0?上一記錄0返回O下載?打印?Em日il?下一記錄【標題】數學期望在決策型問題中的應用【作者】付奎【關鍵詞】數學期望經濟問題決策型問題【指導老師】林昌盛【專業】數學與應用數學【正文】一、引言在日常生活和經濟活動中，公民應該具有合理的決策能力.所謂決策能力就是指決策分析，這是在20世紀發展起來幫助人們在復雜情況下,在可供選擇的行動中,作出選擇的一組數學模型和數學方法.決策分析有助于闡明許多復雜的情況，那里存在著數目極大的可能的行動以及許多不同的自然狀態，決策者必須平衡極大化期望和極小化風險這樣的矛盾的要求，還必須在一個多階段過程的每一個階段做出決策.例如：個人的采購、求職、投資、企業的生產或經營方案、股票和保險的獲利等方面.經常需要對事物的進展情況作出決策，以便用最有利的方式采取行動，由于事物的進展情況和信息往往受隨機因素的影響，使得決策帶有風險性.因此，人們常把數學期望作為決策參考的重要依據.其原理如下：1、若離散型隨機變量的概率分布列為：若級數絕對收斂，則稱為的數學期望或均值.2、若連續型隨機變量，其概率密度為若絕對收斂，則稱的值為的數學期望或均值.我們知道數學期望是隨機變量的概率平均值.因此，數學期望能夠從最大程度上刻畫、反映出各種隨機因素的影響，從而成為風險決策的重要數字特征.二、主要定義定義1離散型隨機變量的數學期望設離散型隨機變量的分布律為( )=( 1，2， )，若級數絕對收斂，則稱的值為的數學期望(或均值)，記作 ,即.定義2連續型隨機變量的數學期望設為連續型隨機變量，其概率密度為,若絕對收斂，稱的值為的數學期望(或均值)，記作()，即() .定義3隨機變量函數的數學期望設是隨機變量，=()是的函數，()是連續實函數.當是離散型隨機變量，其分布律為( ) ( 1，2， )，當級數絕對收斂時，隨機變量()的數學期望為:() [()]當是連續型隨機變量概率密度是，若積分絕對收斂，隨機變量=()的數學期望為:() [()]數學期望無論從計劃還是從決策觀點看都是至關重要的，在日常生活和經濟活動中，人們往往不自覺地利用它.本文就是通過具體的實例來說明數學期望在決策型問題(日常生活和經濟活動中)中的應用.三、數學期望在實踐中的應用求職決策問題有三家公司為大學畢業生李明提供了應聘的機會，按面試的時間順序這三家公司分別記為A、B、C,每家公司都可以提供極好、好、一般三種職位.每家公司根據面試情況決定給予何種職位或拒絕提供職位.按規定，雙方在面試后要立即作出決定提供、接受或拒絕某種職位,且不允許毀約.咨詢專家在為李明的學業成績和綜合素質進行評估后認為,他獲得極好、好、一般、沒有的可能性分別為、 、、.三家公司的工資承諾見下表：李明如果把工資作為首選條件的話,那么他在各公司面試時,對該公司提供的各種職位應如何對策？公司 職位極好好一般ABC解析：由于面試時間有先有后，使得李明在A、B公司作選擇時，還要考慮后面的C公司的情況，所以應先從C公司開始討論：C公司的工資期望值為：(元)現在考慮B公司.因為B公司的一般職位工資只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好或好的職位，否者就到C公司應聘.如此決策時，他的工資期望值為:(元)最后考慮A公司.只有極好職位的工資超過3015元，所以他只接受A公司極好的職位，否則就到B公司應聘.因此，他的總決策是這樣的：先去A公司應聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則就到B公司應聘，若B公司提供極好或好的職位就接受，否則就到C公司應聘，接受C公司提供的任何職位.在這一決策下，他的工資期望值為：（元）.營銷決策問題暑假期間，某書店計劃訂購一本新版書，根據以往經驗來預測，這本新書銷售量為、、（本）的概率分別為、、，這本書的訂購價為元，銷售價為元，如果售不出以后處理剩書每本為元，試確定應訂購多少本新書盈利才最大？分析：售出一本新書能得到利潤元，處理剩書將虧損元，為決定進貨量，應先求出在不同銷售量時盈利的數學期望.解：訂購本，銷售本，盈利（元），因此，盈利數的分布列為：（元）（1）訂購本，銷售本、本.盈利分別為（元），因此，盈利數的分布列為：（元）（2）訂購本，銷售本、本、本時盈利分別為（元）、 （元）、 （元），此時盈利數的分布列為:元根據盈利的數學期望較高，決定訂本.