重難點02函數性質的靈活運用【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1函數的單調性的綜合應用】............................................................3

【題型2函數的最值問題】.....................................................................4

【題型3函數的奇偶性的綜合應用】............................................................4

【題型4函數的對稱性及其應用】..............................................................5

【題型5對稱性與周期性的綜合應用】..........................................................6

【題型6類周期函數】.........................................................................6

【題型7抽象函數的性質及其應用】............................................................7

【題型8函數性質的綜合應用】.................................................................8

?命題規律

1、函數性質的靈活運用

函數及其性質是高考數學的重要內容.從近幾年的高考情況來看，本節是高考的一個重點、熱點內容，

函數的單調性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函

數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想，靈活求解.對

于選擇題和填空題部分，重點考查基本初等函數的單調性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數單調性及

求最值、解不等式、求參數范圍等，難度較小；對于解答題部分，一般與導數相結合，考查難度較大，復

習時要加強訓練.

?方法技巧總結

【知識點1函數的單調性與最值問題的解題策略】

1.求函數的單調區間

求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間.

2.函數單調性的判斷

(1)函數單調性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性；④導數法.

(2)函數yjg(x))的單調性應根據外層函數產也)和內層函數pg(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數單調性的幾條常用結論：

①若"X)是增函數，貝『/(x)為減函數；若是減函數，則-〃x)為增函數；

②若〃x)和g(x)均為增(或減)函數，則在/(x)和g(x)的公共定義域上〃x)+g(x)為增(或減)函

數；

③若〃x)>0且/(x)為增函數，則函數/而為增函數，一匚為減函數；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)為減函數，則函數77?6為減函數，」一為增函數.

/(X)

3.求函數最值的三種基本方法：

(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.

(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復雜函數求最值：

對于較復雜函數，可運用導數，求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.

【知識點2函數的奇偶性及其應用】

1.函數奇偶性的判斷

判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷段)與火-x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函數)或危)力-x)=0(偶函數))是否成立.

(3)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

對于運算函數有如下結論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)復合函數y=/[g(x)]的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數模型

奇函數：①函數/(x)=w?(a+l)(xwO)或函數f(x)=m(a.

a-1a+1

②函數f(x)=±(ax-a-x).

③函數/(x)=log=log。(1+或函數/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函數〃x)=log"(Gn+x)或函數f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函數奇偶性的應用

(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的

函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.

(2)畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.

【知識點3函數的周期性與對稱性的常用結論】

1.函數的周期性常用結論(。是不為0的常數)

(1)若兀r+a)=/(x),貝T=a；

(2)若貝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),貝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),貝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),貝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),貝！IT=\a-b\(a^by,

2.對稱性的三個常用結論

(1)若函數兀v)滿足火a+x)y6-x),則y=/(x)的圖象關于直線x="：”對稱.

(2)若函數兀r)滿足加什丫尸十方.)，則y=/(x)的圖象關于點(今步,0b寸稱.

(3)若函數於)滿足/(a+x)4yS-無尸c,則y=/(x)的圖象關于點對稱.

3.函數的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數〃x)是周期函數，且7=2(b-a)；

(2)若函數y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數y=/(x)是周期函數，且

T=1(b-a)；

(3)若函數y=/(尤)有一條對稱軸無=。和一個對稱中心(6,0)(。<6),則函數y=f(x)是周期函數，且

r=4(b-a).

