《電工電子技術(shù)及應(yīng)用實(shí)踐》

第三章正弦交流電路本章內(nèi)容§1正弦電壓與電流§2正弦量的相量表示法§3單一參數(shù)的交流電路§4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路§5節(jié)點(diǎn)電壓法§6阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)§7交流電路的頻率特性§8功率因數(shù)的提高§1正弦電壓與電流隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓稱為正弦電壓，同樣地有正弦電流、正弦磁通等。這些按正弦規(guī)律變化的物理量統(tǒng)稱為正弦量。下面以正弦電流為例，說明正弦量的一些基本概念。設(shè)有一正弦電流流過某元件，那么電流的大小隨時(shí)間在變化，且電流的方向也在改變。在選定的參考方向下,正弦電流可表示為（a）下圖為電流的波形圖,由波形圖可看到，在不同時(shí)刻電流有不同的數(shù)值。電流在任一瞬時(shí)的值稱為電流在該一時(shí)刻的瞬時(shí)值。用小寫字母表示瞬時(shí)值，例如瞬時(shí)電流、瞬時(shí)電壓。電流值有正有負(fù)，當(dāng)電流值為正時(shí)，表示電流的實(shí)際方向和參考方向一致；當(dāng)電流值為負(fù)時(shí)，表示電流的實(shí)際方向和參考方向相反。§1正弦電壓與電流正弦電流每重復(fù)變化一次所經(jīng)歷的時(shí)間間隔即為它的周期，用表示，周期的單位為秒。正弦電流每經(jīng)過一個(gè)周期,對(duì)應(yīng)的角度變化了弧度,所以式中為角頻率，表示正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的角度。用弧度/秒(rad/s)作為角頻率的單位;是頻率，表示單位時(shí)間內(nèi)正弦量變化的循環(huán)次，用1/秒（1/s）作為頻率的單位，稱為赫[茲]（Hz）。我國電力系統(tǒng)用的交流電的頻率為50Hz。在電子技術(shù)中,常用千赫(kHz)(1kHz=103Hz)兆赫(MHz)(1MHz=106Hz)或吉赫(GHz)（1GHz=109Hz）作為頻率的單位。§1正弦電壓與電流最大值、角頻率和初相位稱為正弦量的三要素。知道了這三個(gè)量就可確定一個(gè)例如,若已知一個(gè)正弦電流

，

,

,就可以寫出設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量

,

,它們的波形如圖3-2所示,此電壓和電流表達(dá)式分別為§1正弦電壓與電流若以

表示電壓和電流之間的相位差，則可見，頻率相同的正弦電壓和正弦電流的相位都是時(shí)間的函數(shù)，但由于它們的角頻率相同，所以它們的相位差是一個(gè)常數(shù)，即為初相位之差。兩個(gè)同頻率的正弦量之間的相位差與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān)。設(shè)圖中，將計(jì)時(shí)起點(diǎn)選為0′，則電壓和電流的初相位要隨之改變，但它們之間的相位差是不會(huì)改變的，仍為g。§1正弦電壓與電流周期勝電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值是隨時(shí)間變化的。要完整地描述它們就需要用它的表達(dá)式成波形圖。為表征它們的作功的能力并度量其“大小”，用以下定義的有效值是更為方便的。將一個(gè)周期性電流的作功能力和直流電流的作功能力相比，作出有效值定義如下：周期電流流過電阻在一個(gè)周期內(nèi)所作功與直流電流流過電阻在時(shí)間內(nèi)所作功相等，則稱此直流電流的量值為此周期性電流的有效值。周期性電流流過電阻，在時(shí)間內(nèi)電流所作的功為§1正弦電壓與電流周期性電流的有效值的定義式周期性電壓的有效值定義為引入了有效值概念以后，正弦電壓和正弦電流的一般表達(dá)式又可寫作§1正弦電壓與電流周期性電流的有效值的定義式周期性電壓的有效值定義為引入了有效值概念以后，正弦電壓和正弦電流的一般表達(dá)式又可寫作§2正弦量的相量表示法如何用復(fù)數(shù)表示正弦量。對(duì)應(yīng)于正弦電壓

,作一個(gè)復(fù)值函數(shù)

，它表示復(fù)平面上的一個(gè)旋轉(zhuǎn)向量。此向量的模為

，t=0時(shí)向量的幅角是

，向量以恒定的角頻率

依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),在t時(shí)刻其幅角為

,如圖由歐拉公式有§2正弦量的相量表示法從上式可以看出，該復(fù)值函數(shù)的虛部恰好是上述正弦電壓的表示式，即式中§2正弦量的相量表示法按慣例用大寫字母上加一小圓點(diǎn)來表示相量。加小圓點(diǎn)的目的是為了將相量和一般復(fù)數(shù)加以區(qū)別，強(qiáng)調(diào)相量是代表一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)的復(fù)數(shù)。在確定的頻率下，正弦量和相量之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。給定了正弦量，可以得出表示它的相量；反之，由一已知的相量及其所代表的正弦量的頻率，可以寫出它所代表的正弦量。正弦電壓

與相量

間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為上式左邊表達(dá)式中電壓是時(shí)間變量的函數(shù)，稱為時(shí)域表達(dá)式，右邊的表達(dá)式稱為頻域表達(dá)式。雖然該表達(dá)式以復(fù)數(shù)的模和幅角的形式表示，沒有出現(xiàn)

