2024-2025學年四川省南充市閬中市東風中學九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數項為0，則m的值為（）A．1 B．2 C．0或2 D．02．（4分）函數y＝x2+3的圖象經過點（﹣2，m），則m的值為（）A．1 B．7 C．5 D．43．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個根是1，則方程的另一個根是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣44．（4分）如圖，將三角形ABC繞點A逆時針旋轉85°得到三角形AB′C′，若∠CAB′＝25°，則∠CAB＝（）A．60° B．85° C．25° D．55°5．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，將其化為（x+m）2＝k的形式，正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝56．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣a+1的頂點在x軸上，則a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．17．（4分）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣18．（4分）一次函數y＝ax+c（a≠0）與二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（4分）某商品經過兩次連續降價，每件售價由原來的100元降到了81元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（）A．100（1+x）2＝81 B．81（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝81 D．81（1﹣x）2＝10010．（4分）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③m為任意實數時，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若m是方程x2﹣5x﹣7＝0的根，則m2﹣5m+1的值等于．12．（4分）將拋物線y＝x2﹣3先向上平移1個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的解析式為．13．（4分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），則不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集是．14．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個實數根，則m2+3m+n的值為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，若將△OAB繞點O逆時針旋轉90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的對應點B′的坐標是．16．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關于x軸對稱，則a+b+c的值為．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．18．（8分）已知二次函數y＝x2﹣6x+3，當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差．19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得△DBE，使點C落在AB邊上，點A的對應點為點D，連接AD，求∠ADE的度數．20．（10分）如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（3，5），B（1，2），C（4，1）．（1）根據要求畫圖：將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．21．（10分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．（1）若該方程有兩個實數根，求k的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數根x1，x2滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值．22．（10分）圖1是一座拱橋，拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當水面寬度為OA＝12米時，水面離橋洞最大距離為4米，如圖2，以水平面為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系．（1）求該拱橋拋物線的解析式；（2）當河水上漲，水面離橋洞的最大距離為2米時，求拱橋內水面的寬度．23．（10分）某商場有A、B兩種商品，一件B商品的售價比一件A商品的售價多5元，若用1500元購進A種商品的數量恰好是用900元購進B種商品的數量的2倍．（1）求A、B兩種商品每件售價各多少元；（2）B商品每件的進價為20元，按原售價銷售，該商場每天可銷售B種商品100件，假設銷售單價每上漲一元，B種商品每天的銷售量就減少5件，設一件B商品售價a元，B種商品每天的銷售利潤為W元，求B種商品銷售單價a為多少元時，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是多少元？24．（10分）如圖，點P是正方形ABCD內一點；AP＝1，BP＝，DP＝，△ADP繞點A順時針旋轉得到△ABP′，連接PP′，延長AP與BC相交于點Q．（1）求線段PP′的長；（2）求∠BPQ的大小；（3）求正方形ABCD的邊長．25．（12分）如圖所示，已知拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經過點A（﹣2，0）、B（4，0），與直線y＝x﹣4交于B，D兩點．（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標；（2）點P為直線BD下方拋物線上的一個動點，試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在拋物線上有一點M，過點M作x軸的垂線交x軸于點N，若△AMN是等腰直角三角形，求點M的坐標．