【知識點4抽象函數的解題策略】

1.抽象函數及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數稱為抽象函數，一般用y/x)表示，抽

象函數問題可以全面考查函數的概念和性質，將函數定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖象集于

一身，是考查函數的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

?舉一反三

【題型1函數的單調性的綜合應用】

【例1】(2024?河北滄州?模擬預測)已知函數fQ)定義域為R,且函數f(x)與f(x+l)均為偶函數，當工€[0,1]

時，/(%)是減函數，設a=/(1!)，力=/(￡)，C=/(logi6^)，則a,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【變式1-1](2024?陜西西安?模擬預測)已知函數/(%)的定義域為R,對任意實數x,>都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,當久>0時,/(%)>1,且f(2)=5,則關于x的不等式/(%)+/(4-3%)<6的解

集為()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-oo,1)D.(-oo,2)

【變式1?2】(2024?山東?二模)已知函數/(%)=2X2一血％+1在區間[_1,+8)上單調遞增，則/(I)的取值

范圍是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【變式1?3】(2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知定義在區間(-血血)(根>0)上，值域為R的函數/(%)滿足：①

當0<久<加時，/(%)>0；②對于定義域內任意的實數Q、6均滿足：/(a+b)=?[巖*?貝U()

U

-1■Jku77\J

A./(0)=1

B.\/xr,x2,-m<%i<x2<M/QD>f(%2)

C.函數〃>)在區間(0,m)上單調遞減

D.函數/'(x)在區間(-6即)上單調遞增

【題型2函數的最值問題】

【例2】(2024?安徽淮北?二模)當實數t變化時，函數/(%)=|尤2+4,％6[-4,4]最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【變式2-1](2024?全國?模擬預測)已知x>0,y>0且x+y=l,則/或+/磊的最小值為()

A."B.-C.D.-

【變式2-2](2024?江西鷹潭?三模)若/(X)=|x+2|+|3x—可的最小值是4,則實數a的值為()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【變式2-3](2024?全國?三模)已知函數/(無)=6Y-(6+3)刀3在[_1,1]上的最小值為-3,則實數b的取值范

圍是()

A.(—oo,-4]B.[9,+oo)C.[—4,9]D.[-1,9]

【題型3函數的奇偶性的綜合應用】

【例3】(2024?安徽亳州?模擬預測)已知函數久久)是定義在R上的偶函數，函數9(久)是定義在R上的奇函數，

且/Q),g(x)在[0,+8)上單調遞減，貝ij()

A-/(/(2))>/(7(3))B.f(g(2))<f(g(3))

c.g(g(2))>g(g(3))D.g(/(2))<g(f(3))

【變式3-1](2024?浙江紹興?三模)已知函數/(久)滿足：對任意實數x,y,都有f(f(x+y))=f(x)(y)

成立，且/'(0)=1,貝！J()

A./(x+l)為奇函數B./(x)+l為奇函數

C.，(久+1)|為偶函數D.，(久)一1|為偶函數

【變式3-2](2024?遼寧沈陽?三模)已知/(X)是定義在R上的函數，且/(2x-1)為偶函數，/(x-2)是奇函數,

當％6[0,1]時,f(x)=2x-l,則f(7)等于()

11

A.-1B.——C.-D.1

【變式3-3](2024?全國?模擬預測)已知函數/(%)是定義在R上的奇函數，且對任意的瓶<幾<0,都有

<0,且f(-2)=0,則不等式金號2N0的解集為()

A.[-3,-1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(-8,-3)U(—2,0)U(2,+8)D.[-3,-1]U(0,1]

【題型4函數的對稱性及其應用】

【例4】(2024?四川?三模)定義在R上的函數y=/(%)與y=g(%)的圖象關于直線％=1對稱，且函數

y=g(2%-1)+1為奇函數，則函數y=/(%)圖象的對稱中心是()

A.(-1-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3-1)

【變式4-1](2024?寧夏銀川?三模)已知函數/(>)=/*,則下列說法不正確的是()

A.函數久久)單調遞增B.函數f(x)值域為(0,2)

C.函數/(%)的圖象關于(0,1)對稱D.函數/(%)的圖象關于(1,1)對稱

【變式4-2](2024?四川南充?三模)已知函數/(X)、g(x)的定義域均為R,函數-2久-1)+1的圖象關于原

點對稱，函數g(x+l)的圖象關于y軸對稱，/(x+2)+g(x+l)=—1/(—4)=0,則/(2030)-g(2017)=

()

