2024-2025學年福建省福州八中高三（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）復數z＝（7+i）i3在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）設Sn為等比數列{an}的前n項和，已知S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，則公比q＝（）A．2 B．﹣2 C． D．3．（5分）已知||＝1，||＝2，且與的夾角為，則|﹣|＝（）A． B．2 C． D．4．（5分）“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）某企業舉辦職工運動會，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個項目．現有A，B兩個場地承擔這4個項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種6．（5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，則a+2b的最小值是（）A． B． C． D．7．（5分）將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標變為原來的2倍，得到函數f（x）的圖象，若f（x）在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）已知P是橢圓上一點，F1，F2是C的兩個焦點，，點Q在∠F1PF2的平分線上，O為原點，OQ∥PF1，且|OQ|＝2b，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）下列說法中正確的有（）A．若隨機變量x，y滿足經驗回歸方程，則x，y的取值呈現正相關 B．若隨機變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，則P（X＜0）＝0.15 C．若事件A，B相互獨立，則P（A|B）＝P（A） D．若5件產品中有2件次品，采取無放回的方式隨機抽取3件，則抽取的3件產品中次品數為1的概率是（多選）10．（6分）已知函數f（x）＝2x3﹣3x2，則（）A．x＝0是f（x）的極大值點 B．f（x）的圖象關于點對稱 C．g（x）＝f（x）+1有2個零點 D．當0＜x＜1時，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）（多選）11．（6分）已知曲線C：4x|x|＝y|y|﹣4．點，，則以下說法正確的是（）A．曲線C關于原點對稱 B．曲線C存在點P，使得|PF1|﹣|PF2|＝4 C．直線y＝2x與曲線C沒有交點 D．點Q是曲線C上在第三象限內的一點，過點Q向y＝±2x作垂線，垂足分別為A，B，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）在的展開式中，x3項的系數是．13．（5分）已知，則＝．14．（5分）已知△ABC為等邊三角形，PA⊥底面ABC，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為4π，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在三角形ABC中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若c＝2b，三角形ABC的面積為，求三角形ABC的周長．16．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側面ABB1A1是正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB∥CD，，M為線段AB的中點，AD⊥B1M．（Ⅰ）求證：C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直線AC1與平面MB1C1所成角的正弦值．17．（15分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A是E上第一象限內的動點．當直線AF的傾斜角為時，|AF|＝4．（1）求E的方程；（2）已知點D（2，2），B，C是E上不同兩點．若四邊形ABCD是平行四邊形，證明：直線AC過定點．18．（17分）設函數f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）．（1）若曲線y＝f（x）在點（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）當x＞1時f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）證明：．19．（17分）在n個數碼1，2，…，n（n∈N，n≥2）構成的一個排列j1j2?jn中，若一個較大的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成逆序，這個排列的所有逆序的總個數稱為這個排列的逆序數，記為τ（j1j2?jn），例如，τ（12）＝0，τ（4132）＝4．（1）比較τ（613245）與τ（15432）的大小；（2）設數列{an}滿足，a1＝2，求{an}的通項公式；（3）設排列滿足，，，，證明：c5+c6+?+cn≥．