2024-2025學年四川省南充市閬中市東風中學九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數項為0，則m的值為（）A．1 B．2 C．0或2 D．0【分析】根據二次項系數非零及方程的常數項為0，可得出關于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出m的值．【解答】解：∵關于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數項為0，∴，解得：m＝2，∴m的值為2．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的一般形式，牢記“一元二次方程的二次項的系數不等于0”是解題的關鍵．2．（4分）函數y＝x2+3的圖象經過點（﹣2，m），則m的值為（）A．1 B．7 C．5 D．4【分析】將點（﹣2，m）代入y＝x2+3計算即可求出m的值．【解答】解：∵函數y＝x2+3的圖象經過點（﹣2，m），∴m＝（﹣2）2+3＝7，故選：B．【點評】本題考查了查二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握該知識點是關鍵．3．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個根是1，則方程的另一個根是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4【分析】設方程的一個根x1＝1，另一個根為x2，再根據根與系數的關系進行解答即可．【解答】解：設方程的一個根x1＝1，另一個根為x2，根據題意得：x1×x2＝3，將x1＝1代入，得x2＝3．故選：C．【點評】本題考查了根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系的相關知識是解題的關鍵．4．（4分）如圖，將三角形ABC繞點A逆時針旋轉85°得到三角形AB′C′，若∠CAB′＝25°，則∠CAB＝（）A．60° B．85° C．25° D．55°【分析】由旋轉的性質得到∠C′AC＝85°，∠CAB＝∠C′AB′，根據角的和差關系進行計算，則可求出答案．【解答】解：由旋轉的性質得∠C′AC＝85°，∠CAB＝∠C′AB′，∵∠CAB′＝25°，∴∠CAB＝∠C′AB′＝∠C′AC﹣∠C′AB′＝85°﹣25°＝60°．故選：A．【點評】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．5．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，將其化為（x+m）2＝k的形式，正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【分析】移項，配方，即可得出選項．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，能正確配方是解此題的關鍵．6．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣a+1的頂點在x軸上，則a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【分析】把函數解析式整理出頂點式形式，然后根據頂點在x軸上，縱坐標等于0列方程求解即可．【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣a+1＝a（x﹣1）2﹣2a+1，∵拋物線頂點在x軸上，∴﹣2a+1＝0，解得a＝．故選：B．【點評】本題考查了二次函數的性質，把函數解析式整理成頂點式形式求解更簡便．7．（4分）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【分析】根據判別式的意義得到Δ＝22+4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝22+4m＞0，解得m＞﹣1．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．8．（4分）一次函數y＝ax+c（a≠0）與二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據直線和拋物線解析式知y＝ax+c與y＝ax2+bx+c與y軸交于同一點（0，c），據此可得．【解答】解：在y＝ax+c中，當x＝0時，y＝c，∴y＝ax+c與y軸的交點為（0，c）；在y＝ax2+bx+c中，當x＝0時，y＝c，∴y＝ax2+bx+c與y軸的交點為（0，c），則y＝ax+c與y＝ax2+bx+c與y軸交于同一點（0，c），故選：D．【點評】本題考查二次函數的圖象和一次函數的圖象，解題的關鍵是明確一次函數和二次函數的性質．9．（4分）某商品經過兩次連續降價，每件售價由原來的100元降到了81元．設平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（）A．100（1+x）2＝81 B．81（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝81 D．81（1﹣x）2＝100【分析】設平均每次降價的百分率為x，則等量關系為：原價×（1﹣x）2＝現價，據此列方程．【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，由題意得，100（1﹣x）2＝81故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．10．（4分）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③m為任意實數時，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：①拋物線開口方向向上，則a＞0．拋物線對稱軸位于y軸右側，則a、b異號，即ab＜0．拋物線與y軸交于y軸負半軸，則c＜0，所以abc＜0．故①錯誤；②∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正確；③∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴函數的最小值為：a+b+c，∴m為任意實數時，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，故③正確；④∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側，而對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側，∴當x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正確；⑤∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正確．綜上所述，正確的有②③④⑤．故選：D．【點評】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若m是方程x2﹣5x﹣7＝0的根，則m2﹣5m+1的值等于8．【分析】將x＝m代入原方程，可得出m2﹣5m＝7，再將其代入原式中，即可求出結論．