Page第05講基本不等式（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新Ⅰ卷，第18題第一問,4分基本不等式求范圍導數綜合2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合2022年新Ⅰ卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形2022年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數相關性質2021年新Ⅰ卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質2020年新Ⅰ卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何2020年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數的性質及單調性2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變性多，學生易上手學習，但高考常作為載體和其他版塊結合考查，難度不定，分值為5分左右【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應用條件：“一正，二定，三相等”2.能正確處理常數“1”求最值3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟練掌握基本不等式的應用，應用于函數和解析幾何的求解過程中求最值【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會結合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關聯，難度中等偏上。知識講解1．基本不等式如果，那么（當且僅當時取“=”）.說明：①對于非負數，我們把稱為的，稱為的.②我們把不等式稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個非負數的幾何平均數不大于它們的算術平均數.③“當且僅當時取‘=’號”這句話的含義是：一方面是當時，有；另一方面當時，有.④結構特點：和式與積式的關系.2．基本不等式求最值（1）設x，y為正數，若積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值（簡記為：積定和最小）.（2）設x，y為正數，若和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2（簡記為：和定積最大）.3．幾個重要不等式（含基本不等式鏈）（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）或（）；（5）考點一、直接用基本不等式求和或積的最值1．（23-24高三上·河南信陽·階段練習）已知，，且，則的最大值為（

）A．0 B．1 C．-1 D．22．（2024·全國·模擬預測）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1．（2023·上海·模擬預測）已知正實數a、b滿足，則的最大值為．2．（2024·云南·模擬預測）已知正數滿足，則的最小值為.考點二、巧用“1”或常數關系求最值1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．2．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．1．（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，則的最小值為.3．（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3考點三、拼湊法求最值1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．2．（2024高三·全國·專題練習）若函數在處取最小值，則．3．（2024·江西贛州·二模）已知，則的最小值為.1．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是．2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知實數，且，則的最小值是．考點四、換元法求最值1．（2022高三上·全國·專題練習）已知，求的最大值.2．（2023·全國·模擬預測）已知，，，則的最大值為．1．（2020·甘肅蘭州·二模）設m，n為正數，且，則的最小值為.2．（2024·浙江·模擬預測）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．考點五、二次與二次（一次）的商式求最值1．（2023高三·全國·專題練習）函數的最大值為.2．（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數，則的最大值為．1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函數在上的最大值為．2．（2023高三·全國·專題練習）當時，求函數的最小值.考點六、兩次應用基本不等式求最值1．（23-24高一上·上海徐匯·期中）若x，y，z均為正實數，則的最大值是．2．（23-24高三下·重慶·階段練習）對任意的正實數，滿足，則的最小值為.1．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知正數滿足，則的最小值為.2．（2023·江西·一模）已知，，是正實數，且，則最小值為.考點七、條件等式變形求最值1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）若，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2．（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值是.3．（2023·江西·二模）實數，，滿足：，則的范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值為．2．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是．3．（22-23高三上·天津和平·階段練習）已知正數滿足，則的最小值是．考點八、利用基本不等式在恒成立問題中求參數的范圍1．（23-24高三上·福建漳州·階段練習）已知，恒成立，則實數的取值范圍是．2．（2023高一上·全國·專題練習）已知且，若恒成立，則實數的范圍是．3．（2023·廣東湛江·二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·江西·一模）已知正數x，y滿足，若不等式恒成立，則實數a的取值范圍是．2．設正實數滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設實數x，y滿足，，不等式恒成立，則實數k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．考點九、利用基本不等式判斷或證明不等式關系1．（23-24高三上·江蘇揚州·期末）若，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習）已知正數滿足.(1)若，求的最小值；(2)證明：.3．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知為正數，且.證明：(1)；(2).1．（2023·安徽蚌埠·模擬預測）已知實數滿足且，則下列不等關系一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024高三·全國·專題練習）已知實數a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．3．（2024·青海·一模）已知正數滿足．求證：(1)；(2)．考點十、基本不等式多選題綜合1．（2024·全國·模擬預測）若實數a，b滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北保定·二模）已知，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為2 D．的最小值為3．（2024·浙江·二模）已知正實數，且為自然數，則滿足恒成立的可以是（

）A． B．C． D．1．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則下列說法正確的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值為2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知，且，則下列結論成立的是（

）A． B．C．存在，使得 D．3．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·安徽·模擬預測）已知，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024·河南·模擬預測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知，，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為．6．（2024·河南商丘·模擬預測）若正數滿足，則的最小值是．7．（2024·天津·模擬預測）若，，且，則的最小值為8．（2024·河南·模擬預測）已知向量，，若，則的取值范圍為．9．（2024高三·全國·專題練習）若實數滿足則的最小值為．10．（2024·廣東·三模）設實數x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為.一、單選題1．（2024·北京順義·三模）設，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．2．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024高二下·湖南·學業考試）已知，，，若不等式恒成立，則實數的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．64．（2024·廣西·模擬預測）已知，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024·上海·三模）已知函數，若，，且，則的最小值是6．（2024·河南信陽·模擬預測）若實數，滿足，則.7．（2024·河北·三模）已知函數，若，則當取得最小值時，．8．（2024高三·全國·專題練習）已知正實數x，y滿足，則的最小值為．9．（23-24高三下·重慶·開學考試）已知實數滿足，則的最大值為；的取值范圍為．三、解答題10．（2024高三·全國·專題練習）設正實數滿足，不等式恒成立，求的最大值．1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．4．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（

）