A.-4B.-3C.3D.4

【變式4-3](2024?重慶?模擬預測)已知函數y=/O)的定義域是(—8,0)u(0,+8),對任意的比i，x26

(0,+oo),^x,都有叱〉0,若函數y=f(久+1)的圖象關于點(一1,0)成中心對稱，且/1)

X12x2X1

=4,則不等式/(%)>?的解集為()

A.(-1,0)U(0,1)B.(―l,0)U(l,+8)

C.(-0,-1)U(0,1)D.(-00,-1)U(1,4-oo)

【題型5對稱性與周期性的綜合應用】

[例5](2024?全國?模擬預測)若定義在R上的函數/⑶滿足/(田)=/(%),且f(2+x)+/(2-x)=6/⑶

=6,則下列結論錯誤的是()

A./(8+x)=/(%)B./(久)的圖象關于直線x=4對稱

C./(201)=3D.y=/(x+2)-3是奇函數

【變式5-1](2024?四川綿陽?模擬預測)定義在R上的函數/(x)滿足/(2—x)=/(X),/(1)=2,/(3x+2)為

奇函數，有下列結論：

①直線％=1為曲線y=/(幻的對稱軸；②點(|,0)為曲線y=/(x)的對稱中心；③函數/⑶是周期函數；

「2004

④2r/(0=o；⑤函數/(久)是偶函數.

其中，正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【變式5-2](2024?湖南邵陽?三模)已知函數/(%)及其導函數尸(嗎的定義域均為R,記。(久)=廣(久)，函數

/(2%+3)的圖象關于點(-1,1)對稱.若對任意XCR,有/(%+3)=X+/(3—X),則下列說法正確的是()

A.g(x)不為周期函數B./(久)的圖象不關于點(1,1)對稱

1

C.9(211)=5D./(985)=1

【變式5-3](2024?陜西榆林?一模)定義在R上的函數fO),g(x)滿足f(0)<0,/(3-x)=/(1+x),

1

g(2-x)+g(x)=2,,g(x+-)=/(2x)+1,則下列說法中錯誤的是()

A.x=6是函數/(x)圖象的一條對稱軸

B.2是g(x)的一個周期

C.函數/'(%)圖象的一個對稱中心為(3,0)

D.若neN*且n<2023,/(n)+f(n+1)+-+f(2023)=0,則〃的最小值為2

【題型6類周期函數】

【例6】(2024?山東青島?模擬預測)函數/(%)的定義域為R,滿足/(x)=2/Q—l),且當x6(0,1]時，f(x)=x

(1一x).若對任意X6(-8,河，都有/則Hl的最大值是()

11r14八32r41

A-TB-TC.君D.-

【變式6-1](2024?云南昆明?二模)定義“函數y=/(x)是D上的a級類周期函數”如下：函數y=/(x),久e

D,對于給定的非零常數a,總存在非零常數T,使得定義域D內的任意實數久都有好。)=/(尤+7)恒成立，

此時r為久久)的周期.若y=f(久)是[1,+8)上的a級類周期函數，且7=1,當久e[1,2)時，/(幻=2久+1,且

y=f(x)是[1,+8)上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為()

A.[|,+8)B.[2,+00)C.[|,+8)D.[10,+00)

【變式6-2](2024?河南新鄉?三模)設函數f(x)的定義域為R,滿足，(久-2)=2f(x),且當xe(0,2]時，

,2

/0)=久(2—乃.若對任意X6口+8),都有成立，則a的取值范圍是()

A.H，+8)B.[|,+8)

C.(―8,—|]D.(—co,—1]

【變式6-3](2024?安徽合肥?模擬預測)定義在R上的函數/(久)滿足/(x+1)=?(%),且當[0,1)時，/(%)

=1一|2久一1|.當％€[m,+8)時,f(%)<—,則m的最小值為()