【解答】解：將x＝m代入原方程得：m2﹣5m﹣7＝0，∴m2﹣5m＝7，原式＝7+1＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查一元二次方程的根以及代數式求值，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關鍵．12．（4分）將拋物線y＝x2﹣3先向上平移1個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣2．【分析】根據拋物線的平移規律“上加下減，左加右減”求解即可．【解答】解：將拋物線先向上平移1個單位，再向右平移2個單位后所得的拋物線是y＝（x﹣2）2﹣2．故答案為：y＝（x﹣2）2﹣2．【點評】本題考查二次函數圖象的平移．掌握其平移規律“上加下減，左加右減”是解題關鍵．13．（4分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），則不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集是x≤﹣3或x≥1．【分析】依據題意，由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c，即拋物線在直線上方的部分，根據圖象和A，B的坐標即可確定答案．【解答】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c，∴滿足不等式的解為拋物線在直線上方的部分，∴x≤﹣3或x≥1，故答案為：x≤﹣3或x≥1．【點評】本題主要考查了二次函數與不等式，正確運用數形結合是解題關鍵．14．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個實數根，則m2+3m+n的值為2024．【分析】根據m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個實數根得到m2+2m＝2026，根據根與系數的關系得到m+n＝﹣2，據此利用整體代入法求解即可．【解答】解：由題意得，m+n＝﹣＝﹣2，m2+2m﹣2026＝0，∴m2+2m＝2026，∴原式＝m2+2m+（m+n）＝2026﹣2＝2024．故答案為：2024．【點評】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解題的關鍵．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，若將△OAB繞點O逆時針旋轉90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的對應點B′的坐標是（﹣3，8）．【分析】分別過點B和點B′作y軸的垂線，構造出全等三角形即可解決問題．【解答】解：分別過點B和點B′作y軸的垂線，垂足分別為M和N，由旋轉可知，∠B′OB＝90°，OB′＝OB，∴∠B′ON+∠BOM＝∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．在△B′ON和△OBM中，，∴△B′ON≌△OBM（AAS），∴B′N＝OM，ON＝BM．又∵點B坐標為（8，3），∴B′N＝OM＝3，ON＝BM＝8，∴點B′的坐標為（﹣3，8）．故答案為：（﹣3，8）．【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉，熟知圖形旋轉的性質是解題的關鍵．16．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關于x軸對稱，則a+b+c的值為﹣52．【分析】利用關于x軸對稱的點的坐標特點，縱坐標變為相反數，橫坐標不變解答．【解答】解：∵拋物線拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關于x軸對稱，∵y＝2（x+4）2+2＝2x2+16x+34，函數y＝ax2+bx+c的解析式為：y＝﹣2x2+16×（﹣x）﹣34＝﹣2x2﹣16x﹣34，∴a＝﹣2，b＝﹣16，c＝﹣34，∴a+b+c＝﹣2﹣16﹣34＝﹣52，故答案為：﹣52．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，掌握關于x軸對稱的函數頂點橫坐標相同，縱坐標互為相反數是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣4＝0，∴x2+2x＝4，則x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝±，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵3x（x﹣2）＝2（2﹣x），∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，則（x﹣2）（3x+2）＝0，∴x﹣2＝0或3x+2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．18．（8分）已知二次函數y＝x2﹣6x+3，當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差．【分析】根據二次函數的增減性，求出0≤x≤4時，函數的最大值和最小值即可．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝3，頂點坐標為（3，﹣6），∴當x＝3時，y取得最小值，最小值為﹣6，∵0≤x≤4，∴當x＝0時，y取得最大值，此時y＝（0﹣3）2﹣6＝3．∵3﹣（﹣6）＝9，∴當0≤x≤4時，y的最大值與最小值之差為9．【點評】本題考查求二次函數的最值，關鍵是求出在0≤x≤4時函數的最大值和最小值．19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得△DBE，使點C落在AB邊上，點A的對應點為點D，連接AD，求∠ADE的度數．【分析】由旋轉得BA＝BD，通過等腰三角形及直角三角形可求∠ADE度數；【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，∴∠CAB＝40°．∵△ABC繞點B順時針旋轉得到△DBE，點E恰好在AB上，∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．【點評】此題主要考查了旋轉的性質，同時也利用了等腰三角形的性質，解題的關鍵是會確定旋轉角．20．（10分）如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（3，5），B（1，2），C（4，1）．（1）根據要求畫圖：將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）根據旋轉的性質作圖即可；（2）利用割補法求三角形的面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）△ABC的面積是＝10﹣﹣3＝．