Page專題34等比數列及其前n項和（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】等比數列基本量的運算 4【考點2】等比數列的判定與證明 5【考點3】等比數列的性質及應用 7【分層檢測】 8【基礎篇】 8【能力篇】 10【培優篇】 11考試要求：1.理解等比數列的概念.2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數列與指數函數的關系．知識梳理知識梳理1.等比數列的概念(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數學語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數).(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.2.等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數列的性質已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.1.若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.4.三個數成等比數列，通常設為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題4．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數列，則M中最多有2個元素；③若為等差數列，為等比數列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數列，為遞減數列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.5．（2024·上海·高考真題）無窮等比數列滿足首項，記，若對任意正整數集合是閉區間，則的取值范圍是．6．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則；數列所有項的和為．7．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為．8．（2023·全國·高考真題）已知為等比數列，，，則.考點突破考點突破【考點1】等比數列基本量的運算一、單選題1．（2024·河南·三模）設為數列的前項和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在各項為正的等比數列中，與的等比中項為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2024·江蘇南通·模擬預測）在數列中，若對，都有（為常數），則稱數列為“等差比數列”，為公差比，設數列的前項和是，則下列說法一定正確的是（

）A．等差數列是等差比數列B．若等比數列是等差比數列，則該數列的公比與公差比相同C．若數列是等差比數列，則數列是等比數列D．若數列是等比數列，則數列等差比數列4．（23-24高二下·陜西安康·期末）已知數列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．數列可能為常數列B．數列可能為等比數列C．若，則D．若，記是數列的前項積，則的最大值為三、填空題5．（2024·河北邯鄲·模擬預測）記為等比數列的前項的和，若，，則.6．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．反思提升：1.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【考點2】等比數列的判定與證明一、解答題1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.(1)求數列的通項公式：(2)若是數列的前項和，求的最小值.2．（23-24高二下·廣東江門·階段練習）已知數列的首項為，且滿足.(1)求證：數列為等比數列；(2)設，記數列的前項和為，求，并證明：.3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列中，，.(1)證明：是等比數列；(2)求數列的前項和.4．（23-24高二下·北京·期中）已知數列為等差數列，，，數列滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列是等比數列；(3)設，求數列的前項和.5．（2024·全國·模擬預測）對于給定的正整數，若對任意的正整數，數列均滿足，且，則稱數列是“數列”．(1)證明：各項均為正數的等比數列是“數列”．(2)已知數列既是“數列”，又是“（3）數列”．①證明：數列是等比數列．②設數列的前項和為，若，，問：是否存在正整數，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．6．（23-24高二下·遼寧·階段練習）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應用，更是聯系數學與物理學的重要工具，在極限理論的研究下，導數作為研究函數性質的重要工具，更是與切線有著密不可分的關系，數學家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：(1)對于函數，分別在點處作函數的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數列的第項，則稱數列為函數的“切線軸數列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數列的第項，則稱數列為函數的“切線軸數列”.①設函數，記的“切線軸數列”為；②設函數，記的“切線軸數列”為，則，求的通項公式.(2)在探索高次方程的數值求解問題時，牛頓在《流數法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.已知二次函數有兩個不相等的實根，其中.對函數持續實施牛頓迭代法得到數列，我們把該數列稱為牛頓數列，令數列滿足，且，證明：.（注：當時，恒成立，無需證明）反思提升：1.證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.【考點3】等比數列的性質及應用一、單選題1．（2024·安徽滁州·三模）已知是單調遞增的等比數列，，則公比的值是（

）A．2 B． C．3 D．2．（23-24高二下·四川達州·階段練習）等比數列中，則（

）A． B．5 C．10 D．20二、多選題3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個箱子中裝有大小質地均相同的且標有的10個小球，每次隨機抽取一個小球并放回，規定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進3步的概率最大4．（2024·湖北·二模）無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題5．（21-22高三上·山東聊城·期末）已知等比數列的公比，且，則.6．（23-24高二下·廣東廣州·期中）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程為里.反思提升：(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.分層分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發展，現代折紙技術已發展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數列等比數列，且則的值為（

）A． B．2 C．3 D．43．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比數列的各項均為正數，公比，且滿足，則（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2024·山東泰安·模擬預測）在各項均為正數的等比數列中，已知，其前項之積為，且，則取得最大值時，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比數列的首項為，公比為，則下列能判斷為遞增數列的有（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·山東青島·期末）在等比數列中，，，則（

）A．的公比為 B．的前項和為C．的前項積為 D．7．（23-24高三上·全國·開學考試）記公比為的單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（23-24高二下·江西贛州·階段練習）已知是等比數列的前項和，若，則.9．（23-24高二上·山東青島·期末）數列是等比數列，且前項和為，則實數．10．（2024·貴州·模擬預測）拓撲結構圖在計算機通信、計算機網絡結構設計和網絡維護等方面有著重要的作用.某樹形拓撲結構圖如圖所示，圓圈代表節點，每一個節點都有兩個子節點，則到第10層一共有個節點.（填寫具體數字）四、解答題11．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知數列滿足，，數列前n項和．(1)求證：數列是等差數列；(2)求、的通項公式；(3)設，求的最大值．12．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習）已知等差數列滿足（），數列是公比為3的等比數列，．(1)求數列和的通項公式；(2)數列和中的項由小到大組成新的數列，記數列的前n項和為，求．【能力篇】一、單選題1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知非零實數a，b，c不全相等，則下列結論正確的是（

）A．若a，b，c成等差數列，則，，構成等差數列B．若a，b，c成等比數列，則，，構成等差數列C．若a，b，c成等差數列，則，，構成等比數列D．若a，b，c成等比數列，則，，構成等比數列二、多選題2．（23-24高二下·湖北·階段練習）在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，