不定積分不定積分的概念與性質一、原函數與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義三、基本不定積分公式四、不定積分的性質五、小結

在中，我們已經學習了求給定函數的導函數的方法，本章主要討論其反問題，即求某一區間的一個未知函數，使其在該區間上的導函數恰好是已知函數,這種由已知導數求原來函數的逆運算稱為不定積分，本章將介紹不定積分的概念及其各種計算方法.如果，則稱f(x)為F(x)的導函數，那么F(x)為f(x)的什么呢？

在區間(-1,1)中一、原函數與不定積分的概念定義1設在區間I上，有或則稱，F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數.因此，在(-1,1)中，是的一個原函數.

是比如:的原函數.

在整個實數集，因此，在是的原函數.問題：(1)在什么條件下，一個函數存在原函數？(2)如果f(x)有原函數，原函數是唯一的嗎？

若不唯一，原函數之間有什么關系？簡言之：連續函數一定有原函數.如果f(x)在區間I上連續，則f(x)一定在區間I上存在原函數.

定理1（原函數存在定理）

注：由于初等函數在其定義區間上是連續的，因此，初等函數在其定義區間上都存在原函數.定理2設F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數，則（1）F(x)+C也為f(x)在區間I上的原函數，其中C為任意常數.（2）f(x)在區間I上的任意兩個原函數相差一個常數.證（1）由于F(x)為f(x)在區間I上的原函數，即成立.因而

由原函數的定義知，對任意的常數C,F(x)+C也為f(x)在區間I上的原函數.定理2設F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數，則（1）F(x)+C也為f(x)在區間I上的原函數，其中C為任意常數.（2）f(x)在區間I上的任意兩個原函數相差一個常數.證令（2）設F(x)和都為f(x)在區間I上的一原函數，則有則有因此，必有常數，不妨記為C,則

定理2說明，如果一個函數存在原函數，那么原函數將有無窮多個，并且彼此之間相差一個常數.定義2在區間I上，函數f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為

函數f(x)的不定積分，記作任意常數積分號被積函數被積表達式積分變量由定義可知，若F(x)為f(x)在區間I上的一個原函數，則f(x)的不定積分可以表示為可見，一個函數的不定積分是一族函數.例1求解：因為則，是x的一個原函數，因此例2求解：因為因此二、不定積分的幾何意義若F(x)為f(x)的一個原函數，則稱y=

F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.顯然，

f(x)的不定積分在幾何上表示f(x)的積分曲線族，它可由f(x)的某一條積分曲線y=F(x)沿著y軸方向上下平移而得到.曲線族中的每一條積分曲線橫坐標相同點處的切線相互平行.例3設曲線通過點(0,0)

，且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標2倍，求此曲線.解：設所求曲線為y=f(x),(x,y)為曲線上任意一點，由導數幾何意義和題設條件有所以，將條件x=0,y=0代入，有C=0因此，所求曲線方程為三、基本不定積分公式根據求導公式可得出積分公式.K為常數；例5求解由不定積分的基本公式知，例4求解由不定積分的基本公式知，四、不定積分的性質性質1或性質2或性質3性質4微分運算(d)和不定積分()的運算是互逆的！d使函數還原，d使函數相差一個常數.例6求解例7求解例8求解例10求例9求解解例12求