第4講導數與函數的綜合應用第3課時利用導數研究函數的零點問題第四章導數及其應用1核心考向突破PARTONE考向一判斷函數零點或方程根的個數問題解解解解利用導數確定函數零點或方程根的個數的常用方法(1)構建函數g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉化為確定g(x)的零點個數問題求解，利用導數研究該函數的單調性、極值，并確定定義域區間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數形結合求解函數零點的個數．(2)利用函數零點存在定理：先用該定理判斷函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端點值符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數．解解解例2

(2020·全國Ⅰ卷)已知函數f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．考向二由函數零點個數求解參數取值范圍問題解(1)當a＝1時，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＜0，解得x＜0，令f′(x)＞0，解得x＞0，所以f(x)的單調遞減區間為(－∞，0)，單調遞增區間為(0，＋∞)．解析解解解根據函數零點個數確定參數取值范圍的核心思想是“數形結合”，即通過函數圖象與x軸的交點個數，或者兩個相關函數圖象的交點個數確定參數滿足的條件，進而求得參數的取值范圍，解決問題的步驟是“先形后數”．2.(2021·大慶實驗中學月考)設k∈R，函數f(x)＝lnx－kx.(1)若k＝2，求曲線y＝f(x)在P(1，－2)處的切線方程；(2)若f(x)無零點，求實數k的取值范圍．解解考向三涉及函數零點、極值點的綜合問題解解解(1)研究函數零點問題，要通過數的計算(函數性質、特殊點的函數值等)和形的輔助，得出函數零點的可能情況．(2)函數可變零點(函數中含有參數)性質的研究，要抓住函數在不同零點處函數值均為零，建立不同零點之間的關系，把多元問題轉化為一元問題，再使用一元函數的方法進行研究．3.已知函數f(x)＝lnx－ax(x>0)，a為常數，若函數f(x)有兩個零點x1，x2(x1≠x2)．求證：x1x2>e2.證明證明證明證明(1)因為f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，所以f(x)max＝f(1)＝1，且f(e)＝0.由x1(1－lnx1)＝x2(1－lnx2)知，x1，x2是f(x)＝k的兩根，其中k∈(0,1)，不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1，e)，則2－x1>1，先證2<x1＋x2，即證x2>2－x1，即證f(x1)＝f(x2)<f(2－x1)，令h(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(0,1)，則h′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]>0，證明故函數h(x)單調遞增，所以h(x)<h(1)＝0，所以f(x1)<f(2－x1)，故2<x1＋x2得證．下面證明x1＋x2<e.∵0<x1<1<x2<e，∴1－lnx1>1.∴x1(1－lnx1)>x1.∵x1(1－lnx1)＝x2(1－lnx2)，∴x2(1－lnx2)>x1.要證x1＋x2<e，證明只要證x2(1－lnx2)＋x2<e，即證2x2－x2lnx2<e，x2∈(1，e)．設g(x)＝2x－xlnx，x∈(1，e)，則g′(x)＝1－lnx>0.∴g(x)在(1，e)上單調遞增．∴g(x)<g(e)＝2e－e＝e.∴2x2－x2lnx2<e成立．∴原命題成立，即x1＋x2<e.綜上知，2<x1＋x2<e.證明證明函數極值點偏移問題的解題策略函數的極值點偏移問題，其實質是導數的應用問題，解題的策略是把含雙變量的等式或不等式轉化為僅含一個變量的等式或不等式進行求解，解題時要抓住三個關鍵量：極值點、根差、根商．4.(2021·成都名校聯考)已知函數h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，證明：x1＋x2>2.證明由x1≠x2，不妨設x1>x2，根據h(x1)＝h(x2)結合圖象(圖略)可知x1>1，x2<1.令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)，則F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x，∵x≥1,2x－2≥0，∴e2x－2－1≥0，∴F′(x)≥0，∴F(x)在[1，＋∞)上單調遞增，又F(1)＝0，∴x>1時，F(x)>F(1)＝0，證明即當x>1時，h(x)>h(2－x)，則h(x1)>h(2－x1)，又h(x1)＝h(x2)，∴h(x2)>h(2－x1)，∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2,2－x1∈(－∞，1)，∵h(x)在(－∞，1)上單調遞增，∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2得證．證明2課時作業PARTTWO答案解析答案解析答案解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析解析三、填空題9．已知函數f(x)＝ax3－3x2＋2，若函數f(x)只有一個零點x0，且x0>0，則實數a的取值范圍為________.答案解析解析答案[2，＋∞)答案解析四、解答題11．(2021·滄州三模)已知函數f(x)＝xex－2ax＋a.(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．解解解解解(1)因為f(x)是二次函數，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以設f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，解得a＝1.故函數f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.解解解解解解解令g′(x)＝0，則a＝h(x)，結合圖象，方程g′(x)＝0有兩個根，設為m，n(m<n)．所以g(x)在(0，m)上單調遞減，在(m，n)上單調遞增，在(n,2π)上單調遞減，因為g(0)＝0，所以當x∈(0，m)時，g(x)<0且g(m)<0；因為g(2π)＝2π－2aπ＝2π(1－a)>0，所以當x∈(n,2π)時，g(x)>0且g(n)>0；因為g(x)在(m，n)上單調遞增，g(m)<0，g(n)>0，由零點存在定理及函數單調性知，存在唯一x0∈(m，n)使得g(x0)＝0.綜上，g(x)的零點個數為1.解解解解16．(2021·河南豫北名校聯考)已知函數f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然對數的底數，k∈R)．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)當函數f(x)有兩個零點x1，x2時，證明：x1＋x2>－2.解(1)易得f′(x)＝ex＋1－k，當k>0時，令f′(x)＝0，得x＝lnk－1，可得當x∈