靜電場

第一節

電荷庫侖定律

第二節

靜電場電場強度

第三節

靜電場的高斯定理

第四節

靜電場的環路定理

第五節

電勢

第六節

靜電場中的導體

第七節

靜電場中電介質

第八節

電容電容器目錄第一節

電荷庫侖定律

一、電荷二、庫侖定律一、電荷對電的最早認識：摩擦起電和雷電兩種電荷：正電荷和負電荷電性力：同號相斥、異號相吸電荷量：物體帶電的多少1、電荷和電荷的量子化

宏觀帶電體的帶電量q

e，準連續

夸克模型

e=1.60210－19C，為一個電子所帶電荷量電荷量只能取分立的、不連續量值的性質，稱為電荷的量子化。

Q=NeN=±1,2,3…2、電荷守恒定律

物質由原子組成，原子由原子核和核外電子組成，原子核又由中子和質子組成。中子不帶電，質子帶正電，電子帶負電。質子數和電子數相等，原子呈電中性。由大量原子構成的物體也就處于電中性狀態，對外不顯示電性。物質的電結構理論起電的實質所謂起電，實際上是通過某種作用，使物體內電子不足或者過多而呈現帶電狀態。通過摩擦可使兩個物體接觸面溫度升高，促使一定量的電子獲得足夠的動能從一個物體遷移到另一個物體，從而使獲得更多電子的物體帶負電，失去電子的物體帶正電。電荷守恒定律

實驗證明，在一個與外界沒有電荷交換的系內,無論經過怎樣的物理過程，系統正、負電荷量的代數和總是保持不變。如：正電子1.點電荷

可以簡化為點電荷的條件:當帶電體的形狀和大小與它們之間的距離相比可忽略時，這些帶電體可看作是點電荷。rq1dq2二、庫侖定律2.庫侖定律1785年，庫侖從扭秤實驗結果總結出了庫侖定律扭秤即：庫侖定律

在真空中，兩個靜止點電荷之間相互作用力與這兩個點電荷的電荷量q1和q2的乘積成正比，而與這兩個點電荷之間的距離r12（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線，同號相斥，異號相吸。單位制有理化ε0為真空電容率，則真空中庫侖定律數學形式:

說明：1.“靜止”是指慣性系中相對于觀察者靜止。2.適用于點電荷。3.q1、q2取代數值。4.遵守牛頓第三定律。靜電力的疊加原理：

1Fr

實驗證明，當空間中有兩個以上的點電荷時，作用在某一點電荷上的總靜電力等于其它各點電荷單獨存在時對該點電荷所施靜電力的矢量和，這一結論叫做靜電力的疊加原理。例題8-1試求氫原子核與電子間庫侖力與萬有引力之比。

解：氫原子核是一個質子，其質量：，帶電量：，核外只有一個電子，其質量,帶電量兩者相距。

應用萬有引力定律,電子和質子之間的萬有引力為按庫侖定律計算,電子和質子之間的靜電力為由此得靜電力與萬有引力的比值為將某電荷Q分成q和(Q-q)兩部分,并使兩部分離開一定距離,則它們之間的庫侖力為最大的條件是[]ABCD提交單選題1分第二節

靜電場電場強度

一、靜電場二、電場強度一、靜電場

兩種觀點{超距作用作用作用電場電荷1電荷2電場1電場2電荷1電荷2產生作用作用產生靜電場：相對于觀察者靜止的電荷在周圍空間激發的電場。電場力：電場對處于其中的其他電荷的作用力，電荷間的相互作用力本質上是各自的電場作用于對方的電場力。二、電場強度

試驗電荷q0{點電荷(尺寸小)q0足夠小，對待測電場影響極小定義電場強度q0

電場中某點的電場強度等于單位正電荷在該點所受的電場力。q01.電場強度定義電場強度的單位：N/C或V/m由電場強度計算電場力：電場對正負電荷作用力的方向：+如果電場中各個點的電場強度大小和方向都相同，那么這種電場就叫勻強電場。場點源點（1）點電荷的電場q+2.電場強度的計算