A?百B.豆C.-D.—

【題型7抽象函數的性質及其應用】

【例7】(2024?山西呂梁?一模)已知函數/(久)滿足/(久+y)+fQ-y)=7(x)f(y),/(1)=|,則下列結論

不正確的是()

A./(0)=3B.函數f(2x—l)關于直線》=京寸稱

C./(%)+/(0)>0D.f(x)的周期為3

【變式7-1](2024?江西?模擬預測)已知定義域為R的函數/(x),g(x)滿足：g(o)K。，/O)g(y)-/(y)g(x)

=f(%-y),且=g(久-y)，則下列說法不正確的是()

A.9(0)=1B./(%)是奇函數

C.若/(I)+g(l)=1,則f(2024)=g(2024)=-1D.g(x)是奇函數

【變式7-2](2024?全國?模擬預測)設函數/(X)的定義域是(0,+8),且對任意正實數x,y都有f(>y)=f(久)

+/(y)恒成立，已知/'(2)=1,且當x>1時，/(%)>0.

⑴求/?)的值；

(2)判斷y=/(%)在區間(0,+8)內的單調性，并給出證明；

(3)解不等式/(2x)>/(8x—6)—1.

【變式7-3](2024?江西?模擬預測)已知函數p(%),q(%)的定義域均為R,且滿足：@Vx>0,p(x)>0；

②q(%)為偶函數,q(x)>q(0)=1；③Vx,yWR,p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).

⑴求p(0)的值，并證明：p(%)為奇函數；

(2)€R，且%1V%2，證明：

①P(X1)=P(空)q(空)+q(空)P(亨]

②p(x)單調遞增.

【題型8函數性質的綜合應用】

【例8】(2024?黑龍江佳木斯?模擬預測)已知f㈤=W普+，是定義在[―2,2]上的函數，若滿足f(久)+f(-切

1

=0且/(1)=9

(1)求/■(%)的解析式;

(2)設函數g(x)=x2-2mx+4(meR),若對任意久1到G[1,2],都有。(功)</(右)恒成立，求m的取值范圍.

【變式8-1](2024?上海寶山,一■模)已知函數/(久)=/一ax-a,aeR.

⑴判斷函數/(x)的奇偶性；

(2)若函數/(久)=x"(x)在工=1處有極值，且關于x的方程F(久)=m有3個不同的實根，求實數m的取值范

圍；

(3)記g(x)=-M(e是自然對數的底數).若對任意久1、冷e[0間且的>八時，均有|/(右)一〃>2)|<

|g(久i)-g(久2)|成立，求實數a的取值范圍.

【變式8-2］(23-24高一上?廣東廣州?期末)已知函數f。)的定義域為R,Wa,beR,f(a+b)+f(a-b)=

(a)/(6),且/(l)=*1/(%)在區間［0,3］上單調遞減.

(1)求證：/(%)+/(0)>0；

⑵求f(l)+f(2)+…+f(2023)的值;

(3)當久GR時，求不等式3/(2比)+4<9/(x)的解集.

【變式8-3］(2023?上海浦東新?模擬預測)已知定義域為。的函數丫=/(嗎.當。6。時，若9(K)=號］⑷

(%eD,xKa)是增函數，則稱f(x)是一個"T(a)函數

(1)判斷函數y=2/+無+2(xe7?)是否為7(1)函數，并說明理由；

(2)若定義域為［0,+8)的7(0)函數y=s(x)滿足s(0)=0,解關于2的不等式s(2Q<加(2)；

(3)設P是滿足下列條件的定義域為R的函數y=W(x)組成的集合：①對任意W(x)都是7(a)函數；

②W(0)=W(2)=2,W(_i)=勿(3)=3.若W(x)2nl對一切W(x)6P和所有xeR成立，求實數ni的最大

值.

