0的表達式，求出其單調增區間，結合選項，即可判斷出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增.故選：A【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考二模）“SKIPIF1<0”是“函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據正弦函數的單調性和參數范圍即可求解.【詳解】若函數SKIPIF1<0區間SKIPIF1<0上單調遞增，則令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0是區間，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要條件,故選：A..題型02求周期【解題攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函數的周期T＝SKIPIF1<0.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝SKIPIF1<0觀察法：形如

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0等等諸如此類的帶絕對值型，可以通過簡圖判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等變形轉化法。4.定義證明法【典例1-1】（2023下·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）設函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小正周期（

）A．與SKIPIF1<0有關，且與SKIPIF1<0有關 B．與SKIPIF1<0有關，但與SKIPIF1<0無關C．與SKIPIF1<0無關，且與SKIPIF1<0無關 D．與SKIPIF1<0無關，但與SKIPIF1<0有關【答案】D【分析】根據三角函數的周期性，結合周期成倍數關系的兩個函數之和，其周期為這兩個函數的周期的最小公倍數這一結論，解答即可.【詳解】SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0，所以對于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期都為SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，其最小正周期為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期與SKIPIF1<0無關，但與SKIPIF1<0有關.故選：D.【典例1-2】（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學?？茧A段練習）以下函數中最小正周期為SKIPIF1<0的個數是（

）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對于A，直接畫出函數圖象驗證即可；對于BCD，舉出反例推翻即可.【詳解】畫出函數SKIPIF1<0的圖象如圖所示：

由圖可知函數SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，滿足題意；對于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不滿足題意；對于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不滿足題意；對于SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的最小正周期不是SKIPIF1<0，不滿足題意；綜上所述，滿足題意的函數的個數有1個.故選：A.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）下列函數中是奇函數，且最小正周期是SKIPIF1<0的函數是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】確定SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，排除，驗證D選項滿足條件，得到答案.【詳解】對選項A：SKIPIF1<0，函數定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數為偶函數，排除；對選項B：SKIPIF1<0，函數定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數為偶函數，排除；對選項C：SKIPIF1<0，函數定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數為偶函數，排除；對選項D：SKIPIF1<0，函數定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數為奇函數，SKIPIF1<0，滿足條件；故選：D.【變式1-2】（2023·廣東·統考二模）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為R，則“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為周期函數”是“SKIPIF1<0為周期函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據通過反例和周期的性質判斷即可.【詳解】兩個周期函數之和是否為周期函數，取決于兩個函數的周期的比是否為有理數，若為有理數，則有周期，若不為有理數，則無周期.SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，只有周期的整數倍才是函數的周期，則不是充分條件；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為周期函數，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為周期函數不正確，故不是必要條件；因此為不充分不必要條件.故選：D【變式1-3】（2023上·江蘇·高三專題練習）在函數①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中，最小正周期為π的函數有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【分析】根據函數圖象的翻折變換和周期公式可得.【詳解】①由余弦函數的奇偶性可知，SKIPIF1<0，最小值周期為SKIPIF1<0；②由翻折變換可知，函數SKIPIF1<0的圖象如圖：由圖知SKIPIF1<0的最小值周期為SKIPIF1<0；③由周期公式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值周期為SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最小值周期為SKIPIF1<0.故選：D題型03非同名函數平移【解題攻略】平移變換：1.基本法：提系數（就是直接換x，其余的都不動）；2.正到余，余到正：方法一：誘導公式化為同名（盡量化正為余，因為余弦是偶函數，可以解決系數是負的）；方法二：直接第極大值法（通過快速畫圖，正弦對應第一極大值軸處。余弦即五點第一點處，本方法是重點）【典例1-1】（2023秋·山東·高三山東省實驗中學校考期末）要得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需將函數SKIPIF1<0的圖象（