（2）電場強度疊加原理和點電荷系的場強

q0qi對的作用電場強度疊加原理++-點電荷系的電場

q2qnq1

qiPrnr2r1ri

可見，點電荷系在空間任一點所激發的總場強等于各個點電荷單獨存在時在該點各自所激發的場強的矢量和。電荷面分布電荷體分布電荷線分布dSdVdqld（3）任意帶電體的電場電荷元：P.電荷元場強對于電荷連續分布的帶電體，在空間一點P的場強為：電荷體分布：電荷面分布：電荷線分布：求解連續分布電荷的電場的一般步驟：依幾何體形狀和帶電特征任取電荷元dq；寫出電荷元dq的電場表達式dE；寫出dE在具體坐標系中的分量式，并對這些分量式作積分；·將分量結果合成，得到所求點的電場強度。例題8-2試求間距很近的一對等量異號點電荷的延長線和中垂線上一點的場強。

解：由間距為的一對等量異號點電荷組成的帶電系統，

當>>時稱為電偶極子。從負電荷指向正電荷位置矢量稱為電偶極臂，

電量與電偶極臂的乘積稱為電偶極距（簡稱電距）。設水平向右為正方向,A點總場強為電偶極子軸線的延長線上任一點A(x,0)的電場yxA(x,0)+++因為x>>lr電偶極子中垂線上任一點的電場+用矢量形式表示為若rl

結論：電偶極子中垂線上，距離中心較遠處一點的場強，與電偶極子的電矩成正比，與該點離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。PxRr解：

【例題8-3】試求半徑為R均勻帶電為q的細圓環軸線上任一點的場強。

。所以，由對稱性當dq

位置發生變化時，它所激發的電場矢量構成了一個圓錐面。由對稱性xPRr即在圓環的中心，E=0由當0=x當時即P點遠離圓環時，與環上電荷全部集中在環中心處一個點電荷所激發的電場相同。討論：

解：建立直角坐標系

取線元dx

帶電將投影到坐標軸上aP

1

2dExdEyθdxr練習

求距離均勻帶電細棒為a的P點處電場強度。

設棒長為L,帶電量q，電荷線密度為l

=q/L。

積分變量代換

代入積分表達式同理可算出,,aP

1

2dExdEyθdxr當直線長度無限長均勻帶電直線的場強：{極限情況，由關于靜電場,下列說法中正確的是[]電場和檢驗電荷同時存在,同時消失由知,電場強度與檢驗電荷電荷量成反比電場的存在與否與檢驗電荷無關電場是檢驗電荷與源電荷共同產生的ABCD提交單選題1分作業題：8-9靜電場

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電荷庫侖定律

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靜電場電場強度

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靜電場的高斯定理

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電勢

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電容電容器目錄第三節

靜電場的高斯定理

一、電場線二、電通量三、高斯定理

為形象描述電場分布情況,用一些假想的有方向的曲線——電場線代表場強度的大小和方向。一、電場線規定:電場線BA⑴曲線上任一點的切線方向代表該點的場強方向;⑵垂直通過某點單位面積上的電場線數目代表該點的場強的大小。dS┻1.電場線起始于正電荷(或無窮遠)，終止于負電荷(或無窮遠)，有頭有尾，所以靜電場是有源(散)場；由上面幾種電荷的電場線分布可以看出：2.電場線的疏密程度表示電場的強弱；3.電場線不形成閉合曲線，在無電荷處不中斷，且兩條電場線永不相交，所以靜電場是無旋場。

