專題五三角形、四邊形與圖形變換綜合例：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個(gè)定點(diǎn)，AO⊥BC于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E，DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點(diǎn)M.[2023福建改編]基礎(chǔ)問：(1)求證：△FDC是等腰直角三角形；證明：由圖形旋轉(zhuǎn)的特征可知：DF＝DC，∠FDC＝90°，∴△FDC是等腰直角三角形.(1)證明等腰直角三角形：方法一找“直角＋兩腰相等”方法二找“直角、45°角”方法三找“兩個(gè)45°角”方法四找“直角＋三線合一”方法五找“三線合一、斜邊中線是斜邊的一半”(2)求證：∠M＝∠ADE；證明：∵∠BAC＝90°，∴∠M＋∠ADM＝90°.∵∠CDF＝90°，∴∠CDM＝180°－90°＝90°，∴∠ADE＋∠ADM＝90°，∴∠M＝∠ADE.(2)證明不在同一個(gè)三角形中的兩角相等：找到角所在的三角形，首選內(nèi)外角的關(guān)系等量轉(zhuǎn)化，再嘗試證明全等或相似.(3)求證：△ADE∽△FMC；

(3)設(shè)問之間往往是循序漸進(jìn)的，可結(jié)合前(1)(2)問得到兩組角分別相等，從而證明△ADE∽△FMC.能力問：(4)如圖②，設(shè)DF與BC交于點(diǎn)I，求證：△BIF∽△DIC；證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠DBI＝45°，∴∠DBI＝∠CFI＝45°.又∵∠BID＝∠FIC，

(4)觀察相似三角形的位置關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)常見的斜八字模型.此模型解題的關(guān)鍵是通過兩角對應(yīng)相等先證明其中兩個(gè)三角形相似，得到的比例式用于證明另外兩個(gè)三角形相似.斜八字型和手拉手模型，均可利用上述方法，將邊重組得到兩組相似三角形.(5)如圖③，求∠ABF的度數(shù)；解：由(4)知△BIF∽△DIC，∴∠IBF＝∠IDC.又∵∠IDC＝90°，∴∠IBF＝90°.∵∠ABC＝45°，∠ABF＝∠ABC＋∠IBF，∴∠ABF＝135°.(5)求角度時(shí)，可先利用幾何性質(zhì)整體求值，行不通時(shí)，再拆成和差進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合前4問可得∠ABC和∠FBI的大小，求和即可.壓軸問：(6)如圖④，若N是AF的中點(diǎn).求證：ND＝NO.證明：如圖，延長ON交BF于點(diǎn)T，連接DT，DO，∵AO⊥BC，∴∠BOA＝90°，∴∠FBI＝∠BOA＝90°，∴BF∥AO，∴∠FTN＝∠AON.∵N是AF的中點(diǎn)，∴AN＝NF.又∵∠TNF＝∠ONA，∴△TNF≌△ONA，∴NT＝NO，F(xiàn)T＝AO.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，∴AO＝CO，∴FT＝CO.由(4)知，△BIF∽△DIC，∴∠DFT＝∠DCO.∵DF＝DC，∴△DFT≌△DCO，

(6)壓軸問思維路徑：已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.(1)如圖①，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；證明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC.∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四邊形ABDC為平行四邊形.∵AB＝AC，∴平行四邊形ABDC為菱形.(2)如圖②，將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC)，BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；解：∠ACE＋∠EFC＝180°.證明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC.由(1)可知∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DEC.∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF.∵∠CEF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，∴∠ACE＋∠EFC＝180°.(3)如圖③，將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC)，若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數(shù).[2022福建12分]

∴BM＝DB，∠ABM＝∠CDB，∴∠BMD＝∠BDM.∵∠BMD＝∠BAM＋∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC.設(shè)∠BCD＝