）A．先向右平移SKIPIF1<0個單位長度，再向下平移1個單位長度B．先向左平移SKIPIF1<0個單位長度，再向上平移1個單位長度C．先向右平移SKIPIF1<0個單位長度，再向下平移1個單位長度D．先向左平移SKIPIF1<0個單位長度，再向上平移1個單位長度【答案】B【解析】根據SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可判斷.【詳解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0先向左平移SKIPIF1<0個單位長度，再向上平移1個單位長度可得到SKIPIF1<0的圖象.故選：B.【典例1-2】（2021春·河南許昌·高三許昌實驗中學?？迹┮玫胶瘮礢KIPIF1<0的圖象，只需將函數SKIPIF1<0的圖象（

）A．向左平移SKIPIF1<0個單位長度 B．向右平移SKIPIF1<0個單位長度C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度【答案】C【分析】把SKIPIF1<0化成SKIPIF1<0可得平移的發現及其長度.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以要得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需把函數SKIPIF1<0的圖象上所有的點向左平移1個單位長度.故選：C.【變式1-1】（2020春·全國·高三校聯考階段練習）要得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需將函數SKIPIF1<0的圖象（

）A．向左平移SKIPIF1<0個單位 B．向右平移SKIPIF1<0個單位C．向左平移SKIPIF1<0個單位 D．向右平栘SKIPIF1<0個單位【答案】C【解析】由題意利用函數SKIPIF1<0的圖象變換規律，得出結論．【詳解】解：要得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位即可，故選：C．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）為得到函數SKIPIF1<0的圖象，只需將函數SKIPIF1<0圖象上所有的點（

）A．向左平移SKIPIF1<0個單位長度 B．向右平移SKIPIF1<0個單位長度C．向左平移SKIPIF1<0個單位長度 D．向右平移SKIPIF1<0個單位長度【答案】D【分析】先得到SKIPIF1<0，再利用平移變換求解.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，將其圖象上所有的點向右平移SKIPIF1<0個單位長度，得到函數SKIPIF1<0的圖象.A，B，C都不滿足.故選：D【變式1-3】（2022·河南鶴壁·鶴壁高中?？寄M預測）已知函數SKIPIF1<0，為了得到函數SKIPIF1<0的圖象只需將y=f（x）的圖象（

）A．向右平移SKIPIF1<0個單位 B．向右平移SKIPIF1<0個單位C．向左平移SKIPIF1<0個單位 D．向左平移SKIPIF1<0個單位【答案】C【分析】根據誘導公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得到平移方法.【詳解】函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以為了得到函數SKIPIF1<0的圖象只需將y=f（x）的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位.故選：C題型04對稱軸最值應用【解題攻略】正余弦對稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對稱軸方程；對稱軸代入，三角函數部分必為正負1，還可以理解為輔助角那個整體取得最大值或者最小值SKIPIF1<0【典例1-1】已知函數SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，若存在實數SKIPIF1<0，使得對任意實數SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0湖北省荊州市沙市中學2021-2022學年高三上學期數學試題【答案】B【分析】結合三角恒等變換求得SKIPIF1<0的最大值和最小值，并求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0.依題意，存在實數SKIPIF1<0，使得對任意實數SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是整數，SKIPIF1<0為奇數，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B【典例1-2】（2022屆湘贛十四校高三聯考第二次考試理數試題=）已知函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度得到SKIPIF1<0的圖象，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一條對稱軸，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】直接利用三角函數關系式的恒等變換和平移變換得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用三角函數對稱性列方程求解即可．【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條對稱軸，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為SKIPIF1<0【變式1-1】已知把函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數SKIPIF1<0的圖象，若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先化簡函數SKIPIF1<0，然后根據圖像的變換得函數SKIPIF1<0的解析式，通過判斷得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時令SKIPIF1<0取得最大值或最小值時，SKIPIF1<0，再結合函數SKIPIF1<0的圖像，即可求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．將圖象向右平移至SKIPIF1<0個單位長度，再把橫坐標縮小到原來一半，縱坐標不變，得到函數SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時令SKIPIF1<0取得最大值或最小值時，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據函數的圖象可知SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0個周期的長度，即SKIPIF1<0故選：C.【變式1-2】（河南省三門峽市2021-2022學年高三上學期階段性檢測理科數學試題）.將函數SKIPIF1<0的圖象上的所有點的橫坐標縮短為原來的SKIPIF1<0，縱坐標不變，再把所得的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位長度，然后再把所得的圖象向下平移1個單位長度，得到函數SKIPIF1<0的圖象，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據三角函數平移變換,先求得SKIPIF1<0的解析式.根據SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.根據SKIPIF1<0可分別求得SKIPIF1<0的最大值和SKIPIF1<0的最小值,即可求得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】根據平移變換將函數SKIPIF1<0的圖象上的所有點的橫坐標縮短為原來的SKIPIF1<0,縱坐標不變,再把所得的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位長度,然后再把所得的圖象向下平移1個單位長度,可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0故選:A【變式1-3】（2021屆安徽省馬鞍山二中高三下學期4月高考模擬數學試題）將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個單位長度后得到函數SKIPIF1<0的圖象，若使SKIPIF1<0成立的a、b有SKIPIF1<0，則下列直線中可以是函數SKIPIF1<0圖象的對稱軸的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據三角函數平移關系求出SKIPIF1<0的解析式，結合SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的關系，結合最小值建立方程求出SKIPIF1<0的值即可.解：將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）個單位長度后得到函數SKIPIF1<0的圖象，