?過關測試

一、單選題

1.(2024?湖北武漢?二模)已知函數/(久)=同用，則關于x的不等式/(2x)〉/(l-久)的解集為()

A.&+8)B.(-oo,|)C.(|,1)D.

y2—2QXX>1

{^X-1,X<1是R上的增函數，則實數。的取值范圍是()

A.(0總B.(0,?C.(0,1)D.(0,1]

3.(2024?上海黃浦?二模)設函數f(久)=「哈IX)靠？x<4°t若/(久)〉。恒成立，則實數a的取值

范圍是()

A.(1,+8)B.(0,0

C(Q)D.(|,1)

4.(2024?西藏?模擬預測)若函數/(x)=x-W，則下列函數中為奇函數的是()

A./(%+1)-2B./(久一1)-2C./■(久一1)+2D.f(x+1)+2

5.(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數/(X)的定義域為R,若對VxeR都有/(3+x)=/(l—%),且f(x)在

(2,+8)上單調遞減，貝葉(1),/(2)與f(4)的大小關系是()

A./(4)</(1)</(2)B./(2)</(1)</(4)

C.f(l)<f(2)</(4)D.f(4)<f(2)<f(l)

6.(2024?遼寧撫順?一模)已知定義域為0}的函數f(%)滿足/(%+y)[/(%)+f(y)]=/(%)/(y),/(I)

=2,且當％6(0,+8)時，恒成立，則下列結論正確的是()

A./(|)=6B.fax)=2f(x)

C./(X)為奇函數D./(%)在區間(0,+8)是單調遞增函數

7.(2024?陜西安康?模擬預測)己知函數/(%)的定義域為R,函數/(%)=/(1+嗎-(1+久)為偶函數，函數

GQ)=/(2+3x)—1為奇函數，則下列說法錯誤的是()

A.函數/(x)的一個對稱中心為(2,1)B./(0)--1

C.函數/(%)為周期函數,,且一個周期為4D.f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=6

8.(2024?陜西安康?模擬預測)已知函數y=/(x)是定義在R上的函數，/(I+x)=/(1-x),函數/(比+1)

的圖象關于點(一1,0)對稱，且對任意的G[0,1],%1*%2>均有君/(久1)+^2/(X2)>+點/(X1)，

則下列關于函數y=/(久)的說法中，正確的個數是()

?/(%+2)=/(x-2)；

②d登

③函數y=/(x)在[2,4]上單調遞增;

④不等式/(久)＞。的解集為[4k,4k+2](fceZ).

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.(2024?河北滄州?二模)已知/(久)是定義在[0,+8)上的單調遞增且圖象連續不斷的函數，若V久,ye

[0,+oo),恒有/(x+y)=成立,設句＞龍2＞1，典1()

A./(0)=0

B.3%0[0,+oo),f(x0)=1

C/(一)+/(久2)＞

D-)+f(%2)V,(二1+久2)

10.(2024?新疆?三模)已知/O),9(%)都是定義在R上的函數，對任意實數X,＞滿足f(%+y)-/(%-y)=2g

Q)f(y)，f(2)+/(i)=o且/(2)"(1)wo,則下列結論正確的是

A.f(0)=0B.9(1)=-5

『2024

C./(久)為奇函數D.〉f(n)=2024

乙^九=1

11.(2024?江西上饒?模擬預測)已知函數/(%)的定義域為R,V%,yER,f(x+y)~f(x—y)=2/Q—%)f(y),

且/(3=1，貝I()

A./(x)為偶函數B./(x)=2/(|)/(l^)

C./(x)的周期為2D.[/(%)]2+[/(|-^)]=1

三、填空題

12.(2024?青海海西?模擬預測)已知/(x)是定義在R上的奇函數，且滿足/(久+2)=-/(-x),貝，(1000)=

13.(2024?天津?一模)記不超過x的最大整數為團.若函數/(x)=|2x-[2x+t]]既有最大值也有最小值，

則實數t的取值范圍是.