2024-2025學年福建省福州八中高三（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）復數z＝（7+i）i3在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，復數的幾何意義，即可求解．【解答】解：z＝（7+i）i3＝（7+i）（﹣i）＝1﹣7i，其在復平面內對應的點（1，﹣7）位于第四象限．故選：D．2．（5分）設Sn為等比數列{an}的前n項和，已知S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，則公比q＝（）A．2 B．﹣2 C． D．【答案】A【分析】根據題意，分析可得（S3﹣S2）＝a4﹣a3，變形即可得答案．【解答】解：根據題意，等比數列{an}中，S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，兩式相減可得：（S3﹣S2）＝a4﹣a3，即a3＝a4﹣a3，變形可得：a4＝2a3，變形可得q＝2．故選：A．3．（5分）已知||＝1，||＝2，且與的夾角為，則|﹣|＝（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先計算出向量，的數量積，計算出|﹣|2，從而得出結論．【解答】解：∵||＝1，||＝2，且與的夾角為，∴＝1×2×＝，∴|﹣|2＝﹣2??+3＝1﹣2+3×22＝7，故|﹣|＝，故選：A．4．（5分）“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據直線與圓的位置關系及充分、必要條件的定義判定選項即可．【解答】解：若直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點，易知圓心（1，3），半徑，則圓心到直線l的距離，解之得﹣12≤a≤﹣2，又{a|﹣12≤a≤﹣2}?{a|﹣12≤a≤0}，所以“﹣12≤a≤0”是“直線l：x+2y+a＝0與圓（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共點”的必要不充分條件．故選：B．5．（5分）某企業舉辦職工運動會，有籃球、足球、羽毛球、乒乓球4個項目．現有A，B兩個場地承擔這4個項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）A．10種 B．12種 C．14種 D．20種【答案】C【分析】分一個場地承辦一個項目，另一個場地承辦三個項目與每個場地都承辦兩個項目兩種情況討論，按照先分組，再分配的方法計算可得．【解答】解：若一個場地承辦一個項目，另一個場地承辦三個項目，則有種安排；若每個場地都承辦兩個項目，則有種安排；綜上可得一共有8+6＝14種不同的安排方法．故選：C．6．（5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，則a+2b的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由2a+b＝ab+1可得，后由基本不等式可得答案．【解答】解：因2a+b＝ab+1，則a＝，則．當且僅當，即，時取等號．故選：A．7．（5分）將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標變為原來的2倍，得到函數f（x）的圖象，若f（x）在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據伸縮變換規則可得，再由余弦函數圖象性質以及極值點個數解不等式可得結果．【解答】解：將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標變為原來的2倍，得到函數，當時，，若f（x）在上只有一個極大值點，則由y＝2cosx的圖像可得，解得，因為ω∈N*，所以ω的最大值為3．故選：B．8．（5分）已知P是橢圓上一點，F1，F2是C的兩個焦點，，點Q在∠F1PF2的平分線上，O為原點，OQ∥PF1，且|OQ|＝2b，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設|PF1|＝m，|PF2|＝n，由題意得出△QAP是等腰直角三角形，列方程組得到含a，c的齊次方程即可求解離心率．【解答】解：如圖，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，延長OQ交PF2于A，由題意知OQ∥PF1，O為F1F2的中點，故A為PF2中點，又，即PF1⊥PF2，則，又點Q在的平分線上，則，故△QAP是等腰直角三角形，因此，則，所以m﹣n＝4b，又m+n＝2a，所以，又在Rt△PF1F2中，，即m2+n2＝4c2，即（a+2b）2+（a﹣2b）2＝4c2，化簡得：a2+4b2＝2c2，又b2＝a2﹣c2，所以5a2＝6c2，所以，即．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）下列說法中正確的有（）A．若隨機變量x，y滿足經驗回歸方程，則x，y的取值呈現正相關 B．若隨機變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，則P（X＜0）＝0.15 C．若事件A，B相互獨立，則P（A|B）＝P（A） D．若5件產品中有2件次品，采取無放回的方式隨機抽取3件，則抽取的3件產品中次品數為1的概率是【答案】BCD【分析】根據回歸方程即可判斷A；根據正態分布的對稱性即可判斷B；根據相互獨立事件的概率公式及條件概率公式即可判斷C；根據古典概型的概率公式即可判斷D．【解答】解：對于A，因為隨機變量x，y滿足經驗回歸方程，所以x，y的取值呈現負相關，故A錯誤；對于B，因為隨機變量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，所以P（X＜0）＝P（x＞6）＝0.15，故B正確；對于C，若事件A，B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B），所以，故C正確；對于D，由題意抽取的3件產品中次品數為1的概率，故D正確．故選：BCD．（多選）10．（6分）已知函數f（x）＝2x3﹣3x2，則（）A．x＝0是f（x）的極大值點 B．f（x）的圖象關于點對稱 C．g（x）＝f（x）+1有2個零點 D．