即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0一個取最大值1，一個取最小值?1，不妨設SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），

即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

當SKIPIF1<0時，對稱軸方程為SKIPIF1<0.故選：D.題型05對稱中心最值應用【解題攻略】正余弦對稱中心：零點處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標對稱中心橫坐標代入，三角函數那部分必為0【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0的兩條相鄰對稱軸之間的距離為SKIPIF1<0，則下列點的坐標為SKIPIF1<0的對稱中心的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據相鄰對稱軸之間距離可得最小正周期為SKIPIF1<0，由此可求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0解析式；利用正弦型函數對稱中心的求法可求得對稱中心，對比選項可得結果.【詳解】SKIPIF1<0兩條相鄰對稱軸之間的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小正周期SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對稱中心為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的一個對稱中心為SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-2】（2022·天津南開·二模）函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其圖象的一個最低點是SKIPIF1<0，距離SKIPIF1<0點最近的對稱中心為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0圖象的一條對稱軸C．SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0單調遞增D．SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位后得到SKIPIF1<0的圖象，若SKIPIF1<0是奇函數，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】C【分析】由函數的圖像的頂點坐標求出SKIPIF1<0，由周期求出SKIPIF1<0，由最低點求出SKIPIF1<0的值，可得函數的解析式，再利用三角函數的圖像和性質，得出結論．【詳解】解：SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象的一個最低點是SKIPIF1<0，距離SKIPIF1<0點最近的對稱中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0，故A錯誤；SKIPIF1<0，故函數關于SKIPIF1<0對稱，故B錯誤；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞增，故C正確；把SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位后得到SKIPIF1<0的圖象，若SKIPIF1<0是奇函數，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故D錯誤，故選：C【變式1-1】．（2022·四川涼山·三模（理））將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位，再將縱坐標伸長為原來的4倍（橫坐標不變）得到函數SKIPIF1<0的圖象，且SKIPIF1<0的圖象上一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為SKIPIF1<0，對于函數SKIPIF1<0有以下幾個結論：（1）SKIPIF1<0；（2）它的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱；（3）它的圖象關于點SKIPIF1<0對稱；（4）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；則上述結論正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先根據圖像平移的性質求出SKIPIF1<0的函數解析式，逐項代入分析即可.【詳解】解：由題意得：SKIPIF1<0，向左平移SKIPIF1<0個單位，再將縱坐標伸長為原來的4倍（橫坐標不變）得到函數SKIPIF1<0.對于選項A：由SKIPIF1<0的圖象上一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為SKIPIF1<0，最小正周期SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以（1）錯誤；當SKIPIF1<0時，代入SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故圖像的一條對稱軸是SKIPIF1<0，故（2）正確；當SKIPIF1<0時，代入SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故圖像的一個對稱點是SKIPIF1<0，故（3）正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的取值范圍是SKIPIF1<0，故（4）正確；由上可知（2）（3）（4）正確，正確的個數為SKIPIF1<0個.故選：C【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）將函數SKIPIF1<0的圖象分別向左、向右各平移SKIPIF1<0個單位長度后，所得的兩個圖象對稱中心重合，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】根據三角函數的圖象變換求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對稱中心重合，得到SKIPIF1<0，即可求解.【詳解】解：將函數SKIPIF1<0的圖象分別向左平移SKIPIF1<0個單位長度后，可得SKIPIF1<0將函數SKIPIF1<0的圖象分別向右各平移SKIPIF1<0個單位長度后，可得SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對稱中心重合，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A.