S電場中通過某一曲面（平面）的電場線條數稱通過該曲面（平面）的電場強度通量。2.電場強度通量單位：N·m2/C3.均勻電場中垂直通過平面S⊥的電場強度通量二、電通量θS4.均勻電場中斜通過平面S的電場強度通量:5.非均勻電場通過曲面S的電場強度通量:θSSθ6.面元法向規定:⑴非封閉曲面面法向正向可任意取⑵封閉曲面指外法向。電通量是標量，但有正負。當電場線從曲面內向外穿出是正值。當電場線從曲面外向內穿入是負值。注意：7.非均勻電場通過封閉曲面S的電場強度通量:注意:通過封閉曲面S的電通量等于凈穿出該封閉曲面的電場線總條數。高斯+q三、高斯定理當點電荷在球心時可見，電通量與所選取球面半徑無關。由閉合面內為點電荷系的情況：即使點電荷不在球面中的中心，即使球面畸變，這一結果仍是一樣的，這由圖也可看出。此時通過閉合面的電通量是：閉合面內無電荷的情形：q1.當點電荷在球心時2.任一閉合曲面S包圍該電荷3.閉合曲面S不包圍該電荷4.閉合曲面S包圍多個電荷q1～qk，同時面外也有多個電荷qk+1～

qn綜合以上討論，可得如下的結論：1.定理內容在靜電場中，通過任意閉合曲面的電通量，等于該曲面內電荷量代數和除以真空介電常數。（1）上述高斯定理是真空中靜電場的高斯定理，今后還要學習介質中的高斯定理以及磁場中的高斯定理。2.穿過閉合曲面的電通量ΨE只與閉合曲面（稱為高斯面）內的電荷有關而與閉合曲面外的電荷無關，與閉合曲面內的電荷分布也無關。但電場強度E并不是只與面內電荷有關，E是面內、外全部電荷共同產生的。

討論：三、高斯定理高斯3.是電荷的代數和,,并非高斯面內一定無電荷,只能說明電量的代數和為零。并非沒有電力線穿過，只能說明通過包圍的任意閉合曲面的電通量為零，而并非場強一定處處為零。4.當曲面內有凈正電荷時，電力線從正電荷出發連續穿出閉合曲面，

，所以正電荷叫靜電場的源頭；當曲面內有負電荷時，電力線由面外進入面內終止于負電荷，

，所以負電荷叫尾閭（或稱負源或溝）。因此高斯定理說明了靜電場是有源(散)場。

2.高斯定理的應用（求解電場強度）條件：電荷分布具有較高的空間對稱性1.分析帶電體的電荷分布和電場分布的特點，以便依據其對稱特點選取合適的閉合面（高斯面）。應用高斯定理求解電場強度的一般步驟：2.閉合面（高斯面）選取類型：a.面上各點電場強度與面垂直，大小處處相等；b.面上一部分各點電場強度處處相等且與面垂直，另外部分電場強度與面處處平行。++++++++++++++++q【例題8-4】求半徑為R，帶電量為q的均勻帶電球面內外的場強。

r

R時，高斯面內無電荷，解：高斯面電荷及場分布特點:球對稱,設球半徑R,電荷量為q。高斯面:半徑為r的球面。由高斯定理:+++++++++++++++++++++++++++++++++++++q

r>R時，高斯面內電荷量即為球面上的全部電荷，高斯面可見，電荷均勻分布在球面時，它在球面外的電場就與全部電荷都集中在球心的點電荷所激發的電場完全相同。++++++r0RE均勻帶電球面電場強度曲線如上圖。1.在任何靜電場中,任一閉合曲面上各點的電場強度是由[]曲面內的電荷提供；曲面外的電荷提供曲面內的電荷和曲面外的電荷共同提供；電場強度的通量由曲面內的電荷和曲面外的電荷共同提供。ABCD提交單選題1分2.根據高斯定理，下列說法中正確的是[]通過閉合曲面的電通量僅由面內電荷的代數和決定通過閉合曲面的電通量為正時面內必無負電荷閉合曲面上各點的場強僅由面內的電荷決定閉合曲面上各點的場強為零時,面內一定沒有電荷ABCD提交單選題1分3.如圖所示，一均勻帶電球面,面內電場強度處處為零,則球面上的帶電量為的電荷元在球面內產生的場強[]處處為零不一定為零一定不為零是一常數ABCD提交單選題1分拓展練習拓展練習拓展練習作業題：將前面拓展練習整理在作業上，再完成8-15靜電場

