2025屆湖北省百校大聯(lián)盟高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．2．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．3．若，，則的值為（）A． B． C． D．4．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-39．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對(duì)為（）A． B． C． D．10．給出下列三個(gè)命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．311．年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B．C． D．12．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．或 B．或C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則的離心率為__________.14．的展開式中的系數(shù)為__________．15．若，則________，________.16．一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則容器體積的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.19．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，.點(diǎn)，，分別為線段，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面.（2）判斷與平面的位置關(guān)系，并證明.21．（12分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.22．（10分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.3、A【解析】

取，得到，取，則，計(jì)算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．6、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因?yàn)榈淖畲笾禐椋栽邳c(diǎn)處取得最大值，則，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.8、D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2，結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把y+1x-29、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B10、C【解析】

結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對(duì)于命題①,因?yàn)?所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對(duì)于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對(duì)于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．12、C【解析】

簡(jiǎn)單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算，結(jié)合對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以且在單調(diào)遞減，所以或，故或所以或故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式，抽象函數(shù)給出式子的意義，比如：，，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長(zhǎng)為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.14、3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)系數(shù)為：；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng),長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為,所以容器體積的最小值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

(1)取的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線和長(zhǎng)度關(guān)系，為平行四邊形，進(jìn)而得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋裕唬?）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，，，，，，易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點(diǎn)D，連接BD，以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因?yàn)椋?所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點(diǎn)D，連接BD，則.以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時(shí)，關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確，本題是一道中檔題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面平行的定義證明即可（2）取的中點(diǎn)，并分別連接，，然后，證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點(diǎn)，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在圖2中，取的中點(diǎn)，并分別連接，.分析知，，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，，.分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則，，所以.又，所以.分析知，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題，屬于基礎(chǔ)題20、（1）見解析（2）平面.見解析【解析】

（1）要證平面，只需證明，，即可求得答案；（2）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)已知條件求證，即可判斷與平面的位置關(guān)系，進(jìn)而求得答案.【詳解】（1），為邊的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在內(nèi)，，為所在邊的中點(diǎn)，，又，，平面.（2）判斷可知，平面，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn)，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理，考查了分析能力和空間想象能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時(shí)加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，然后求其前項(xiàng)和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當(dāng)時(shí)，，又，②由①②可得：，即，時(shí)，.所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，