14.(2024?湖南衡陽?模擬預測)已知f(x),g(x)是定義域為R的函數，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，滿

足/(久)+90)=〃2+久+2,若對任意的1</<久2<2,都有二:二魯2)>-3成立,則實數a的取值范圍

是.

四、解答題

15.(2024?上海?三模)己知/(久)=胃，函數y=/(x)是定義在(-2,2)上的奇函數，且/⑴=5

(1)求/'(%)的解析式;

(2)判斷y=/(久)的單調性，并用函數單調性的定義加以證明.

16.(2024?吉林長春?一模)函數/'(%)的定義域為(0,+8),對于Vx,yG(0,+oo),/(xy)=f(x)+f(y),

且當x>l時，/(x)<0.

(1)證明:f(x)為減函數；

(2)若/&)=2,求不等式/(%)+/(x-1)+2>。的解集.

17.(2024?河南?模擬預測)已知函數/(久)對任意實數居y恒有/0-/+/(久+/=/(2切成立，且當x<0時,

f(x)>0.

(1)求f(0)的值;

(2)判斷/(嗎的單調性，并證明；

(3)解關于X的不等式:/[%2一(口_|_2)x]+f(a+y)+/(a-y)>0.

18.(23-24高二下?江西南昌?期末)定義在[一2,2]上的函數y=f(x)滿足：對任意的孫九€[-2,2],都有，

(m+7)=/(m)成立,且當久>0時，f(x)>0.

(1)求證：f(x)在[-2,2]上是單調遞增函數；

(2)解關于式的不等式：/(%)</(2x+1);

(3)已知f(l)=，若/(久)<產-2就一2對所有的x￡［一2,2］及a￡［一2a恒成立，求實數t的取值范圍.

19.(2024?天津河北?模擬預測)已知。>0,函數/(%)=a/+必+久久瓦cER).

(1)函數/(%)的圖象經過點(0,-2),且關于久的不等式的解集為［-1,2］,求/(%)的解析式；

(2)若/(久)有兩個零點a,￡(a<S),且/(x)的最小值為—4a,當0<aW^時，判斷函數。(久)=a/+(6-2)久+c

在(a/)上的單調性，并說明理由；

(3)設b=2a,記h(t)為集合｛/(x)|t-1<x<t+l］(teR)中元素的最大者與最小者之差，若對Vte

(-00,-1］,h(t)>。2一口恒成立，求實數G的取值范圍.

重難點02函數性質的靈活運用【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1函數的單調性的綜合應用】............................................................3

【題型2函數的最值問題】.....................................................................6

【題型3函數的奇偶性的綜合應用】............................................................9

【題型4函數的對稱性及其應用】..............................................................11

【題型5對稱性與周期性的綜合應用】.........................................................13

【題型6類周期函數】........................................................................17

【題型7抽象函數的性質及其應用】...........................................................20

【題型8函數性質的綜合應用】...............................................................24

?命題規律

1、函數性質的靈活運用

函數及其性質是高考數學的重要內容.從近幾年的高考情況來看，本節是高考的一個重點、熱點內容，

函數的單調性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函

數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想，靈活求解.對

于選擇題和填空題部分，重點考查基本初等函數的單調性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數單調性及

求最值、解不等式、求參數范圍等，難度較?。粚τ诮獯痤}部分，一般與導數相結合，考查難度較大，復

習時要加強訓練.

?方法技巧總結

【知識點1函數的單調性與最值問題的解題策略】

1.求函數的單調區間

求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間.

2.函數單調性的判斷

(1)函數單調性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數的單調性；④導數法.

(2)函數yjg(x))的單調性應根據外層函數產也)和內層函數pg(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數單調性的幾條常用結論：

①若"X)是增函數，貝『/(x)為減函數；若是減函數，則-〃x)為增函數；

②若〃x)和g(x)均為增(或減)函數，則在/(x)和g(x)的公共定義域上〃x)+g(x)為增(或減)函

數；

③若〃x)>0且/(x)為增函數，則函數/而為增函數，一匚為減函數；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)為減函數，則函數77?6為減函數，」一為增函數.