投資決策問題某人有萬元,有兩種投資方案:一是購買股票,二是存入銀行獲取利息.買股票的收益取決于經濟形勢,假設可分三種狀態:形勢好、形勢中等、形勢不好（即經濟衰退）.若形勢好可獲利萬元,若形勢中等可獲利萬元,若形勢不好要損失萬元.如果是存入銀行,假設年利率為,即可得利息元,又設經濟形勢好、中、差的概率分別為、和,試問選擇哪一種方案可使投資的效益較大?分析：要確定選擇哪一種投資方案，就必須通過計算這兩種投資方案對應的收益期望值來進行判斷.解：由假設，一年中兩種投資方式在不同經濟形勢下對應的收益與概率如下表所示：購買股票狀態經濟形勢好經濟形勢中等經濟衰退收益概率存入銀行狀態經濟形勢好經濟形勢中等經濟衰退收益概率從上表可以初步看出，如果購買股票在經濟形勢好的經濟形勢中等的情況下是合算的，但如果經濟形勢衰退，則采取存入銀行的方案比較好.小面通過計算加以分析：如果購買股票，其收益的期望:元如果存入銀行，其收益的期望:元因此，按照期望收益最大原則，應選擇購買股票.保險公司獲利問題一年中一個家庭萬元被盜的概率是，保險公司開辦一年期萬元上家庭財產保險，參加者需繳保險費元，若在一年內，萬元以上財產被盜，保險公司賠償元(<)，試問如何確定，才能使保險公司期望獲利?解：只需考察保險公司對任一參保家庭的獲利情況，設表示保險公司對任一參保家庭的收益，則的取值為或，其分布列為:根據題意：()>解得<，又>，所以￡(,)時保險公司才能期望獲利.進貨問題設某種商品每周的需求是取從區間上均勻分布的隨機變量，經銷商進貨量為區間中的某一整數，商店每銷售一單位商品可獲利元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損元．若供不應求，則可以外部調劑供應．此時一單位商品獲利元．為使商品所獲利潤期望不少于元，試確定進貨量．解：設進貨量為，則利潤為=()期望利潤為：()+依題意有：解得：故利潤期望值不少于元的最少進貨量為單位.風險決策問題某漁船要對下月是否出海作出了決策，如果出海后遇到好天氣，可得到收益元，如果出海后天氣變壞將損失元，若不出海，無論天氣如何都將承擔元損失費.據氣象部門的預測下月好天氣的概率是，天氣變壞的概率為，請你為漁船做出決定，是出海還是不出海？依據是什么？分析：因為天氣好與壞是一個不確定的因素，因此作出決策時會存在一定的風險，但必須按風險決策中的期望收益最大準則選擇方案.解：設該漁船的一次試驗收益數為一隨機變量，則其分布列為：數學期望由>知，該漁船出海可得到收益的數學期望元高于不出海經濟損失費元，故應選擇出海.方案決策問題某廠要決定今后年內生產某電子產品的生產批量，以便及早做好生產前的各項準備工作.根據以往銷售統計資料及市場調查和預測知：未來市場出現銷路好、銷路一般、銷路差三種狀態的概率分別為、和，若按大、中、小不同生產批量投產，今后年不同銷售狀態下的益損值如下所示：狀態益損銷路好銷路一般銷路差方案 概率大批量生產益損中批量生產益損小批量生產益損試作出分析，以確定最佳生產批量.解：比較期望益損法是常用的決策方法之一，下面算出每一方案的期望益損：比和 均大，所以認為選擇中批量生產方案為優.決策優化問題對某學校的名高三畢業生進行乙型肝炎病毒檢查，可以用以下兩種方法：(1)每個人的血樣分別化驗，這時共需化驗次；(2)把每個人的血樣分成兩份，取個人的血樣各一份混在一起化驗，如果結果為陰性，那么對這個人只作一次檢驗就夠了；如果結果是陽性，那么再對這個人的另一份血樣逐個化驗，這時對這個人共需次化驗．據報道，對所有人來說，化驗結果為陽性的概率為.試比較兩種方法所需次數的多少．解:考慮第二種方法時，每個人所需的檢驗次數為.個人的混合血樣呈陰性的概率為,呈陽性的概率為.當個人一組的混合血樣呈陰性時，可以認為每個人需要次化驗；當個人一組的混合血樣呈陽性時，可以認為每個人需要次化驗．所以()()為是的函數，表3是取一些正整數時的值．(由計算器講行計算)表3函數值由以上數據可知，當=時，最小，約為，即對每個人約需檢驗次，人約需次檢驗,因此應采取第二種方法.把個人的血樣分成一組，所需檢驗次數最少,這樣可減少的工作量,從而提高了工作效率．而當大于時，接近于,分組已經沒有意義了.四、結