5.2.2導數的四則運算法則導學案1.掌握導數的四則運算法則，并能進行簡單的應用．2.能靈活運用導數的運算法則解決函數求導．重點：導數的四則運算法則難點：運用導數的運算法則解決函數求導導數的運算法則(1)和差的導數[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)積的導數①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的導數eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)學習導引在例2中，當p0=5時，pt=5×1.05t,這時，求p關于二、新知探究探究1：設fx=x2

，gx=x探究:2：設fx=x2

，g三、典例解析例3.求下列函數的導數（1）y=（2）y=例4.求下列函數的導數（1）y=x3求函數的導數的策略(1)先區分函數的運算特點，即函數的和、差、積、商，再根據導數的運算法則求導數；(2)對于三個以上函數的積、商的導數，依次轉化為“兩個”函數的積、商的導數計算．跟蹤訓練1求下列函數的導數：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝eq\f(cosx,x).跟蹤訓練2求下列函數的導數（1）y＝tanx；（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)例5日常生活中的飲用水通常是經過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需進化費用不斷增加，已知將1t水進化到純凈度為x%所需費用（單位：元），為c(x)=5284100?x求進化到下列純凈度時，所需進化費用的瞬時變化率：（1）90%

；（2）98%例6(1)函數y＝3sinx在x＝eq\f(π,3)處的切線斜率為________．(2)已知函數f(x)＝ax2＋lnx的導數為f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實數a的取值范圍．關于函數導數的應用及其解決方法(1)應用：導數應用主要有：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用；(2)方法：先求出函數的導數，若已知切點則求出切線斜率、切線方程；若切點未知，則先設出切點，用切點表示切線斜率，再根據條件求切點坐標．總之，切點在解決此類問題時起著至關重要的作用．1．已知函數f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為()A．1B．eq\r(2)C．－1D．02.已知物體的運動方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)3.如圖有一個圖象是函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導函數的圖象，則f(－1)＝ ()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)4.求下列函數的導數．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).參考答案：知識梳理學習過程新知探究探究1：設y=fx?y?x=x+?x2+x+?x?(fx+gx'而fx'=2x,gx'所以fx+gx'同樣地，對于上述函數，fx?g探究:2：通過計算可知，fxgx'=(x3)因此fxg典例解析例3.解：（1）y=(x3)（2）y例4.解：（1）y=(x（2）y跟蹤訓練1[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).跟蹤訓練2解析：（1）y＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，故y′＝cosx.例5解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數的導數；c==（1）因為c'(90)=5284

100?902（2）因為c'(98)=5284

100?982例6(1)[解析]由函數y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函數在x＝eq\f(π,3)處的切線斜率為3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)(2)[解]①由題意，函數的定義域為(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因為曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，故此時切線斜率為0，問題轉化為在x∈(0，＋∞)內導函數f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零點，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正實數解，即2ax2＝－1有正實數解，故有a<0，所以實數a的取值范圍是(－∞，0)．達標檢測1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：A2.解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，圖(1)與(2)中，導函數的圖象的對稱軸都是y軸，此時a＝0，與題設不符合，故圖(3)中的圖象是函數f(x)的導函數的圖象．由圖(3)知f′(0)＝0，由根與系數的關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B4.[解]