故答案為：．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵．21．（10分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．（1）若該方程有兩個實數根，求k的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數根x1，x2滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值．【分析】（1）由該方程有兩個實數根得到Δ≥0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到，再根據（x1﹣1）（x2﹣1）＝14得到k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14，然后解關于k的方程，最后利用k的范圍確定k的值．【解答】解：（1）根據題意得Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2+3）≥0，解得k≤﹣1；（2）根據題意得：，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝14，即k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14，整理得k2﹣2k﹣8＝0，解得k1＝﹣2，k2＝4，∵k≤﹣1，∴k＝﹣2．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．22．（10分）圖1是一座拱橋，拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當水面寬度為OA＝12米時，水面離橋洞最大距離為4米，如圖2，以水平面為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系．（1）求該拱橋拋物線的解析式；（2）當河水上漲，水面離橋洞的最大距離為2米時，求拱橋內水面的寬度．【分析】（1）根據題意得出A（12，0），該拋物線頂點坐標為（6，4），設該拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+4，把A（12，0）代入求出a的值即可；（2）根據題意得出水位上升了2米，把y＝2代入t＝﹣2x+80求出自變量的值，即可求解．【解答】解：（1）∵OA＝12，∴該拋物線的對稱軸為直線，A（12，0），∵水面離橋洞最大距離為4米，∴該拋物線頂點坐標為（6，4），設該拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+4，把A（12，0）代入得：0＝a（12﹣6）2+4，解得：，∴該拋物線解析式為t＝﹣2x+80；（2）4﹣2＝2（米），∴水位上升了2米，把y＝2代入t＝﹣2x+80得：，解得：，．（米），答：拱橋內水面的寬度米．【點評】本題主要考查了二次函數的應用，關鍵是根據題意找到等量關系式．23．（10分）某商場有A、B兩種商品，一件B商品的售價比一件A商品的售價多5元，若用1500元購進A種商品的數量恰好是用900元購進B種商品的數量的2倍．（1）求A、B兩種商品每件售價各多少元；（2）B商品每件的進價為20元，按原售價銷售，該商場每天可銷售B種商品100件，假設銷售單價每上漲一元，B種商品每天的銷售量就減少5件，設一件B商品售價a元，B種商品每天的銷售利潤為W元，求B種商品銷售單價a為多少元時，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是多少元？【分析】（1）設A種商品每件售價x元，根據“用1500元購進A種商品的數量恰好是用900元購進B種商品的數量的2倍“列方程并檢驗，即可得到答案；（2）W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，由二次函數性質可得答案．【解答】解：（1）設A種商品每件售價x元，則B種商品每件售價（x+5）元，∵用1500元購進A種商品的數量恰好是用900元購進B種商品的數量的2倍，∴＝×2，解得：x＝25，經檢驗，x＝25是原方程的解，也符合題意，∴x+5＝25+5＝30，∴A種商品每件售價25元，B種商品每件售價30元；（2）根據題意得：W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，∵﹣5＜0，∴當a＝35時，W取最大值，最大值為1125元，∴B種商品銷售單價a為35元時，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是1125元．【點評】本題考查二次函數的應用，涉及分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出分式方程和函數關系式．24．（10分）如圖，點P是正方形ABCD內一點；AP＝1，BP＝，DP＝，△ADP繞點A順時針旋轉得到△ABP′，連接PP′，延長AP與BC相交于點Q．（1）求線段PP′的長；（2）求∠BPQ的大小；（3）求正方形ABCD的邊長．【分析】（1）根據正方形的性質得AB＝AD，∠BAD＝90°，再利用旋轉的性質得AP＝AP′，∠PAP′＝∠DAB＝90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得PP′＝PA＝；（2）由等腰直角三角形性質知∠APP′＝45°，利用旋轉的性質得PD＝P′B＝，接著根據勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB＝90°，然后利用平角定義計算∠BPQ的度數；（3）作BE⊥AQ，垂足為E，由∠BPQ＝45°，P′B＝2，求出PE＝BE＝2，在Rt△ABE中，運用勾股定理求出AB．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADP沿點A旋轉至△ABP′，∴AP＝AP′＝1，PD＝P′B＝，∠PAP′＝∠DAB＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝＝；（2）∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°，在△PP′B中，PP′＝，PB＝2，P′B＝，∵（）2+（2）2＝（）2，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB＝90°，∴∠BPQ＝180°﹣∠APP′﹣∠P′PB＝180°﹣45°﹣90°＝45°；（3）作BE⊥AQ，垂足為E，∵∠BPQ＝45°，PB＝2，∴PE＝BE＝2，∴AE＝2+1＝3，∴AB＝＝＝．【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，正方形的性質，解答本題的關鍵要明確：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角