當0＜x＜1時，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）【答案】ABC【分析】利用導數求函數極值點判斷選項A；通過證明f（x）+f（1﹣x）＝﹣1得函數圖象的對稱點判斷選項B；利用函數單調性和零點存在定理判斷選項C；利用單調性比較函數值的大小判斷選項D．【解答】解：對于A，函數f（x）＝2x3﹣3x2，f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1，故當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＞0，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，故0是f（x）的極大值點，故A正確；對于B，因為f（x）+f（1﹣x）＝2x3﹣3x2+2（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2＝2x3﹣3x2+2﹣6x+6x2﹣2x3﹣3+6x﹣3x2＝﹣1，所以f（x）的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，g（x）＝f（x）+1＝2x3﹣3x2+1，易知g（x），f（x）的單調性一致，而g（1）＝0，故g（x）＝f（x）+1有2個零點，故C正確；對于D，當0＜x＜1時，﹣1＜x2﹣1＜x﹣1＜0，而f（x）在（﹣1，0）上單調遞增，故f（x2﹣1）＜f（x﹣1），故D錯誤．故選：ABC．（多選）11．（6分）已知曲線C：4x|x|＝y|y|﹣4．點，，則以下說法正確的是（）A．曲線C關于原點對稱 B．曲線C存在點P，使得|PF1|﹣|PF2|＝4 C．直線y＝2x與曲線C沒有交點 D．點Q是曲線C上在第三象限內的一點，過點Q向y＝±2x作垂線，垂足分別為A，B，則【答案】CD【分析】分x，y的零的大小討論，得到曲線方程，并畫出圖形，由對稱性可得A錯誤；由雙曲線的定義可得B錯誤；由漸近線方程可得C正確；由點到直線的距離公式可得D正確；【解答】解：當x≥0，y＞0時，曲線C：4x2＝y2﹣4，即；x≤0，y≥0時，曲線C：﹣4x2＝y2﹣4，即；當x≥0，y＜0時，曲線C：4x2＝﹣y2﹣4，即；不存在；x＜0，y≤0時，曲線C：﹣4x2＝﹣y2﹣4，即；畫出圖形如下：對于A，由圖可得曲線C不關于原點對稱，故A錯誤；對于B，當x≥0，y＞0時，方程是以F1，F2為上、下焦點的雙曲線，曲線C存在點P，使得|PF2|﹣|PF1|＝4，故B錯誤；對于C，一三象限曲線的漸近線方程為y＝2x，所以直線y＝2x與曲線C沒有交點，故C正確；對于D，設Q（x0，y0），設點A在直線y＝2x上，點B在直線y＝﹣2x，則由點到直線的距離公式可得：，，所以，又點Q是曲線C上在第三象限內的一點，代入曲線方程可得，故D正確．故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）在的展開式中，x3項的系數是﹣160．【答案】﹣160．【分析】直接根據二項式的展開式的通項公式求解即可．【解答】解：展開式的通項公式為，令12﹣3r＝3，得r＝3，所以含x3項的系數為．故答案為：﹣160．13．（5分）已知，則＝．【答案】．【分析】根據給定條件，利用誘導公式、二倍角的余弦公式計算即得．【解答】解：由題意可知，＝．故答案為：14．（5分）已知△ABC為等邊三角形，PA⊥底面ABC，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為4π，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．【答案】．【分析】由已知求得外接球的半徑，設等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r，把三棱錐P﹣ABC體積用含有r的函數表示，利用導數求最值．【解答】解：設三棱錐P﹣ABC外接球的半徑為R，由4πR2＝4π，得R＝1，設等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r，∴，即1＝，∵r＜R，∴0＜r＜1，則PA＝＝，，∴＝．令y＝r4﹣r6，則y′＝2r3（2﹣3r2），∵0＜r＜1，令y′＝0，可得r＝，當r∈（0，）時，y′＞0，當r∈（，1）時，y′＜0，∴當r＝時，，∴三棱錐P﹣ABC體積的最大值是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在三角形ABC中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若c＝2b，三角形ABC的面積為，求三角形ABC的周長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理進行邊角互化可得，結合兩角差的余弦公式及同角三角函數的基本關系可求出，即可求出A；（2）由三角形的面積公式可得bc＝4，結合c＝2b及余弦定理即可求出a，即可得出結果．【解答】解：（1）由正弦定理得asinB＝bsinA，所以，所以，整理得，因為A∈（0，π），所以sinA＞0，因此cosA＞0，所以，所以；（2）由△ABC的面積為，得，解得，又c＝2b，則，，由余弦定理得，解得a＝2，，所以△ABC的周長為．16．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側面ABB1A1是正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB∥CD，，M為線段AB的中點，AD⊥B1M．