【變式1-3】（2021·安徽·六安一中高三階段練習（理））已知SKIPIF1<0的一個對稱中心為SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的圖像向右平移SKIPIF1<0個單位后，可以得到偶函數SKIPIF1<0的圖象，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用輔助角公式將函數化簡，即可求出函數的對稱中心坐標，再根據三角函數的平移變換規則得到SKIPIF1<0的解析式，結合函數的奇偶性，求出SKIPIF1<0的取值，從而計算可得；【詳解】解：因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函數的對稱中心坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0的圖像向右平移SKIPIF1<0個單位得到SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為偶函數，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；故選：D題型06輔助角最值【解題攻略】SKIPIF1<0輔助角范圍滿足：SKIPIF1<0【典例1-1】（江西省上饒市（天佑中學、余干中學等）六校2021屆高三下學期第一次聯考數學試題已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可得出不等式SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，化簡得出SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩種情況討論，結合SKIPIF1<0可求得實數SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由題意可知，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.綜上所述，實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-2】已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】化簡得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再結合三角函數的性質可求解.【詳解】由題意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【變式1-1】.已知函數SKIPIF1<0，周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0處取得最大值，則使得不等式SKIPIF1<0恒成立的實數SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】先根據三角恒等變換和三角形函數的性質，以及同角的三角函數的關系可得SKIPIF1<0，①，再根據SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，②，通過①②求出SKIPIF1<0的值，再根據三角函數的性質可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，根據不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，即可求出答案．【詳解】SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0處取得最大值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），由①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，故選：B【變式1-2】（浙江省紹興市諸暨市海亮高級中學2021-2022學年高三上學期12月選考數學試題）已知當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0取到最大值，則SKIPIF1<0是（）A．奇函數，在SKIPIF1<0時取到最小值； B．偶函數，在SKIPIF1<0時取到最小值；C．奇函數，在SKIPIF1<0時取到最小值； D．偶函數，在SKIPIF1<0時取到最小值；【答案】B【分析】由輔助角公式可得SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0時SKIPIF1<0有最大值可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再根據奇偶性并計算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可得答案.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確，故選：B.【變式1-3】（江蘇省淮安市淮陰中學2020屆高三下學期5月高考模擬數學試題）若存在正整數m使得關于x的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不等實根，則正整數n的最小值是______．【答案】4【分析】化簡SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不等實根，轉化為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不等實根，故SKIPIF1<0，即可得出答案．【詳解】SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，+SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不等實根，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不等實根，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立．由②得SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：4題型07正余弦換元型最值【解題攻略】SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在同一函數中一般可設SKIPIF1<0進行換元．換元時注意新元的取值范圍．SKIPIF1<0之間的互化關系1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<0【典例1-1】（2021下·上海徐匯·高三南洋中學校考階段練習）已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值域為．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用換元法，令SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，再利用函數的單調性即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又對勾函數SKIPIF1<0的單調遞減區間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；單調遞增區間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合對勾函數的圖象，如下：所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數的值域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2022·高三單元測試）函數SKIPIF1<0的值域為．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用SKIPIF1<0通過換元將原函數轉化為含未知量SKIPIF1<0的函數SKIPIF1<0，再解出函數SKIPIF1<0的值域即為函數SKIPIF1<0的值域.【詳解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-1】已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【答案】SKIPIF1<