的字樣，但是它隱含著旋轉(zhuǎn)因子

，其中角頻率是常量，而電路的響應(yīng)與角頻率有著密切的關(guān)系。一個(gè)相量作為一個(gè)復(fù)數(shù)，也可以在復(fù)平面上用一個(gè)有向線段來表示，此有向線段的長度為相量的模，它和實(shí)軸的夾角為相量的幅角。在復(fù)平面上用有向線段表示的相量圖形稱為相量圖。§2正弦量的相量表示法若在一復(fù)平面上有多個(gè)同頻的正弦量，則由于表示它們的各旋轉(zhuǎn)相量的旋轉(zhuǎn)角速度相同，任何時(shí)刻它們之間的相對(duì)位置保持不變，因此，當(dāng)考慮它們的大小和相位時(shí)，就可以不考慮它們?cè)谛D(zhuǎn)，而只需指明它們的初始位置，畫出各正弦量的相量就夠了，這樣畫出的圖就是圖中所示的相量圖。從相量圖上可以十分清晰地看出各相量的大小和相位關(guān)系。§2正弦量的相量表示法設(shè)有電阻R,其中有正弦電流

）,若則電阻兩端的電壓為由此可見，電阻兩端電壓是和流過電阻的電流同頻率的正弦量,且相位相同。§3單一參數(shù)的交流電路電阻元件上電壓的有效值等于電阻和其中的電流的有效值的乘積，電壓和電流的相位相同。圖表示電阻元件的相量模型。電阻元件的相量模型電阻元件電壓、電流相量圖§3單一參數(shù)的交流電路則電感兩端的電壓為將上式寫為§3單一參數(shù)的交流電路電感元件兩端的電壓是與電流同頻率的正弦量，且電壓的有效值等于電流的有效值乘以

,電壓的初相位領(lǐng)先于電流初相位為

。圖中示有電感兩端的電壓與其中電流的波形圖（圖中

設(shè)為零)。

電感元件的相量模型電感元件電壓、電流相量圖§3單一參數(shù)的交流電路電容中流過的電流為將電容中的電流記為電容元件§3單一參數(shù)的交流電路由此可見，電容中的電流與其兩端的電壓是同頻率的正弦量，電流的有效值等于電壓有效值

乗以

，且電流的相位領(lǐng)先于電壓

。頻域中電容電壓與電流的相量關(guān)系式電容元件的相量模型電容元件電壓、電流相量圖§3單一參數(shù)的交流電路通過一RLC串聯(lián)電路的放電過程來研究二階電路的零輸入響應(yīng)。設(shè)開關(guān)閉合前電容已帶有電荷

，

，t=0時(shí)開關(guān)閉合，電容就將通過電阻和電感放電。由KVL可得零輸入RLC串聯(lián)電路§4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路因

,將

,

代入上式，得此電路中變量的微分方程或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式設(shè)可得特征方程§4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路特征方程的根，即特征根為（1）過阻尼情況（

）（2）臨界阻尼情況（

）（3）欠阻尼情況（

）（4）無阻尼情況（

）§4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路節(jié)點(diǎn)電壓法是分析電路用的又一基本方法，運(yùn)用這一方法，常可以數(shù)目較少的方程解得電路中的電壓、電流。在節(jié)點(diǎn)電壓法中，對(duì)每一節(jié)點(diǎn)設(shè)一電位。在有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路中，有一個(gè)節(jié)點(diǎn)可取為參考點(diǎn)，它的電位可設(shè)為零；其他每一節(jié)點(diǎn)至參考點(diǎn)的電壓降即為該節(jié)點(diǎn)的電位。這一假設(shè)是符合或滿足基爾霍夫電壓定律的。對(duì)n-1個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)寫出n-1個(gè)KCL方程，將其中的各個(gè)支路電流都用節(jié)點(diǎn)電壓（位）去表示，在這過程中將各元件方程代入，就得到n-1個(gè)共含有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的方程，由它們便可解出各節(jié)點(diǎn)電壓。我們先就僅含有電流電源和線性電阻（導(dǎo)）的電路來敘述這個(gè)方法。§5節(jié)點(diǎn)電壓法§5節(jié)點(diǎn)電壓法電路的以節(jié)點(diǎn)電壓和電路參數(shù)表示的KCL方程整理上面方程，得§5節(jié)點(diǎn)電壓法在交流電路中，阻抗的連接形式是多種多樣的，其中最簡單和最常用的是串聯(lián)與并聯(lián)。阻抗的串聯(lián)圖所示的是兩個(gè)阻抗和串聯(lián)的電路。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可寫出它的相量表示式§6阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)現(xiàn)在考察RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性。頻率特性是指電路中的電流、壓、阻抗、導(dǎo)納等量與頻率的關(guān)系。先考慮RLC串聯(lián)電路阻抗的頻率特性，由可得§7交流電路的頻率特性RLC串聯(lián)電路的頻率特性電流的曲線§7交流電路的頻率特性在電力工程供電電路中，用電設(shè)備（負(fù)載）都聯(lián)接至供電線路上，由輸電線傳輸?shù)接脩舻目偣β仕?除了和電壓、電流有關(guān)外，還和負(fù)載的功率因數(shù)有關(guān)。在實(shí)際用電設(shè)備中，小部分負(fù)載是純電阻負(fù)載，大部分負(fù)載是作為動(dòng)力用途的交流異步電動(dòng)機(jī)，異步電動(dòng)機(jī)的功率因數(shù)（滯后〉較低,工作時(shí)一般在0.75-0.85左右，輕載時(shí)可能低于0.5。在傳送相同功率的情況下，負(fù)載的功率因數(shù)低，那么負(fù)載向供電設(shè)備所取的電流就必然相對(duì)地大，也就是說電源設(shè)備向負(fù)載提供的電流要大。這會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)方面的不良后果：一方面是因?yàn)檩旊娋€路具有一定的阻抗，電流増大就會(huì)使線路上電壓降和功率損失増加，前者會(huì)使負(fù)載的用電電壓降低，