（Ⅰ）求證：C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直線AC1與平面MB1C1所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明過程見解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由線面垂直的判定定理和面面垂直的性質定理可證得AD，AA1，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出直線C1M和平面ADD1A1的法向量，由線面平行的向量表示即可證得；（Ⅱ）求出直線AC1的方向向量和平面MB1C1的法向量，由向量的夾角公式計算即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：因為側面ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，因為平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，AA1?平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以AA1⊥AD，又AD⊥B1M，AA1與B1M延長后相交，AA1，B1M?平面AA1B1B，所以AD⊥平面AA1B1B，又AB?平面AA1B1B，所以AD⊥AB，所以AD，AA1，AB兩兩互相垂直，以A為坐標原點，AD，AA1，AB所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設AB＝2，則AD＝1，DC＝1，AA1＝2，則A（0，0，0），B（0，0，2），M（0，0，1），D（1，0，0），D1（1，2，0），A1（0，2，0），B1（0，2，2），C1（1，2，1），因為，平面ADD1A1的一個法向量為，所以，即，因為C1M?平面ADD1A1，所以C1M∥平面ADD1A1；（Ⅱ）因為，，，設平面MB1C1的法向量為，則，令x＝2，則y＝﹣1，z＝2，所以，設直線AC1與平面MB1C1所成角為θ，所以sinθ＝＝＝＝＝．17．（15分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A是E上第一象限內的動點．當直線AF的傾斜角為時，|AF|＝4．（1）求E的方程；（2）已知點D（2，2），B，C是E上不同兩點．若四邊形ABCD是平行四邊形，證明：直線AC過定點．【答案】（1）y2＝4x；（2）證明見解析．【分析】（1）過點A作x軸的垂線，垂足為H1，作準線的垂線，垂足為H2，由拋物線的性質結合題意可得|AH2|＝p+2＝4，求出p即可得解；（2）設直線AC方程為x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），聯立方程組，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，由四邊形ABCD是平行四邊形可得，y0＝y1+y2﹣2＝4m﹣2，即可得B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），然后代入拋物線方程求出m，n的關系即可得證．【解答】（1）解：過點A作x軸的垂線，垂足為H1，作準線的垂線，垂足為H2，如圖，由拋物線定義，得|AH2|＝|AF|＝4，因為直線AF的傾斜角為，則|FH1|＝2，所以|AH2|＝p+2，即p+2＝4，所以p＝2，故E的方程為y2＝4x；（2）證明：設直線AC方程為x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），聯立方程組，消去x整理得y2﹣4my﹣4n＝0，則Δ＝16m2+16n＞0，故m2+n＞0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，因為四邊形ABCD是平行四邊形，，y0＝y1+y2﹣2＝4m﹣2，即B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），代入y2＝4x中，得（4m﹣2）2＝4（4m2+2n﹣2），即，滿足m2+n＞0，所以直線AC方程為x＝my，即，所以直線AC過定點．18．（17分）設函數f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）．（1）若曲線y＝f（x）在點（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）當x＞1時f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）a＝1；（2）[，+∞）；（3）證明見解析．【分析】（1）利用導數的幾何意義求解；（2）求出導函數f'（x）（x＞1），并設u（x）＝f'（x）（x＞1），求得，由于，因此根據2a≤0、2a≥1以及0＜2a＜1分類討論f（x）＜0（x＞1）是否恒成立，從而得參數范圍；（3）由（2）不等式變形得＜1，再用代x后變形及放縮得，然后令x＝2，3，…，n后相加可證．【解答】解：（1）f'（x）＝lnx+1﹣2ax，由題意曲線y＝f（x）在點（1，0）處的切線方程為x+y﹣1＝0，則f'（1）＝1﹣2a＝﹣1，解得a＝1；（2）f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1），x＞1，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，令u（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞1），則，當2a≤0，即a≤0時，u'（x）＞0，u（x）即f′（x）是（1，+∞）上的增函數，因此f′（x）＞f′（1）＝﹣2a＞0，f（x）是增函數，所以f（x）＞f（1）＝0，不合題意，舍去；當2a≥1，即時，u'（x）＜0，u（x）即f'（x）是（1，+∞）上的減函數，所以f'（x）＜f'（1）＝1﹣2a≤0，所以f（x）是（1，+∞）上的減函數，從而f（x）＜f（1）＝0恒成立；當0＜2a＜1，即時，，當時，u'（x）＞0，u（x）在單調遞增，時，u'（x）＜0，u（x）在（單調遞減，又u（1）＝1﹣2a＞0，所以時，u（x）＞0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，此時f（x）在上單調遞增，因此f（x）＞f（1）＝0，與題意不合，舍去；綜