搶分秘籍10圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題（壓軸通關）目錄【中考預測】預測考向，總結?？键c及應對的策略【誤區點撥】點撥常見的易錯點【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。1．從考點頻率看，證明切線是數學的基礎，也是高頻考點、必考點，圓通常還會和其他幾何圖形及函數結合一起考查。2．從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實不少！題型一證切線、求面積【例1】（2024·湖北襄陽·一模）是的直徑，，，與相交于點．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，連接，過點作分別交，于點，，交于點，若，求圖中陰影部分的面積．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據等腰三角形的性質切線的判定方法進行解答即可；根據垂徑定理，平行線的性質以及扇形面積的計算方法進行計算即可．本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據等腰三角形的性質切線的判定方法進行解答即可；根據垂徑定理，平行線的性質以及扇形面積的計算方法進行計算即可．【例2】（2024·湖北十堰·一模）如圖，是的直徑，點在上，點為延長線上一點，過點作交的延長線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若線段與的交點是的中點，的半徑為6，求陰影部分的面積．1．（2024·廣東佛山·一模）如圖，點是正方形的邊延長線上一點，且，連接交于點，以點為圓心，為半徑作交線段于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．2．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，直線l與相切于點M，點P為直線l上一點，直線交于點A、B，點C在線段上，連接BC，且．

(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．題型二證切線、求線段或半徑【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東深圳·一模）如圖，已知是的直徑．點P在的延長線上，點D是上一點．連接，過點B作垂直于，交的延長線于點C、連接并延長，交于點E，且(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關鍵．本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關系，圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關鍵．【例2】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經過C，D兩點．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．1．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，是的直徑，，E是的中點，連結并延長到點F，使．連結交于點D，連結，．(1)求證：直線是的切線．(2)若，求的長．2．（2024·湖北隨州·一模）如圖，四邊形是的內接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·廣東江門·一模）如圖，矩形中，，．E是的中點，以為直徑的與交于F，過F作于G．(1)求證：是的切線．(2)求的值．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質和圓周角定理推論，矩形的判定和性質，三角形中位線的判定和性質，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數等知識，是解題的關鍵．本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合．熟練掌握圓的基本性質和圓周角定理推論，矩形的判定和性質，三角形中位線的判定和性質，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數等知識，是解題的關鍵．【例2】（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，四邊形是的內接四邊形，直徑平分．(1)求證：；(2)過點A向圓外作，且，求證：四邊形為平行四邊形．1．（2024·云南·模擬預測）如圖，線段與相切于點B，交于點M，其延長線交于點C，連接，，D為上一點且弧的中點為M，連接，．(1)求的度數；(2)四邊形是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；(3)若，求弧的長．2．（2024·河南平頂山·一模）如圖，為的直徑，點是的中點，過點作的切線，與的延長線交于點，連接．