/(X)

3.求函數最值的三種基本方法：

(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.

(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復雜函數求最值：

對于較復雜函數，可運用導數，求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.

【知識點2函數的奇偶性及其應用】

1.函數奇偶性的判斷

判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷段)與火-x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函數)或危)力-x)=0(偶函數))是否成立.

(3)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

對于運算函數有如下結論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)復合函數y=/[g(x)]的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數模型

奇函數：①函數/(x)=w?(a+l)(xwO)或函數f(x)=m(a.

a-1a+1

②函數f(x)=±(ax-a-x).

③函數/(x)=log=log。(1+或函數/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函數〃x)=log"(Gn+x)或函數f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函數奇偶性的應用

(1)利用函數的奇偶性可求函數值或求參數的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區間上的

函數或得到參數的恒等式，利用方程思想求參數的值.

(2)畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.

【知識點3函數的周期性與對稱性的常用結論】

1.函數的周期性常用結論(。是不為0的常數)

(1)若兀r+a)=/(x),貝T=a；

(2)若貝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),貝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),貝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),貝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),貝！IT=\a-b\(a^by,

2.對稱性的三個常用結論

(1)若函數兀v)滿足火a+x)y6-x),則y=/(x)的圖象關于直線x="：”對稱.

(2)若函數兀r)滿足加什丫尸十方.)，則y=/(x)的圖象關于點(今步,0b寸稱.

(3)若函數於)滿足/(a+x)4yS-無尸c,則y=/(x)的圖象關于點對稱.

3.函數的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數〃x)是周期函數，且7=2(b-a)；

(2)若函數y=/(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數y=/(x)是周期函數，且

T=1(b-a)；

(3)若函數y=/(尤)有一條對稱軸無=。和一個對稱中心(6,0)(。<6),則函數y=f(x)是周期函數，且

r=4(b-a).

【知識點4抽象函數的解題策略】

1.抽象函數及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數稱為抽象函數，一般用y/x)表示，抽

象函數問題可以全面考查函數的概念和性質，將函數定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、圖象集于

一身，是考查函數的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

?舉一反三

【題型1函數的單調性的綜合應用】

【例1】(2024?河北滄州?模擬預測)已知函數fQ)定義域為R,且函數f(x)與f(x+l)均為偶函數，當xe[0,l]

時，/(%)是減函數，設Qu/db=，C=/(logi6^)，則4，b，c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解題思路】根據題意，由條件可得函數/(X)是周期為2的函數，則可得b=，G),c=/Q,

【解答過程】因為函數f(x)是偶函數，貝行(―x)=/(x),

又函數/Q+1)為偶函數，貝行(一汽)=/(2+x),

即f(x)=f(2+x)，所以函數/(%)是周期為2的函數，

則b=/Q)=fG),c=f(log16=/(Iogie2)=fQ),

且當xe[0,1]時，/(%)是減函數，

由白片軻得府)>府)>熊)，即Cd

故選：C.

【變式1-1](2024?陜西西安?模擬預測)已知函數f(x)的定義域為R,對任意實數x,y都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,當x>0時，f(x)>1,且f(2)=5,則關于x的不等式f(x)+/(4-3久)<6的解

集為()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-8,1)D.(-8,2)

【解題思路】根據題意利用定義證明函數在R上單調遞增，繼而轉化不等式，求解即可.

【解答過程】任取不<冷，

從而/'(X2)—/(X1)=/(%2-久1+Xl)-y(Xl)

=/(%2—%1)—1,

因為刀2-％1>0，所以/'(工2-5)>1,

所以/(亞)一〃％)>。

則f(x)在R上單調遞增.

不等式f0)+/(4-3x)<6等價于不等式

f(%)+f(4—3%)—1<5,

即f(%+4—3x)</(2).