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電荷庫侖定律

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靜電場電場強度

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靜電場的高斯定理

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靜電場的環路定理

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電勢

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靜電場中的導體

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靜電場中電介質

第八節

電容電容器目錄1.高斯定理

,說明靜電場的性質是()電場線是閉合曲線庫侖力是保守力靜電場是有源場靜電場是保守場ABCD提交單選題1分第四節

靜電場的環路定理一、電場力的功二、靜電場的環路定理P1P2q0θdlErdrqr1r2一、電場力的功點電荷電場中試驗電荷q0從P1點經任意路徑到達P2點。在路徑上任一點附近取元位移點電荷電場力的功:q0由

P1到P2電場力做功作功與路徑無關點電荷系的電場中根據電場的疊加性，試探電荷受多個電場作用

試驗電荷在任意給定的靜電場中移動時，電場力對q0做的功僅與試探電荷的電量及路徑的起點和終點位置有關，而與具體路徑無關。電場力對試驗電荷q0做功為總功也與路徑無關。結論：

靜電場是保守場，靜電場力是保守力。二、靜電場的環路定理

試驗電荷q0在靜電場中沿任意閉合路徑L運動一周時，電場力對q0作的功A=？安培

在閉合路徑L上任取兩點P1、P2，將L分成L1、L2兩段，P2P1L2L1(L2)(L1)(L1)(L2)即

靜電場的環路定理

在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分（稱為場強的環流）恒為零。該定理還可表達為：電場強度的環流等于零。任何力場，只要其場強的環流為零，該力場就叫保守力場或勢場。

綜合靜電場高斯定律和環路定理，可知靜電場是有源的保守力場，又由于電場線是不閉合的，即不形成旋渦的，所以靜電場是無旋場。第五節

電勢一、電勢能二、電勢和電勢差靜電力的功，等于靜電勢能的減少。由環路定理知，靜電場是保守場。保守場必有相應的勢能，對靜電場則為電勢能。選N為靜電勢能的零點，用“0”表示，則一、電勢能

某點電勢能WM與q0之比只取決于電場，定義為該點的電勢。

電勢零點的選取是任意的。對有限帶電體一般以無限遠或地球為零點。單位：V(伏特)

由上式可以看出，靜電場中某點的電勢在數值上等于單位正電荷放在該點處時的電能，也等于單位正電荷從該點經任意路徑到電勢零點處(無窮遠處)時電場力所作的功。二、電勢和電勢差1.電勢2.電勢差電場中兩點電勢之差(電壓)

沿著電場線方向，電勢降低。MN上式表明，靜電場中兩點M、N的電勢差，等于單位正電荷在電場中從M經任意路徑到達N點時電場力所作的功。上式是計算電場力作功和計算電勢能變化常用公式。1eV=1.60×10－19J

（1）等勢面在靜電場中，電勢相等的點所組成的面稱為等勢面。典型等勢面3.電勢與場強的微分關系點電荷的等勢面電偶極子的等勢面+等勢面電平行板電容器電場的等勢面+++++++++在等勢面上移動不作功即結論：電場線與等勢面處處正交。q0在等勢面上移動,Edl與成角。θθEdlq0等勢面與電場線的關系Edl