(1)求證：(2)連接，當時：①連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．②若，圖中陰影部分的面積為（用含有的式子表示）．3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，；(1)如圖①，當與相切時，求證：四邊形是菱形．(2)如圖②，當與相交于點E時．（Ⅰ）若，，求的半徑．（Ⅱ）連接，交于點F，若，則的度數是°．題型四圓內接三角形和四邊形【例1】（2024·湖南·模擬預測）如圖，內接于，過點C作交于點E，交于點D，連接交于點G，連接，設（m為常數）．(1)求證：；(2)設，求證：；(3)求的值（用含m的代數式表示）．本題主要考查圓內接三角形的性質及相似三角形的判定與性質，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內接三角形的性質及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．本題主要考查圓內接三角形的性質及相似三角形的判定與性質，解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握圓內接三角形的性質及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．【例2】（2024·天津濱海新·一模）如圖，是的直徑，弦與相交于點P，若．(1)如圖①，求的度數；(2)如圖②，過點C作的切線，與的延長線交于點E，若，求的度數．1．（2024·安徽蕪湖·一模）四邊形ABCD內接于，．(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2．連接交于點E．①求證：；②若，，，求的長．2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，直徑垂直弦于點，連接，過點作于F，交于點H，交于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，連接，分別交于點，當，，求線段的長．3．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在中，為直徑，和為弦，且．(1)求的度數；(2)如圖2，E為上一點，連接，作于E交于F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G，過F作于F，交延長線于N，若，，求的長．4．（2024·河北滄州·一模）如圖，珍珍利用一張直徑為8cm的半圓形紙片探究圓的知識，將半圓形紙片沿弦折疊．(1)如圖1，為的切線，當時，求證：．(2)如圖2，當時，通過計算比較與弧哪個長度更長．（π?。?3)如圖3，M為的中點，為點M關于弦的對稱點，當時，直接寫出點與點M之間的距離約為_____cm．（結果保留兩位小數，參考數據：27）題型五生活中的實物抽象出圓的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·河南洛陽·一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發現最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側面圖．如圖2，當過圓心O的車架的一端A落在地面上時，與的另一個交點為點D，水平地面切于點B．(1)求證：；(2)若，求的直徑．本題主要考查了切線的性質，勾股定理，等邊對等角，三角形內角和定理等等本題主要考查了切線的性質，勾股定理，等邊對等角，三角形內角和定理等等.【例2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃楹霌P民族傳統體育文化，某校將傳統游戲“滾鐵環”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環器材由鐵環和推桿組成．小明對滾鐵環的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環時，鐵環與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內．當推桿與鐵環相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．(2)實踐中發現，切點B只有在鐵環上一定區域內時，才能保證鐵環平穩啟動．圖中點B是該區域內最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環的半徑為，推桿的長為，求此時的長．1．（2024·河北石家莊·一模）圖1是傳統的手工推磨工具，根據它的原理設計了如圖2所示的機械設備，磨盤半徑，用長為的連桿將點與動力裝置相連（大小可變），點在軌道上滑動，帶動點使磨盤繞點轉動，，．(1)當點、、三點共線的時候，的長為______；(2)點由軌道最遠處向滑動，使磨盤轉動不超過的過程中：①與相切于點，如圖3，求的長；②從①中相切的位置開始，點繼續向點方向滑動至點，點隨之逆時針運動至點，此時，求點運動的路徑長（結果保留）．（參考數據：，，）2．（2024·河北石家莊·一模）如圖1，某玩具風車的支撐桿垂直于桌面，點為風車中心，，風車在風吹動下繞著中心旋轉，葉片端點，，，將四等分，已知的半徑為．(1)風車在轉動過程中，當時，點在左側，如圖2所示，求點到桌面的距離（結果保留根號）；(2)在風車轉動一周的過程中，求點到桌面的距離不超過時，點所經過的路徑長（結果保留）；(3)連接，當與相切時，求切線長的值，并直接寫出，兩點到桌面的距離的差．題型六圓中動點問題【例1】（2024·江蘇淮安·一模）如圖，是的直徑，，延長至點C，使．動點P從點A出發，沿圓周按順時針方向以每秒個單位的速度向終點B運動，設運動時間為t秒，連接，作點C關于直線的對稱點D，連接、、、．

(1)當時．①求的度數；②判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求t的值．本題考查切線的判定，圓的相關性質，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．本題考查切線的判定，圓的相關性質，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．【例2】（2024·云南昆明·一模）如圖，，是的兩條直徑，且，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接并延長交的延長線于點F，點P在上，且，連接，分別交，于點M，N，連接，設的半徑為r．(1)求證：是的切線；(2)當時，求證：；(3)在點E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．1．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖①，在中，，以點為圓心，以2為半徑畫圓，交于點，交于點．點從點出發，沿按順時針方向運動，當點再次經過點時停止運動．(1)的長為______；(2)在點運動的過程中，點到距離的最大值為______；(3)延長交于點，連接，交于點．①當為等腰三角形時，連結接，求的面積：②如圖②，連接，當點在線段上時，作的角平分線交于點．點的位置隨著點的運動而發生改變，則點形成的軌跡路徑長為______．題型七圓中新定義探究綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）定義：對角線互相垂直的圓內接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內一點，，，，且．當的長度最小時，求的值．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，一元二次方程的解法，熟練的建立數學模型并靈活應用是解本題的關鍵本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，一元二次方程的解法，熟練的建立數學模型并靈活應用是解本題的關鍵.【例2】（2024·浙江臺州·一模）【概念呈現】在鈍角三角形中，鈍角的度數恰好是其中一個銳角的度數與90度的和，則稱這個鈍角三角形為和美三角形，這個銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當和美三角形是等腰三角形時，求和美角的度數．

【性質探究】（2）如圖1，是和美三角形，是鈍角，是和美角，求證：．【拓展應用】（3）如圖2，是的直徑，且，點C，D是圓上的兩點，弦與交于點E，連接，，是和美三角形．①當時，求的長．②當是和美三角形時，直接寫出的值．1．（2024·山東濟寧·二模）【初步感知】（1）如圖1，點A，B，P均在上，若，則銳角的大小為______度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接，，．求證：；小明發現，延長至點E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證.請根據小明的分析思路完成證明過程．【啟發應用】（3）如圖3，是的外接圓，，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連接，，，若，則的值為_____．題型八圓與函數的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長沙·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且．

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點M，使，如果存在，求點M的坐標，如果不存在，說明理由；(3)若點D是拋物線第二象限上一動點，過點D作軸于點F，過點的圓與交于點E，連接，求的面積．本題主要考查了二次函數的圖像和性質，待定系數法求出函數解析式，拋物線上的點的坐標特征以及相似三角形的判定和性質，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．本題主要考查了二次函數的圖像和性