5.3.1函數的單調性（1）復習引入曲線y=f(x)在點（x0，f(x0)）處的切線的斜率k0在必修第一冊中，我們通過圖像直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數的單調性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性質.學習了導數的概念和運算，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化.利用導數研究函數的單調性.thaOb(1)thaOb(2)思考1:圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象.運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別?如何從數學上刻畫這種區別?探究:函數的單調性與導數的關系運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別?如何從數學上刻畫這種區別?觀察圖象可以發現:

(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)單調遞增.相應地，v(t)=h'(t)>0.(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)單調遞減.相應地，v(t)=h'(t)<0.thaOb(1)thaOb(2)思考2：我們看到，函數h(t)的單調性與h'(t)的正負有內在聯系.那么，我們能否由h'(t)的正負來判斷函數h(t)的單調性呢?對于高臺跳水問題，可以發現:

當t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數h(t)的圖象是“上升”的，函數h(t)在(0,a)內單調遞增；thaOb(1)thaOb(2)當t∈(a,b)時，h'(t)<0，函數h(t)的圖象是“下降”的，函數h(t)在(a,b)內單調遞減.在區間(a,b)上，h′(t)>0在區間(a,b)上，h′(t)<0在區間(a,b)上，h(t)單調遞增在區間(a,b)上，h(t)單調遞減這種情況是否具有一般性呢?思考3：觀察下面一些函數的圖象，探討函數的單調性與導數的正負的關系.xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)思考3：為什么函數的單調性與導數的正負之間有這樣的關系？xyO導數f′(x0)函數y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處切線的斜率在區間上，f′(x)>0在x=x0處f′(x0)>0函數y=f(x)的圖象上升，函數f(x)在x=x0附近單調遞增切線“左下右上”上升在區間上，f(x)單調遞增(x0,f(x0))xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))導數f′(x1)在區間上，f′(x)<0函數y=f(x)的圖象在點(x1,f(x1))處切線的斜率在x=x1處f′(x1)<0函數y=f(x)的圖象下降，函數f(x)在x=x1附近單調遞減切線“左上右下”下降在區間上，f(x)單調遞減函數的單調性與導數的關系：一般地，函數f(x)的單調性與導函數f'(x)的正負之間具有如下的關系:在某個區間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;在某個區間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.歸納總結aby=f(x)xoyf'(x)>0y=f(x)xoyabf'(x)<0思考4：

如果在某個區間上恒有f′(x)=0，那么函數f(x)有什么特性?函數y=f(x)在這個區間上是常數函數.例1：利用導數判斷下列函數的單調性:解：xyO(1)xyO(2)π-π例題課本P86解：xyO(3)11例1：利用導數判斷下列函數的單調性:①求出函數的定義域；②求出函數的導數f

(x)；③判定導數f

(x)的符號；④確定函數f(x)的單調性.判定函數單調性的步驟：反思歸納1.判斷下列函數的單調性:解：練習課本P87解：課本P87解：例2：xyO14例題課本P86反思歸納解：xyOabxyOab練習課本P872.設函數f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導函數y＝f′(x)的圖象可能是(

)解析：由函數y＝f(x)的圖象，知當x<0時，f(x)單調遞減；當x>0時，f(x)先遞增，再遞減，最后再遞增，分析知y＝f′(x)的圖象可能為D.思考5：結合函數單調性的定義，思考在某個區間上單調的函數y=f(x)的平均變化率的幾何意義與f'(x)的正負的關系.一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，區間D

I，在區間D中任取兩個值x1,x2.（1）當改變量?x=x2-x1>0時，有?y=f(x2)-f(x1)>0，那么就稱函數y=f(x)在區間D上是增函數.（2）當改變量?x=x2-x1>0時，有?y=f(x2)-f(x1)<0，那么就稱函數y=f(x)在區間D上是減函數.在區間(a,b)上,任取A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))兩點,則函數f(x)的平均變化率為其幾何意義為直線AB的斜率.若f(x)在區間(a,b)上是增函數，則其斜率為正,其導數為正；若f(x)在區間(a,b)上是減函數，則其斜率為負，其導數也為負.1．函數y＝xlnx在區間(0,1)上是(

)A．單調增函數B．單調減函數隨堂檢測3.函數y=f(x)在定義域

內可導,其圖象如圖所示,記y=f(x)的導函數為y=f′(x),則不等式f′(x)≤0的解集為

.解析：由題意不等式f′(x)≤0的解集即函數y=f(x)的遞減區間為[2,3).答案:4.已知函數f(x)是R上的偶函數，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，則關于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.(－∞，－1)∪(0,1)解析:因為在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(x)為偶函數，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上單調遞減，f(x)的草圖如圖所示，所以xf(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1).5.判斷函數f(x)＝2x(ex－1)－x2的單調性.解：函數f(x)的定義域為R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；當x∈(－1,0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－