S故，，，等勢面圖示法

等勢面畫法規定：相鄰兩等勢面之間的電勢間隔相等。VV+

VV+2

VV+3

V

場強越強，等勢面分布越密；場強越弱，等勢面分布越稀。等勢面的電勢沿電力線的方向降低。電勢梯度

在電場中任取兩相距很近的等勢面1和2，1VV+dV2P1enP2P3

電勢分別為V和V+dV，且dV>0。

等勢面1上P1點的單位法向矢量為en

與等勢面2正交于P2

點。

在等勢面2任取一點P3

，設

則，（2）電勢與場強的微分關系

定義電勢梯度

方向與等勢面垂直，并指向電勢升高的方向。其量值為該點電勢增加率的最大值。單位:V/m1VV+dV2P1enP2P3

en

電荷q從等勢面1移動到等勢面2，電場力作功電勢梯度與電場強度的關系

場強也與等勢面垂直，但指向電勢降低的方向。

電場力作功等于電勢能的減少量寫成矢量形式在直角坐標系中12E1VV+dV2P1enP2P3

en故4、電勢的計算點電荷的電勢點電荷的電場Vr+積分得可見,點電荷周圍空間任一點的電勢與該點距離點電荷的距離r成反比。正、負點電荷周圍電勢分布特點。點電荷系的電勢連續分布帶電體的電勢q3q1r1r2q2q4r3r4P電勢疊加原理：點電荷系的電場中，某點的電勢等于每個電荷單獨在該點激發的電勢的代數和。依據電荷分布特點將連續帶電體分成許多電荷元，再根據電勢疊加原理進行積分計算。【例題8-5】

計算均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為R，總帶電量為q。解：（1）取無窮遠處為電勢零點；（2）由高斯定律可知電場分布為（3）確定電勢分布。++++++++++++++++qRo1當r≤R時2當r＞R時rVR++++++++++++++++qRo電勢分布曲線場強分布曲線EVRRrrOO結論：均勻帶電球面，球內的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。

練習1:真空中有一電荷為Q，半徑為R的均勻帶電球面.試求（1）球面外兩點間的電勢差；（2）球面內兩點間的電勢差；（3）球面外任意點的電勢；（4）球面內任意點的電勢.解（1）（2）（3）令（4）++++++++練習2:一半徑為R的圓環，均勻帶有電荷量q。計算圓環軸線上任一點P

處的電勢。+解：設環上電荷線密度為，環上任取一長度為該電荷元在P

點電勢為：OPrxxR的電荷元，其所帶電荷整個圓環在P點的電勢為

2.若將彼此遠離的27滴具有相同半徑并帶有相同電荷的水滴聚集成一個大水滴，此時大水滴的電勢是小水滴電勢的（

）54倍27倍81倍9倍ABCD提交單選題3分3.靜電場的高斯定理

表明靜電場是[填空1]場，環路定理

表明靜電場是[填空2]場。作答填空題2分作業題：將前面補充題整理到作業上，再完成8-16和8-17靜電場

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電荷庫侖定律

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靜電場電場強度

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靜電場的高斯定理

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靜電場的環路定理

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電勢

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靜電場中的導體

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靜電場中電介質

第八節

電容電容器目錄第六節

靜電場中的導體一、導體的靜電平衡條件二、靜電屏蔽靜電感應：在電場力作用下，導體中自由電子作宏觀定向運動，使電荷產生重新分布的現象。1.導體的靜電平衡導體的特征：導體內存在大量的自由電子無外場時：無規運動在外場中：無規運動宏觀定向運動一、導體的靜電平衡條件靜電感應過程E0導體達到靜電平衡靜電平衡：導體內部及表面均無電荷定向運動，導體上電荷及空間電場分布達到穩定。（1）或導體是等勢體導體表面是等勢面。2.靜電平衡導體性質導體上感應電荷將對原來的外加電場施加影響，改變其分布。（2）導體內部無凈電荷，電荷只分布在導體表面。

實心導體靜電平衡下,導體所帶的電荷只能分布在體的外表面上，內部無凈電荷。證明：在導體內任取體積元由高斯定理體積元是任取的導體內各處+++++++++++++++++++導體靜電平衡時，凈電荷只能分布在導體表面！

如果有空腔,且空腔中無電荷,則

如果有空腔,且空腔中有電荷,則空腔內表面和導體中無凈電荷，凈電荷只能分布在導體外表面！在內、外表面分別分布有與腔內電荷電性相反和相同的等量凈電荷！---------------+q對于內部有空腔的導體,當處于靜電平衡時：++++++++++++++B孤立導體+++++++++++++++++++導體球孤立帶電