因為/(%)在R上單調遞增，

所以4一2%<2,解得久>1.

故選：A.

【變式1-2](2024?山東?二模)已知函數/(%)=2%2一M％+1在區間[_1,+8)上單調遞增，則/(I)的取值

范圍是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【解題思路】根據題意，結合二次函數的性質，求得解得加￡-4,再由/(1)=3-血，進而求得了(I)的取值

范圍.

【解答過程】由函數/⑶=2/—mx+I的對稱軸是X=會

因為函數在區間[—1,+8)上是增函數，所以解得mW—4,

又因為/'(1)=3-m,因此3-巾27,所以/'(I)的取值范圍是[7,+8).

故選：A.

【變式1-3](2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知定義在區間(-科根)(小〉0)上，值域為R的函數/(%)滿足：①

當0<x<m時，f(x)>0；②對于定義域內任意的實數。、6均滿足：f(a+b)=貝！J()

A./(0)=1

B.久2，一瓶<%1<%2<>/(x2)

C.函數〃>)在區間(0匹)上單調遞減

D.函數/(x)在區間(-犯a)上單調遞增

【解題思路】賦值：令a=6=0代入可得/(0)=0,令。=尤,6=-%代入可得函數為奇函數，再根據函數單

調性定義可以證明函數在(一科6)的單調性.

【解答過程】對A,令a=6=0,則f(0)=g稔,

f(o)-尸(0)=2/(0),即f(0)[/2(0)+1]=0,

故/(0)=0,所以A不正確；

/(a)+/(b)_/(%)+”—第)

取a=x,b=一為代入:

對B,/(0)=l-/(a)/(b)-;

即/(%)=-/(一%)，即/(%)在(一館即)上為奇函數,

設<Xi<X2<Tn,

所以/(%2-X1)>0，且f(%2)>>0,

故：=/(%2)+/(一%1)=f[x2+(-%i)][l-/(X2)/(Xl)]

=/(%2-久1)口+/(X2)/(X1)]>0

即：/(%2)>/(Xl),故B錯誤；

對C,由B知函數在(O,zn)上單調遞增，故C錯誤；

對D,由C結合函數為奇函數且/(0)=0,

所以/(%)在(一皿峭上單調遞增，故D正確.

故選：D.

【題型2函數的最值問題】

【例2】（2024?安徽淮北?二模）當實數t變化時，函數/（%）=|%2+t\,xe[-4,4]最大值的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【解題思路】先對內函數y=/+t對應的方程的根的情況分類討論，得出壯0時，結果為16,對于t<o時,

求出兩根，根據圖象，就內函數的零點與區間端點的位置進行分類考慮，利用函數單調性分析即得.

【解答過程】若△=—4two,即t20時，/（X）=X2+t,其對稱軸為龍=0,“X）max=t+16,

此時，因120,故g（t）=t+16的最小值為16；

若t<0,由y=d+t=o可得％=±6工，

圖1

(I)如圖1,當QW4時，即—16Wt<0時，/0)=|久2+［|在［_4,一產?］上遞減，

在［一百,0］上遞增，

在［0,正田上遞減，在g,4］上遞增,又f(±4)=|t+16|=t+16,f(0)=|t|=T,

①當—16WtW—8時，t+16W-t,故/(x)max=-3而g(t)=-t;在［-16,-8］上單調遞

減，則此時，g(t)min=g(-8)=8;

②當一8<t<0時,t+16>—t,故/(x)max=t+16,而h(t)—t+16在(—8,0)上單調

遞增，則此時，g(t)>%(-8)=8.

(n)如圖2,當戶>4,即t<—16時，〃>)=|尤2+4在［_4,0］上單調遞增，在［0,4］上單調遞減，

則此時f(%)max=f(0)=|t|=-t,而0(t)=-t在(-8,-16)上單調遞減，則s(t)><p(-16)=16.

綜上，函數/(x)=|%2+t\,xG［—4,4］最大值的最