對于孤立帶電導體,電荷在其表面上的分布由導體表面的曲率決定。

在表面凸出的尖銳部分(曲率是正值且較大)電荷面密度較大CA

在比較平坦部分(曲率較小)電荷面密度較小，

在表面凹進部分帶電面密度最小。

孤立球體表面電荷均勻分布。尖端放電現象在導體的尖端附近,由于場強很大,當達到一定量值時,空氣中原留有的離子在這個電場作用下將發生激烈的運動,并獲得足夠大的動能與空氣分子碰撞而產生大量的離子,其中和導體上電荷異號的離子,被吸收到尖端上,與導體上的電荷相中和,而和導體上電荷同性的離子,則被排斥而離開尖端,作加速運動，這使得空氣被“擊穿”而產生的放電現象稱為尖端放電現象。++++++++++++++++++++++++由于尖端放電產生的“電風”+++尖端放電原理的應用在高壓設備中，為了防止因尖端放電而引起的危險和漏電造成的損失,具有高電壓的零部件的表面必須做得十分光滑并盡可能做成球面。避雷針：利用尖端放電使建筑物避免“雷擊”的。電暈現象靜電噴漆（3）導體的表面場強由高斯定理可證明證明：由高斯定理矢量式：為導體表面法向矢量故

在靜電平衡狀態下，空腔導體外面的帶電體不會影響空腔內部的電場分布；一個接地的空腔導體，空腔內的帶電體對腔外的物體不會產生影響。這種使導體空腔內的電場不受外界影響或利用接地的空腔導體將腔內帶電體對外界影響隔絕的現象，稱為靜電屏蔽。

根據靜電平衡時導體內部電場處處為零的特點，利用空腔導體將腔內外的電場隔離，使之互不影響。二、靜電屏蔽

a.

腔內無帶電體：腔外電場不能穿入腔內，腔內電場恒為零。q－qb.腔內有帶電體：導體接地，可屏蔽內電場。q靜電屏蔽的應用精密電磁儀器金屬外罩使儀器免受外電場干擾。高壓設備金屬外罩避免其電場對外界產生影響。電磁信號傳輸線外罩金屬絲編制屏蔽層免受外界影響。高壓帶電作業中工人師傅穿的金屬絲編制的屏蔽服使其能夠安全地實施等電勢高壓操作。法拉第對800千伏火花放電的屏蔽實驗法拉第第七節

靜電場中的電介質一、電介質的電結構二、電介質的極化三、極化強度矢量四、有介質時的高斯定理§8-7靜電場中的電介質電介質：電阻率很大,導電能力很差的物質。電介質的特征：原子或分子中的電子與原子核結合力很強，電子處于束縛狀態，一般可看作理想絕緣體。電介質的極化：當電介質處于電場中達到靜電平衡時，在電介質的表面層或電介質體內會出現電荷，這種現象就叫電介質的極化。一、電介質的電結構

有極分子：分子的正電荷中心與負電荷中心不重合。它們相當于一對距離極近的等值異號點電荷，設它們的重心距離為l，等效電偶極矩為負電荷中心正電荷中心++H+HO

電介質分為兩類:有極分子電介質和無極分子電介質。

方向：由負電荷中心指向正電荷中心。OHH

無極分子：分子的正電荷中心與負電荷中心重合。等效電偶極矩為零。如氦、氮、甲烷的分子。水、氨、一氧化碳、氯化氫等分子即為有極分子。HClHClHHHN有極分子電介質可看作大量電偶極子的聚集體，電偶極子方向雜亂無章的排列，所有電偶極子矢量和為零，電介質呈電中性。HeHHHCHCH4二電介質的極化1.無極分子電介質

加上外電場后，在電場作用下無極分子電介質分子正負電荷中心不再重合，發生相對移動,出現分子電矩。對均勻電介質，和電場方向垂直的兩個面將分別出現正負電荷，這些電荷不能離開電介質，也不能在電介質中自由移動，稱為束縛電荷或極化電荷。這種在外電場作用下在電介質中出現極化電荷的現象叫做電介質的極化。無極分子的極化在于正負電荷中心的相對位移，稱為位移極化。無外電場時加上外電場后極化電荷極化電荷+++++++2.有極分子電介質

無外電場時，有極分子電矩取向不同，整個介質不帶電。

在外電場中有極分子的固有電矩要受到一個力矩作用，電矩方向轉向和外電場方向趨于一致,這種極化稱有極分子的取向極化。++++++++++++++++++++無外電場時電矩取向不同+++++++兩端面出現極化電荷層轉向外電場加上外場單位體積內分子電矩的矢量和稱為該點的電極化矢量，用表示三、極化強度矢量單位：1.極化強度

極化電荷是電介質極化產生的，對于均勻電介質，極化電荷只集中在表面層或兩種不同的界面層里。電介質的極化強度必然和極化電荷之間存在聯系。在均勻極化電介質中取一柱體，由于柱內極化是均勻的，2.極化電荷圖8-7-2極化電荷+++++++++---------++++----很小，兩底面出現的束縛（極化）電荷的面密度分別是

即：按極化強度的定義可得：

則整個柱體相當于一個偶極子，其電矩為：

表明，穿出任意閉合曲面的電極化強度的通量，等于這個閉合曲面所包圍的極化(束縛)電荷。因此有為方向矢量

稱為極化電荷面密度

同理可定義體極化電荷為在有電介質存在的電場中，高斯定理仍成立，但要同時考慮自由電荷和束縛電荷產生的電場。總電場極化電荷自由電荷上式中由于極化電荷一般也是未知的，用其求解電場問題很困難，為便于求解，引入電位移矢量，使右端只包含自由電荷。四、有介質時的高斯定理++++++++++++++++++++------------------設無限大平行板間充滿均勻電介質，兩極板所帶自由電荷面密度為，電介質極化后兩表面極化電荷面密度為。

取圓柱形高斯面如圖中虛線所示，則又由于S1在導體中，令代入上式并移項，得定義：電位移矢量則可得有電介質時的高斯定理電位移線的描畫方法同電場線的描畫。垂直于電位移線單位面積上通過的電位移線數目等于該點電位移的量值，稱為電通量。++++++++++++++++++++

線線

從有電介質時的高斯定理可知：通過電介質中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數和。++++++++++線電位移線起于正的自由電荷，止于負的自由電荷。電場線起于正電荷、止于負電荷，包括自由電荷和極化電荷。電極化強度矢量線起于正的極化電荷，止于負的極化電荷。只在電介質內部出現。有電介質存在時的高斯定理的應用（1）分析自由電荷分布的對稱性，選擇適當的高斯面求出電位移矢量。（2）根據電位移矢量與電場的關系，求出電場。（3）根據電極化強度與電場的關系，求出電極化強度。（4）根據束縛電荷與電極化強度關系，求出束縛電荷。

三矢量之間關系性能方程總電場外電場束縛電荷電場電極化強度與總電場的關系電極化率

空間任一點總電場由于電介質中，外電場與極化電荷的電場方向相反,所以電介質中的合場強總小于外場強。服從上式極化規律的電介質叫各向同性線性電介質。電介質內電場兩“無限大”極板間充有電極化率為均勻電介質。極板上自由電荷面密度為，介質表面極化電荷面密度為，

兩板間電勢差++++++++++所以

充滿電介質時的電容為

電介質內部場強減弱為外場的1/

r，這一結論并不普遍成立，但是場強減弱卻是比較普遍的。電介質的介電常量或電容率

又比較可得相對介電常量自由電荷和極化電荷激發的靜電場特性相同，因而有電介質存在時，電場強度環路定理仍成立，即，這里的場強是介質中的合場強解：（1）各區域場強

【例題8-7】半徑為r1帶電為q的導體球外是介電常數為ε1半徑為r2的介質，其外又是介電